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Em um videogame, um ponto é programado para se deslocar na tela de acordo com a função x = 9,00 t - 0,750 t 3 , onde x é a distância em centímetros em relação à extremidade esquerda da tela e t é o tempo em segundos. Quando o ponto chega a uma das bordas da tela, x = 0 ou x = 15,0   c m , o valor de t é zerado e o ponto começa novamente a se mover de acordo com a função x t . (a) Em que instante após ser iniciado o movimento o ponto se encontra momentaneamente em repouso? (b) Para que valor de x isso acontece? (c) Qual é a aceleração do ponto (incluindo o sinal) no instante em que isso acontece? (d) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco antes de atingir o repouso? (e) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco depois de atingir o repouso? (f) Em que instante t   > 0 o ponto atinge a borda da tela pela primeira vez?

Passo 1

O problema nos da a posição da partícula em função do tempo:

x t =   9 t - 0,75 t 3

Restringindo os valores de x de 0 a 15   c m .

O problema nos pede o instante após iniciado o movimento em que o ponto está momentaneamente parado, ou seja, o instante em que a velocidade é zero. Para isso, temos que lembrar que podemos encontrar a função da velocidade do ponto através da seguinte definição:

v t = d x t d t

Com a função da velocidade em mãos, consideramos v = 0 e aí achamos o instante em que o ponto está em repouso ( t r ).

Além disso, o problema pede a posição e a aceleração do ponto em que isso acontece e se o movimento está para direita ou para esquerda antes e depois de atingir o repouso.

Por fim, o problema pede o instante ( t > 0 ) em que o ponto atinge a borda pela primeira vez, ou seja, o instante em que o ponto está na posição x = 15   c m .

Passo 2

Vamos encontrar a função da velocidade do ponto:

v t = d x t d t = d 9 t - 0,75 t 3 d t = 9 - 2,25 t 2

v t =   9 - 2,25 t 2

Com a função da velocidade em mãos, vamos encontrar o instante em que v = 0 .

v t r = 0 = 9 - 2,25 t r 2

Isolando o t r , encontramos:

t r =   9 2,25

Como o tempo não pode ser negativo, então t r só pode ser a solução positiva da raíz quadrada e, portanto, o instante em que o ponto está momentaneamente em repouso é:

t r = 2   s

Passo 3

Para encontrarmos a posição em que o ponto se encontra quando está em repouso ( x r ), basta substituir o tempo t r , encontrado no passo anterior, na função da posição dada no enunciado do problema:

x t r = 9 t r - 0,75 t r 3 = 9 × 2 - 0,75 × 2 3 = 12   c m

x r =   12   c m

Passo 4

Para encontrar a aceleração no instante em que o ponto está em repouso ( a r ), primeiro precisamos encontrar a função da aceleração. Para isso, precisamos lembrar que:

a t = d v t d t

Com essa relação em mente, basta derivar a função da velocidade encontrado no passo 2 :

a t = d 9 - 2,25 t 2 d t =   - 4,5 t

a t =   - 4,5 t

Usando o instante t r calculado também no passo 2 , encontramos a aceleração no instante pedido:

a r =   - 4,5 × 2 =   - 9   c m / s 2

a r = - 9   c m / s 2

Passo 5

Podemos afirmar que a partícula antes do instante em que ela se encontra momentaneamente em repouso está se movimentando no sentido contrário à aceleração, ou seja, está indo para a direita, pois, caso contrário, se o movimento estivesse no mesmo sentido da aceleração, ela nunca ficaria momentaneamente parado (nunca perderia velocidade, iria apenas acelerar).

Passo 6

Seguindo o mesmo raciocínio do passo 5 , podemos afirmar que no instante após o repouso a partícula está se movimentando para a esquerda.

Passo 7

Considerando que ele parte da posição x = 0 , sendo este a posição de uma das bordas, e que a outra borda está localizada em x = 15   c m e sabendo também que a posição máxima que o ponto alcança foi calculada no passo 3 , que é a posição de retorno x r = 12   c m , então o ponto tocará a borda pela primeira vez após o início do movimento na borda localizada em x = 0 .

Portanto, para calcular o tempo em que o ponto atinge o ponto x = 0 , basta substituir na função de movimento dada no problema:

x t = 9 t - 0,75 t 3

Substituindo x = 0 :

0 = 9 t b - 0,75 t b 3

0 = t b × ( 9 - 0,75 t b 2 )

Como t > 0 , então:

9 - 0,75 t b 2 = 0

t b = 9 0,75 = 3,5   s

Resposta

  1. t r = 2   s ;
  2. x r = 12   c m ;
  3. a r = - 9   c m / s 2 ;
  4. Direita;
  5. Esquerda;
  6. t b = 3,5 s.

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