Enunciado

Uma viga homogênea de 3,0   m de comprimento e 500 N de peso está suspensa horizontalmente. No lado esquerdo está presa a uma parede por uma dobradiça; no lado direito é sustentada por um cabo pregado na parede a uma distância D acima da viga. A tensão de ruptura do cabo é 1200   N . (a) Que valor de D corresponde a essa tensão? (b) Para que o cabo não se rompa, D deve aumentar ou diminuir em relação a esse valor?

Passo 1

Falaaaa galerinha do RespondeAí, show de bolinhas com vocês?

Se liga só, nesse exercício aqui a gente precisa determinar a distância D que uma viga deve estar suspensa através de um cabo como na figura abaixo:

Onde T é a tensão exercida pelo cabo na viga, enquanto que a força de 500   N é a força peso da viga.

Sabendo disso, podemos utilizar as equações do equilíbrio para calcular a distância D que aguenta a tensão máxima T = 1200   N no cabo.

Passo 2

Show de bolinhas, pra facilitar nossas contas, como não conhecemos as forças de apoio que atuam na dobradiça, podemos calcular o somatório dos torque em relação ao ponto que passa pela dobradiça na viga. Teremos que:

∑ τ = 0

Sendo assim:

∑ τ = 3,0   m T sen ⁡ θ - 3,0 2 m 500 = 0

Como queremos a tensão máxima de ruptura T = 1200   N , podemos isolar sen ⁡ θ , de modo que:

sen ⁡ θ = 3 500 2 3 T

sen ⁡ θ = 250 T

Segue que:

sen ⁡ θ = 250 1200

sen ⁡ θ = 0,208

Logo:

θ = arcsen ⁡ 0,208

θ = 12,02 °

Passo 3

A malandragem disso tudo, é que a viga e parede de tamanho D formam um triângulo retângulo, então podemos aplicar as relações trigonométricas para descobrir a distância D , como elas formam o cateto oposto e o cateto adjacente podemos usar a relção com a tangente, tal que:

tan ⁡ θ = D 3,00

Como vimos que θ = 12,02 ° , vamos obter que:

tan ⁡ 12.02 ° = D 3,00

0,213 = D 3,00

Portanto:

D = 0,64   m

Passo 4

Belezera, agora na letra (b), queremos saber se para que o cabo não se rompa, D deve aumentar ou diminuir em relação ao valor que acabamos de encontrar. Pra isso, podemos pegar primeiro a relação que encontramos no Passo 2, entre o seno e tensão T :

sen ⁡ θ = 250 T

Se a gente isolar T , teremos:

T = 250 sen ⁡ θ

Isso quer dizer, que a tensão T diminui, a medida que sen ⁡ θ aumenta, ou melhor, se sen ⁡ θ aumenta isso quer dizer que o ângulo θ está aumentando. De modo que podemos reescrever nossa frase como:

A tensão T diminui, a medida que o ângulo θ aumenta. Portanto, se a gente quer que o ângulo aumente, o distância D deve aumentar.

Resposta

(a) 0,64     m

(b)Aumentar

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