Enunciado

Você é um astronauta fazendo experimentos de física na lua. Você está interessado na relação experimental entre a distância de queda, y , e o tempo decorrido, t , de objetos que caem a partir do repouso. Você coletou alguns dados de uma moeda caindo, que estão representados na tabela abaixo:

Você espera que uma relação geral entre a distância y e o tempo t seja y = B t C , onde B e C são constantes a serem determinadas experimentalmente. Para fazer isso, crie um gráfico log-log dos seguintes dados: (a) faça o gráfico de l o g ⁡ ( y ) vs. log ⁡ t , com log ⁡ ( y ) como variável da ordenada e l o g ⁡ ( t ) como variável da abcissa. (b) Mostre que se você tomar o logaritmo de cada lado da sua relação esperada, você encontrará log ⁡ y = log ⁡ B + C   l o g ⁡ ( t ) . (c) Comparando essa relação linear com o gráfico dos dados, estime os valores de B e C . (d) Se você deixar cair uma moeda, quanto tempo ela deveria levar para cair 1,0   m ? (e) No próximo capítulo, nós vamos mostrar que a relação esperada entre y e t é y = 1 2 a t 2 , onde a é a aceleração do objeto. Qual é a aceleração de objetos em queda na lua?

Passo 1

(a) Para fazer o gráfico pedido podemos colocar os dados do enunciado em um programa de planilhas para gerar o gráfico de l o g ⁡ ( y ) em função de log ⁡ ( t ) . Assim teremos um gráfico desse tipo:

Na verdade o que o programa faz é calcular o log de todos os dados que o enunciado nos deu, e depois montar um gráfico. Aí você coloca os resultados de log ⁡ t como seu eixo horizontal, e o de log ⁡ y como seu eixo vertical.

Nós usamos um programa, mas você também pode fazer isso usando uma calculadora científica, o que daria muuuuito mais de trabalho, mas ficaria igualzinho, ok.

Como log ⁡ y   é a variável da ordenada, podemos nomea-la de Y . E nomear log ⁡ t de X .

Fazendo num programa de planinhas, o computador nos dá uma equação para essa reta:

log ⁡ y = 1,9637 log ⁡ t - 0,0762

Vamos substituir nossos novos nomes das variáveis nessa equação

Y = 1,9637   X - 0,0762

Percebe que agora sim, isso tem cara de reta. Vamos seguir!

Obs: é bom desenhar esse gráfico no computador mesmo, e achar essa equação da reta que ele vai te dar, tá bem? Para suas continhas baterem com o gabarito.

Passo 2

(b) Agora vamos aplicar o logaritmo na equação geral que foi dada no enunciado:

y = B t C

Aplicamos os log dos dois lados

log ⁡ ( y ) = log ⁡ B t C

Para reescrever essa equação, a gente precisa lembrar das propriedades de log. Vamos lembrar da propriedade da soma/produto. Quando a gente tinha no argumento do log um produto de dois valores, a gente podia reescrever isso como a soma do log desses valores.

Por exemplo:

log ⁡ 2 × 3 = log ⁡ 2 + log ⁡ 3

Aplicando isso na nossa situação, temos o produto entre B e t c , então vamos fazer

log ⁡ y = log ⁡ B t c

log ⁡ y = log ⁡ B + log ⁡ t c

Agora a gente pode lembrar da propriedade do peteleco. Se a gente tinha um expoente dentro do argumento do log, ele podia sair multiplicando pelo log, por exemplo

log ⁡ 2 3 = 3 log ⁡ 2

Aí no nosso caso

log ⁡ ( y ) = log ⁡ B t C

Se torna:

log ⁡ y = log ⁡ B + log ⁡ t c

log ⁡ ( y ) = log ⁡ B + C log ⁡ t

Passo 3

c) Se a gente usar a nomemclatura do passo 1,

Y = log ⁡ y

X = log ⁡ t

Podemos escrever a relação que encontramos no item b, como:

log ⁡ ( y ) = log ⁡ B + C log ⁡ t

Y = log ⁡ B + C X

Essa é a equação da reta que a gente esboçou no passo 1. Vamos tentar encontrar os valores de B e C comparando essa equação com a equação que tiramos do gráfico:

Y = 1,9637   X - 0,0762

O ponto onde o gráfico cruza o eixo Y é - 0,0762 , e isso vai ser igual a log ⁡ B :

log ⁡ B = - 0,0762

B = 10 - 0,0762 ≅ 0,84   m / s 2

E para encontrar C só precisamos olhar para o coeficiente angular da reta:

C = 1,9637 ≅ 2

Passo 4

(d) Então nossa equação é:

y = B t C

y = 0,84 t 2

Para descobrir o tempo que a moeda demora a cair 10   m , vamos substituir y = 10   m na nossa equação

10 = 0,84 t 2

t = 1 0,84 ≅ 1,1   s

Passo 5

(e) Se a equação é do tipo y = 1 2 a t 2 , então podemos comparar com a nossa equação para encontrar o valor de a :

y = 0,84 t 2

Vamos igualar as duas expressões para y :

0,84   t 2 = 1 2 a t 2

0,84 = 1 2 a

a ≅ 1,7   m / s 2

Resposta

(a)

(b) log ⁡ ( y ) = log ⁡ B + C log ⁡ t .

(c) B = 0,84   m / s 2 e C = 2 .

(d) t = 1,1   s .

(e) a = 1,7   m / s 2 .

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