Enunciado

Você é um estudante em uma aula de ciências que está usando o seguinte aparato para determinar o valor de g . Dois sensores fotoelétricos são usados. (Nota: talvez você já seja familiar com sensores fotoelétricos pelo seu cotidiano. Você os vê nas entradas de algumas lojas. Eles são feitos para soar uma campainha quando alguém interrompe um feixe ao entrar pela porta.) Um sensor está localizado na ponta de uma mesa que está 1,00   m acima do chão, e o segundo sensor está localizado diretamente abaixo do primeiro, a uma altura de 0,500   m acima do chão. Você é instruído a soltar uma bolinha através desses sensores, soltando-a a partir do repouso a uma distância desprezível acima do sensor de cima. Esse sensor de cima iniciar um cronômetro quando a bola passa pelo seu feixe. O segundo sensor para o cronômetro quando a bola passa pelo seu feixe. (a) Prove que a magnitude da aceleração de queda livre é dada por g e x p = ( 2 Δ y ) / Δ t 2 , onde Δ y é a distância vertical entre os sensores e Δ t é o tempo de queda. (b) Para a sua montagem, qual valor de Δ t você esperaria medir, considerando que g e x p tenha o valor padrão ( 9,81   m / s 2 )? (c) Durante o experimento, um pequeno erro é cometido. Ao invés de posicionar o primeiro sensor alinhado ao topo da mesa, a sua pouco cuidadosa parceira de laboratório o posiciona 0,50   c m abaixo do topo. Entretanto, ela consegue posicionar corretamente o segundo sensor a uma altura de 0,50   m acima do chão. Todavia, ela solta a bolinha da mesma altura da qual foi solta quando o sensor estava 1,00   m acima do chão. Qual valor de g e x p você e sua parceira esperariam medir? Qual a diferença percentual isso representa comparado ao valor padrão de g ?

Passo 1

(a) Oláaa! Então, a gente tem uma bolinha que é largada da altura de um sensor e chega ao outro sensor, que está logo abaixo. A distância entre esses sensores é Δ y e o tempo decorrido é Δ t . A gente quer o valor da gravidade a partir desses dados.

Vamos usar a equação que dá a altura y em função do tempo para o caso com aceleração constante

y = y 0 + v 0 y t + 1 2 a t 2

Como estamos apenas “soltando” a bola, sem jogar, a velocidade inicial é v 0 y = 0 , e y 0 é simplesmente a posição do primeiro sensor.

y = y 0 + 1 2 a t 2

Se chamarmos a posição do segundo sensor de y , podemos dizer que a distância percorrida pela bola é:

Δ y = y - y o

Nossa expressão fica assim:

y = y 0 + 1 2 a t 2 → y - y 0 = 1 2 a t 2

Δ y = 1 2 a t 2

E então:

a = 2 Δ y t 2

Esse t é o instante em que a bola passa pelo segundo sensor. Se o nosso cronometro começa a medir o tempo no primeiro sensor, então em y 0 temos t 0 = 0 . Assim, a gente pode reescrever que o tempo decorrido para o bola passar pelos dois sensores é

Δ t = t - t 0 = t - 0 = t

Já que t = Δ t , podemos reescrever:

a = 2 Δ y Δ t 2

Mas a aceleração que age sobre a bola é justamente a gravidade que queremos encontrar no experimento, o g e x p que queríamos calcular:

g e x p = 2 Δ y Δ t 2

Igualzinho ao que o enunciado diz 😊

Passo 2

(b) O enunciado diz que o primeiro sensor está na altura 1   m e o segundo na altura 0,5   m . A diferença entre eles é 0,5   m . Essa é exatamente a distância entre os dois sensores dada como Δ y :

Δ y = 0,5   m

Considerando que g e x p = 9,81 m s 2 , , que o deslocamento da bola foi Δ y = 0,50   m , podemos calcular o intervalo Δ t usando a fórmula que acabamos de encontrar:

g e x p = 2 Δ y Δ t 2

Δ t = 2 Δ y g e x p

Δ t = 2 ( 0,50 ) ( 9,81 ) = 0,319   s

Obs: ficamos diferentes do gabarito, mas estamos certinhos, tá bem?

Passo 3

(c) Agora a situação mudou um pouco. A menina colocou o sensor 0,5   c m abaixo do topo, ou seja, a altura do sensor de cima está 0,5   c m mais baixa. Em vez de 1   m , temos 1 - 0,005 = 0,995   m .

Só que ela lançou a bola a 1   m do solo normalmente. E a gente quer saber que g e x p vamos medir por causa desse erro. Para chegar nessa gravidade experimental, a gente precisa usar a fórmulinha do enunciado:

g e x p = 2 Δ y Δ t 2

Então a gente precisa de Δ y e Δ t para essa situação. Vamos começar achando Δ t .

A posição do segundo sensor continua igual, mas como a posição do primeiro foi alterada, a bola já vai ter uma velocidade inicial quando o cronômetro começar a contar o tempo, porque na verdade a bola vai ser solta um pouco acima dele.

Ou seja, a bola vai passar pelo primeiro e pelo segundo sensor mais rápida do que deveria, e o nosso experimento vai “pensar” que toda essa velocidade no segundo sensor veio de g naquele pequeno trecho Δ y .

Qual a velocidade que a bola ganha nesses primeiros 0,005   m , depois que ela é largada (velocidade inicial nula)? Podemos usar essa expressão para descobrir:

v 1 2 = v 0 2 + 2 g Δ s

v 1 = 0 2 + 2 9,81 0,005 = 0,313   m / s

E qual a velocidade que ela terá depois de cair até o segundo sensor? Podemos usar a mesma fórmilinha anterior para descobrir, mas agora entre o ponto de lançamento e o segundo sensor.

v 2 2 = v 0 2 + 2 g Δ s

A distância percorrida pela bolinha do ponto de onde ela é largada e o segundo sensor vai ser

Δ S = 1 - 0,5 = 0,5   m

Logo:

v 2 = 2 ( 9,81 ) ( 0,50 ) = 3,13   m / s

E considerando g = 9,81   m / s 2 , quando tempo demora para a gente sair da velocidade v 1 no primeiro sensor para a velocidade v 2 no sengundo sensor? Vamos usar a definição de aceleração:

a = g = v 2 - v 1 Δ t

v 2 = v 1 + g Δ t

3,13 = 0,313 + 9,81   Δ t

Δ t = 0,287   s

Passo 4

Beleza, então (já que nós não sabíamos do erro) íamos concluir que a bola caiu Δ y = 0,50   m (o Δ y planejado para o experimento) em Δ t = 0,287   s , que valor de g nós calcularíamos partindo desses valores incorretos?

g e x p = 2 Δ y Δ t 2

g e x p = 2 0,50 0,287 2 ≅ 12   m / s 2

E qual a diferença percentual desse valor para o que calculamos logo antes?

9,81 - 12 9,81 = 22   %

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Δ t = 0,319   s .

(c) A diferença é de 22 % .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pedra é deixada cair em um rio a partir de uma ponte situada 43,9m acima da água. Outra pedra é atirada verticalmente para baixo 1,0s após a primeira ter sido deixada cair. As pedras atingem a águ
Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12m / s e está a 80m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. ( a ) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? ( b ) Com que veloc
Uma bola de argila úmida cai 15,0m até o chão e permanece em contato com o solo por 20,0m s antes de parar completamente. (a) Qual é o módulo de aceleração média da bola durante o tempo de contato com
Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo no instante t = 0 . Em t = 1,5s , a pedra ultrapassa o alto de uma torre; 1,0 s depois, atinge a altura máxima. Qual é a altura da torre?
A água pinga de um chuveiro em um piso situado 200c m abaixo. As gotas caem a intervalos de tempo regulares (iguais), com a primeira gota atingindo o piso quando a quarta gota começa a cair. Quando a