Enunciado

Você joga uma bola de baseball diretamente para cima com uma rapidez inicial de 150   k m / h , a rapidez terminal durante a queda também é 150   k m / h . (a) Use o método de Euler (planilha) para estimar a altura da bola 3,50   s depois da queda. (b) Qual é a altura máxima atingida? (c) Quanto tempo depois do lançamento a bola atinge a altura máxima? (d) Quanto tempo depois ela volta ao chão? (e) O tempo que a bola leva na subida é menor, igual ou maior do que o tempo que ela leva na descida?

Passo 1

Vamos começar escrevendo as forças que atuam sobre a bola durante a queda. Definimos o sentido positivo como vertical para cima:

∑ F y = - P - F a r r = m a y

E precisamos escrever F a r r como uma função proporcional a v 2 , e a aceleração como a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Embora o peso aponte sempre na vertical para baixo, a força de arrasto vai estar simplesmente no sentido oposto ao movimento, então temos que achar alguma forma de reescrever sua fórmula para representar isso:

F a r r = b v 2         →         F a r r = b | v | v

Dessa forma quando v forma mantemos o mesmo módulo mas deixamos o sinal “escapar” do efeito do expoente 2 (que sempre cancela o sinal).

- m g - b v | v | = m d v d t

No instante em que a aceleração d v / d t   é nula, v é a rapidez terminal v t (que só ocorre durante a queda) então:

- m g - b ( - v t ) v t = 0

b = m g v t 2

Agora vamos reescrever nossa equação diferencial:

- m g - m g v t 2 v v = m d v d t

d v d t = - g 1 + v 2 v t 2

Passo 2

Beleza, agora vamos usar o método de Euler para extrair resultados dessa equação diferencial, usando intervalos de tempo Δ t = 0 , 1   s .

A cada passo nós vamos atualizar os valores, começando com x 0 = 0 , v 0 = 150   k m / h (ou v 0 = 41,67   m / s ) e v t = 150   k m / h (ou v t = 41,67   m / s ).

A aceleração vai variar seguindo a seguinte fórmula:

a n = - g 1 + v n | v n | v t 2

O que nos diz que, como já de saída temos v n = v t , a 0 = - 2 g .

Para a rapidez vamos usar o seguinte:

v n + 1 = v n + a n Δ t

E para a posição:

x n + 1 = x n + v n + 1 + v n 2 Δ t

Passo 3

Agora é só montar a planilha e extrair os resultados.

(a) Em t = 3,5   s , temos y ≅ 60,3   m .

(b) A altura máxima atingida pela bola é y ≅ 60,5   m

(c) Essa altura ocorre aproximadamente em t = 3,3   s .

(d) O instante em que a bola toca o chão ( y = 0 ) é em torno de t = 7,0   s .

(e) Considerando que a bola leva 3,3   s para atingir a altura máxima, e depois demora 3,7   s para cair, isso quer dizer que ela leva mais tempo na descida do que na subida.

Resposta

(a) y = 60,3   m .

(b) y ≅ 60,5   m .

(c) t = 3,3   s .

(d) t = 7,0   s .

(e) O tempo na subida é menor.

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