Enunciado

Encontre o centro de massa da folha uniforme de madeira na figura. Considere esse sistema como efetivamente composto de duas folhas, supondo que uma “massa negativa” para compensar o buraco. Portanto, uma é um quadrado de 3,0   m de lado e massa m 1 e a segunda é uma folha retangular 1,0   m × 2,0   m com uma massa - m 2 . Tome a origem do sistema de coordenadas no canto inferior esquerdo da folha.

Passo 1

Vamos desenhar o nosso sistema de coordenadas na figura:

E seguindo a orientação do enunciado, vamos primeiro procurar o centro de massa de um quadrado de lado 3   m :

x C M   ,   y C M = 3 2   , 3 2

x C M   ,   y C M = 1,5   m   , 1,5   m

Passo 2

E agora vamos considerar o de um retângulo de lados 1,0   m × 2,0   m .Vamos usar outro sistema de coordenadas para facilitar a conta:

E então:

x C M , y C M = 1 2   , 2 2

x C M , y C M = 0,5   m   , 1   m

E agora é só “converter” essas coordenadas para o sistema antigo.

Para ir de um sistema a outro, nós simplesmente andamos 1 metro para a direita no eixo x e 1 metro para cima no eixo y . Então, no sistema antigo, as coordenadas do centro de massa do retângulo são:

x ' C M = 0,5 + 1 = 1,5   m

y ' C M = 1 + 1 = 2,0   m

x ' C M , y ' C M = 1,5   m ,   2,0   m

Passo 3

Agora sim, é só fazer a média ponderada desses dois pontos, considerando que o retângulo tem massa “negativa”:

x C M = m 1 1,5 + ( - m 2 ) ( 1,5 ) m 1 + ( - m 2 )

y C M = m 1 1,5 + ( - m 2 ) ( 2,0 ) m 1 + ( - m 2 )

E agora só precisamos de expressões para m 1 e m 2 . Se a densidade superficial da placa é dada por σ , podemos usar a seguinte relação:

m = σ A

Onde A é a área de cada placa:

m 1 = σ 3 2 = 9 σ

m 2 = σ 2 1 = 2 σ

E então:

x C M = 9 σ 1,5 - 2 σ ( 1,5 ) 7 σ = 1,5   m

y C M = 9 σ 1,5 - 2 σ ( 2,0 ) 7 σ = 1,4   m

Resposta

O centro de massa da folha está localizado em ( 1,5   m   ,   1,4   m ) .

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