Enunciado

Você projetou um foguete para coletar amostras de ar poluído. Ele é disparado verticalmente com uma aceleração constante, para cima, de 20 m/s². Depois de 25 s, o motor é descartado e o foguete continua subindo (em queda livre) por um tempo. (A resistência do ar é desprezível.) Finalmente, o foguete para de subir e passa a cair de volta para o solo. Você deseja coletar uma amostra de ar que está 20 km acima do solo. (a) Você conseguiu atingir a altura desejada? Caso negativo, o que você deverá modificar para o foguete atingir os 20 km? (b) Determine o tempo total de vôo do foguete. (c) Encontre a rapidez do foguete justo antes de atingir o solo.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Vamos entender o problema. Em um primeiro momento, o foguete acelera para cima, em um segundo momento ele é submetido à gravidade (porque ele perde o motor), mas continua subindo. E num terceiro momento ele começa a descer somente sobre ação da gravidade.

Vamos estudar estes momentos separadamente.

a) Queremos a altura total atingida por ele. A altura total que ele atinge vai ser a distância que ele sobe no primeiro momento mais a distância que ele sobe no segundo. Então podemos escrever:

h = ∆ y 1 + ∆ y 2

Onde ∆ y 1 , é o deslocamento no primeiro estágio e ∆ y 2 é o deslocamento no segundo estágio. Vamos achar expressões para esses dois carinhas.

Como no primeiro momento, temos aceleração constante e sabemos quanto tempo ficamos com essa aceleração (os 25   s que tivemos o motor), podemos usar essa expressão para o deslocamento:

∆ y 1 = v 0 y t + 1 2 a 1 t 2

Como o foguete parte do repouso (é disparado), temos v 0 y = 0 , o que nos dá:

∆ y 1 = 1 2 a 1 t 2

Passo 2

Agora vamos pensar no segundo estágio. Temos também a aceleração constante, a da gravidade. Mas dessa vez não sabemos quanto tempo o foguete continuou subindo enquanto estava apenas sobre o efeito da gravidade.

Dessa forma, vamos usar uma expressão que dá o deslocamento do foguete, mas que não depende do tempo. Essa aqui:

v 2 2 = v 1 2 + 2 a 2 ∆ y 2

Sendo que essa v 1 é a velocidade no inicio do percurso sem motor, ou seja, é a velocidade no final do percurso com motor. Assim, é a velocidade no final do primeiro estágio. Podemos encontra-la a partir da expressão

v 1 = v 0 y + a 1 t

Lembra que a velocidade inicial para o percurso com motor é nula:

v 1 = a 1 t

Agora vamos pensar na velocidade final do percurso sem motor, v 2 . Ela é a velocidade no ponto mais alto quando o foguete está somente sobre ação da gravidade, então vai ser nula

v 2 = 0

Substituindo essas duas coisinhas na expressão de Δ y 2 :

0 = a 1 t + 2 a 2 ∆ y 2

Lembrando que a aceleração em 2 é a 2 = - g (negativa porque está para baixo):

0 = a 1 t - 2 g ∆ y 2

∆ y 2 = a 1 t 2 2 g

Passo 3

Agora a gente pode achar a expressão da altura atingida pelo foguete. Temos:

h = ∆ y 1 + ∆ y 2

Substituindo o que achamos:

h = 1 2 a 1 t 2 + a 1 t 2 2 g

Substituindo os dados do enunciado e sabendo que g = 9,81   m / s :

h = 1 2 20 ⋅ 25 2 + 20 ⋅ 25 2 2 ⋅ 9,81

h ≈ 19   k m

O foguete não atingiu os 20 km necessários. Uma alternativa para ir mais alto seria aumentar a aceleração ou o tempo de aceleração.

Passo 4

b) O tempo total de vôo é dado por:

∆ t t o t a l = ∆ t 1 + ∆ t 2 + ∆ t 3

O tempo do primeiro estágio a gente já tem,

Δ t 1 = 25   s

O do segundo a gente pode achar usando a expressão que relaciona velocidade e tempo decorrido quando a gente tem uma aceleração constante (que no nosso caso é a gravidade). Essa aqui:

a 2 = v 2 - v 1 Δ t 2

Percebe que a velocidade inicial desse movimento é v 1 , a velocidade final do estágio com motor.

Já temos a expressão para para v 1 (do passo 2) e sabemos que a 2 = - g . Vamos substituir:

- g = v 2 - a 1 t Δ t 2

E podemos lembrar que v 2 é a velocidade na altura máxima, então

v 2 = 0

Assm, temos:

- g = 0 - a 1 t Δ t 2

g = a 1 t Δ t 2

Δ t 2 = a 1 t g

Esse t é aquele tempo inicial de 25 s , tá? Que é referente ao estágio 1,

Passo 5

O tempo de queda pode ser achado pela expressão para aceleração constante também, que relaciona tempo e deslocamento, para o terceiro estágio:

∆ y 3 = v 2 y t 3 + 1 2 a 2 t 3 2

Percebe que aqui, a velocidade inicial é a velocidade no ponto mais alto, logo

v 2 = 0

E a aceleração continua sendo a gravidade a 2 = - g . E o deslocamento vai ser a distância percorrida ao foguete cair. Ele vai cair que distância? A distância que ele subiu! Então

Δ y 3 = - 19   k m = - 19   000   m

Negativo porque o foguete desceu. Assim, nossa expressão fica:

- 19   000 = - g 2 t 3 2

Esse t 3 é o tempo de queda do terceiro estágio:

Δ t 3 = ∆ t q u e d a = 2 × 19   000 g

Passo 6

Agora vamos substituir tudo que a gente tem na expressão do tempo total:

∆ t t o t a l = ∆ t 1 + ∆ t 2 + ∆ t 3

Substituindo as equações, temos:

∆ t t o t a l = 25 + a 1 t g + 2 × 19   000 g

∆ t t o t a l = 25 + 20   25 9,81 + 2 ⋅ 19 ⋅ 10 3 9,81

∆ t t o t a l = 138,21   s

Passo 7

c) A velocidade final do foguete é dada por:

v 3 = v 2 - g t 3

Que é a relação entre tempo e velocidades quando a gente tem aceleração constante.

Sabemos que v 2 é nula porque essa é a velocidade na altura máxima, logo temos:

v 3 = - g t 3

Esse t 3 é intervalo de tempo decorrido no terceiro estágio. Temos a expressão para ele também:

t 3 = 2 × 19   000 g

Substituindo:

v 3 = - g 2 × 19   000 g

v f = - 9,81 ⋅ 2 ⋅ 19 ⋅ 10 3 9,81

v f = - 610,56   m / s

Esse sinal de menos representa que a velocidade está para baixo, belezinha?

Resposta

a ) h = 19   k m

O foguete não atingiu os 20 km necessários. Uma alternativa para ir mais alto seria aumentar a aceleração ou o tempo de aceleração.

b ) ∆ t t o t a l = 138,21   s

c ) v f = 610,56   m / s , para baixo

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