Enunciado

Passo 1

Precisamos mostrar que psi ( x ) = C e ^(k x) + D e ^(- k x) e solução da equação:

- ((h // 2 pi) ^2)/(2 m) (d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) + U ( x ) Psi ( x ) = E Psi ( x )

E calcular (d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) para essa função de onda.

Passo 2

Por facilidade, vamos começar com a derivada.

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = (d ^2 [C e ^(k x) + D e ^(- k x)])/(d x ^2)

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = (d)/(d x) {(d [C e ^(k x) + D e ^(- k x)])/(d x)}

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = (d)/(d x) [C k e ^(k x) - D k e ^(- k x)]

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = C k ^2 e ^(k x) + D k ^2 e ^(- k x)

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = k ^2 (C e ^(k x) + D e ^(- k x))

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = k ^2 Psi ( x )

Passo 3

Para sabermos se é solução, basta substituirmos essa função de onda na equação:

- ((h // 2 pi) ^2)/(2 m) (d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) + U ( x ) Psi ( x ) = E Psi ( x )

Sabemos que U ( x ) = U _o , então:

- ((h // 2 pi) ^2)/(2 m) (d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) + U _o Psi ( x ) = E Psi ( x )

Acabamos de encontrar o primeiro termo do lado esquerdo da igualdade. Substituindo ele:

- ((h // 2 pi) ^2)/(2 m) k ^2 Psi ( x ) + U _o Psi ( x ) = E Psi ( x )

- ((h // 2 pi) ^2)/(2 m) k ^2 + U _o = E

k = (sqrt(2 m (E - U _o)))/((h // 2 pi))

Assim, a função de onda dada é solução.

Resposta

(d ^2 Psi ( x ))/(d x ^2) = k ^2 Psi ( x )

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