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Exercícios Resolvidos de Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade

Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - 8.Problemas - 37

Exploradores da floresta encontram um monumento antigo na forma de um grande triângulo isósceles, como mostrado na Figura P8.37. O monumento é feito de dezenas de milhares de pequenos blocos de pedra de densidade 3800   k g / m 3 . O monumento tem 15,7   m de altura e 64,8   m de largura em sua base, com espessura de 3,60   m ao longo dele. Antes de o monumento ser construído muitos anos atrás, todos os blocos de pedra foram colocados no solo. Quanto trabalho os construtores tiveram para colocar os blocos na posição durante a construção do monumento todo? Observação: A energia potencial gravitacional de um sistema corpo-Terra é definida por U g   =   M g y C M , em que M é a massa total do corpo e y C M é a elevação de seu centro de massa acima do nível de referência escolhido.

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

O volume do monumento é de um triângulo espesso de base L = 64.8m, altura H = 15.7m e largura W = 3.60m:

V = 1 2 L H W = 1.83 × 10 3 m 3

O monumento tem massa de:

M = ρ V = 3800 k g m 3 V = 6.96 × 10 6 k g

A altura do centro de massa (CM) é y C M = H 3 . A quantidade de trabalho feito nos blocos é:

U g = M g y C M = M g H 3 = 6.96 × 10 6 k g 9.80 m s 2 15.7 m 3 = 3.57 × 10 8 J

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A equação do lado inclinado do monumento é

y = H - H L 2 x → y = H - 2 H L x → y = H 1 - 2 L x

Onde x varia de 0   até   + L 2 . Portanto:

x = L 2 1 - y H

O volume é:

d V = 2 x W d y = L W 1 - y H d y

A massa contida em um elemento de volume é d m = ρ d V :

Por causa de simetria, temos:

y C M = 1 M ∫ 0 M   y d m = 1 M ∫ 0 V   y ρ d V = 1 M ∫ 0 H   y ρ L W 1 - y H d y y C M = ρ L W M ∫ 0 H   y - y 2 H d y = ρ L W M y 2 2 - y 3 3 H 0 H = ρ L W M H 2 2 - H 3 3 H

y C M = ρ L W H 2 M 1 2 - 1 3 = 1 6 ρ L W H 2 1 2 ρ L W H = 2 1 H 6

y C M = H 3

Onde usamos M = ρ 1 2 L H W

Resposta

y C M = H 3

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