Enunciado

Um arame longo e fino de comprimento L tem uma densidade linear de massa dada por A - B x , onde A e B são constantes positivas e x é a distância a partir da extremidade de maior massa. (a) A condição para que esse problema seja realista é que A > B L . Explique por quê. (b) Determine x c m em termos de L , A e B . A sua resposta faz sentido se B = 0 ? Explique.

Passo 1

(a) O enunciado diz que a densidade linear de massa é dada pela seguinte expressão:

ρ x = A - B x

E sabemos que x vai variar de 0 até L . O que aconteceria se A fosse menor do que B L . Bom, quando x fosse igual a L , teríamos o seguinte:

ρ L = A - B L

A < B L         ⇒         A - B L = ρ L < 0

Ou seja, teríamos uma densidade linear de massa negativa, o que não faz sentido, então A precisa ser maior do que B L .

Passo 2

(b) Vamos usar a fórmula para calcular o centro de massa:

x c m = ∫ x   d m ∫ d m

d m = ρ   d x

Agora podemos resolver as integrais, começando pela primeira:

∫ x   d m = ∫ 0 L x A - B x d x

∫ x   d m = ∫ 0 L A x - B x 2   d x

∫ x   d m = A 2 L 2 - B 3 L 3

E então para a segunda integral:

∫ d m = ∫ 0 L A - B x d x

∫ d m = ∫ 0 L A - B x   d x

∫ d m = A L - B 2 L 2

Substituindo de volta na fórmula:

x c m = A 2 L 2 - B 3 L 3 A L - B 2 L 2

Multiplicando por 6 / L no numerador e no denominador:

x c m = 3 A L - 2 B L 2 6 A - 3 B L

Passo 3

O que acontece com x c m quando B = 0 ? Para a posição do centro de massa, acontece o seguinte:

x c m = 3 A L - 2 ( 0 ) L 2 6 A - 3 ( 0 ) L

x c m = 3 A L 6 A = 1 2 L

E para a densidade linear:

ρ x = A

Ou seja, ficamos com uma barra de densidade constante, com centro de massa localizado exatamente na metade do seu comprimento, que é exatamente o resultado esperado.

Resposta

(a) Isso é necessário para respeitar o fato de que a densidade linear não pode ser negativa.

(b) A posição do centro de massa é dada por x c m = 3 A L - 2 B L 2 6 A - 3 B L e o resultado é consistente para B = 0 .

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