Enunciado

Uma partícula começa do repouso e acelera como demonstrado na Figura P2.13. Determine 

  1. a velocidade da partícula em t = 10,0 s e em t = 20,0 s, e
  2. a distância percorrida nos primeiros 20,0 s.

Passo 1

E aí, pessoal, bora mais uma?

Aqui não tem muito mistério, você só precisa saber que em gráficos do tipo a × t , a área entre a curva do gráfico e o eixo x equivale à velocidade do corpo no instante delimitado!

Então se a gente calcular a área do retângulo formado entre a curva e o eixo x no ponto t = 10   s , vamos determinar a velocidade do corpo nesse instante.

Vamos ter o seguinte:

a. v 10   s = b . h

Onde b e h são a base e a altura do retângulo delimitado por t = 10   s . Olhando os valores de b e h no gráfico, a gente responde facinho. Teremos:

∴ v 10   s = 10 ∙ 2 = 20   m / s

Passo 2

b.Agora queremos a distância percorrida em 20 segundos, ou seja, do percurso inteiro!

Pra isso, a gente vai precisar saber as velocidades praticadas pela partícula pelas áreas delimitadas entre a curva e o eixo horizontal. A primeira a gente já calculou no Passo 1, vamos calcular a outra, que é a área do retângulo com vértices em t = 15   s e t = 20   s .

Vamos ter:

v 20   s = 5 ∙ - 3 = - 15   m / s

Essa velocidade negativa indica que a partícula começou a voltar pra trás no percurso que seguia a partir do instante t = 15   s , que é onde ela começa a desacelerar (ou acelerar pra trás).

Passo 3

Agora, com as velocidades ao longo do percurso calculadas, a gente consegue determinar a velocidade média do percurso, que nada mais é que a média dessas velocidades. Temos:

V m = 20   m / s + ( - 15   m / s ) 2 = 2,5   m / s

Em outras palavras, é como se a partícula tivesse alcançado seu destino com essa velocidade durante todo o trajeto! Não foi assim na prática, mas matematicamente seria equivalente a isso, sacou?

Passo 4

Bom, temos a velocidade média do percurso todo, de 2,5   m / s , e o tempo que a partícula levou pra executá-lo, de 20   s .

Com esses dados a gente consegue obter o tamanho do percurso, a distância d , uma vez que:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

Teremos, nos primeiros 10s:

20 2 = 0 + 2 * 2 * ∆ S

∆ S = 400 4 = 100   m  

Entre 10 e 15s: a velocidade é constante, já que a=0. Logo:

s = 20 * 5 = 100   m

Entre 15 e 20s:

5 2 = 20 ² - 2 * 3 * ∆ S

∆ S = 400 - 25 6 = 62,5   m  

Somando as 3 distâncias, teremos:

∆ S = 100 + 100 + 62,5 = 262,5   m  

Resposta

a. 20   m / s

b. 262,5   m

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