Exercícios Resolvidos de Integrais de Funções Básicas

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Enunciado

Calcule a integral definida ∫ 1 3 e x   d x

  1. e³ - e
  2. 1 – e
  3. 2
  4. e
  5. 2e

Passo 1

Pessoal, o exercício quer que a gente calcule uma integral que ele chama de integral definida. Mas o que é uma integral definida? E o que são esses numerozinhos em cima e embaixo da integral?

∫ 1 = ? 3 = ? e x   d x

Bem, esses numerozinhos são chamados de limites de integração. Quando uma integral tem esses limites de integração, ela é chamada de integral definida!

Mas relaxa, porque nesse início de resolução a gente não vai usar os limites de integração!

No início, vamos integrar normalmente a função como se eles não estivessem ali. Só não esquece totalmente deles porque vamos usá-lo no final, tá!

Vamos calcular a integral de e x . Mas o que é essa letra “ e ” da integral?

∫ 1 3 e ⏟ ? ? ? x   d x

A letra “ e ” é uma constante bastante usada em cálculo e física, que vale aproximadamente 2,718 .

e ≅ 2,718

Vai ser comum vermos ela por aqui. Mas fica tranquilo, porque não vamos precisar usar esse valor de “ e ” nas questões. Nós podemos deixar o próprio e , só lembrando que é uma constante de valor específico!

Então vamos fazer essa integração no passo seguinte!

Passo 2

Então vamos começar integrando o e x !

Integrar o e x é muito tranquilo, porque a integral de e x é o próprio e x ! Logo:

∫ e x d x = e x + c  

Mas essa aí é a solução de uma integral indefinida, e por isso precisamos colocar sempre esse +   c no final.

Mas espera! Lembra que nossa integral é definida, porque tinha aqueles limites de integração?

Então o certo é escrevermos dessa forma aqui:

∫ 1 3 e x   d x = e x 1 3  

Ao resolver uma integral definida, não precisamos colocar a constante de integração c , mas temos que colocar essa barrinha com os limites de integração após a solução da nossa integral pra lembrar que ainda precisamos usá-los de alguma forma.

Então vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 3

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Pra isso vamos reescrever nosso resultado e substituindo o x pelos limites de integração! Vamos fazer isso com cada um dos limites. Primeiro o que está lá em cima (o 3 ), e depois o que está na parte de baixo (o 1) e vamos subtrair os resultados das nossas substituição.

F u n ç ã o   c o m   o   l i m i t e   d e   c i m a - F u n ç ã o   c o m   o   l i m i t e   d e b a i x o

Esse aí é o chamado “Teorema Fundamental do Cálculo”. Lembre-se sempre de fazer nessa ordem, primeiro o de cima e depois o de baixo.

Usando essa regra, a expressão vira:

∫ 1 3 e x   d x = e x 1 3 = e 3 - e 1

No entanto, quando temos um número elevado a 1 , podemos esconder o expoente.

e 1 = e

Substituindo isso na integral, achamos:

∫ 1 3 e x   d x = e 3 - e

Ou seja, a resposta certa é a letra (a). Ponto pra gente!

Resposta

Letra (a)