Integrais de Funções Básicas

Teoria Completa

Módulo 3

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Calcule a integral definida ∫ 1 3 e x   d x

  1. e³ - e
  2. 1 – e
  3. 2
  4. e
  5. 2e
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pessoal, o exercício quer que a gente calcule uma integral que ele chama de integral definida. Mas o que é uma integral definida?

Além disso, o que são esses numerozinhos em cima e em baixo da integral?

∫ 1 = ? 3 = ? e x   d x

Esses numerozinhos são chamados de limites de integração.

Quando uma integral tem esses limites de integração, ela é chamada de integral definida!

Mas relaxa, porque nesse início de resolução a gente não vai usar os limites de integração!

No início, vamos integrar normalmente a função. Mas o que é essa letra “ e ” da integral?

∫ 1 3 e ⏟ ? ? ? x   d x

A letra “ e ” é um número que vale aproximadamente 2,718 .

e ≅ 2,718

Mas relaxa, porque não vamos precisar usar esse valor de “ e ” nas questões que envolvem esse número!

Então vamos fazer essa integração no passo seguinte!

Passo 2

Então vamos começar integrando o e x !

Integrar o e x é muito tranquilo, porque a integral de e x é o próprio e x ! Logo:

∫ 1 3 e x   d x = e x 1 3

Os limites de integração estão presentes para lembrar que ainda precisamos usá-los de alguma forma.

Então vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 3

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o x pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os x ' s por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o x pelo limite de cima (pelo 3 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 1 ). A regra de troca do x é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Usando essa regra, a expressão vira:

∫ 1 3 e x   d x = e x 1 3 = e 3 - e 1

No entanto, quando temos um número elevado a 1 , podemos esconder o expoente.

e 1 = e

Substituindo isso na integral, achamos:

∫ 1 3 e x   d x = e 3 - e

Ou seja, a resposta certa é a letra (a). Ponto pra gente!

Resposta

Letra (a)

Exercício Resolvido #2

Ache a integral indefinida geral.

∫ x 3 + 6 x + 1 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza, temos que calcular quanto vale essa integral grandona cheia de somas!

Assim que a gente ver que a função que está dentro da integral é cheia de somas e subtrações, a gente tem que lembrar que podemos separar a integral grande em várias pequenininhas. Olha só como a integral fica:

∫ x 3 + 6 x + 1 d x = ∫ x 3 d x + ∫ 6 x d x + ∫ 1 d x

Desse jeito, a gente substituiu uma integral grande mais complicada por várias integrais mais simples!

No próximo passo a gente vai ver como calcular cada integral!

Passo 2

Vamos começar a integrar, resolvendo a integral mais simples. A integral mais simples é a integral da constante 1 . Sempre que tem uma constante sozinha dentro de uma integral, nós temos que dar para ela um x de presente!

∫ x 3 d x + ∫ 6 x d x + ∫ 1 d x = ∫ x 3 d x + ∫ 6 x d x + x ⋅ 1

Só que o x ⋅ 1 é igual ao próprio x .

∫ x 3 d x + ∫ 6 x d x + x ⋅ 1 = ∫ x 3 d x + ∫ 6 x d x + x

As duas integrais que restaram serão calculadas no próximo passo.

Passo 3

Primeiro de tudo, é importante lembrarmos que as constantes não vão interferir na integral. Então, podemos colocar essas constantes fora da integral.

∫ x 3 d x + ∫ 6 x d x + x = ∫ x 3 d x + 6 ⋅ ∫ x d x + x

Antes de começar a integrar, precisamos lembrar que, quando o x não está elevado a nenhum número, ele está na verdade elevado a 1 .

x = x 1

Substituindo isso na integral, ela vira:

∫ x 3 d x + 6 ⋅ ∫ x d x + x = ∫ x 3 d x + 6 ⋅ ∫ x 1 d x + x

Desse jeito fica melhor de perceber que as integrais que restaram são potências de x .

Pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de x . A regrinha é: soma 1 no expoente n e divide por esse resultado. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Para usar essa regra, nós temos que lembrar que o expoente n de x 3 vale 3 e que o expoente n de x 1 vale 1 !

Usando essa regra, as integrais restantes vão ficar assim:

∫ x 3 d x + 6 ⋅ ∫ x 1 d x + x = x 4 4 + 6 ⋅ x 2 2 + x

Então acabamos o exercício, certo?

Nããão! Calma aí! Não se apresse! Antes de terminar tudo, ainda temos um passo para cumprir! Esse passo é muito importante. Se você esquecer desse passo, pode acabar perdendo pontos preciosos em provas.

Passo 4

No último passo, nós temos que lembrar de somar uma constante genérica no final da integral! Essa constante pode valer 1 , 2 , 100 ou 30000 . Tanto faz o valor dessa constante. O que importa é que ela tem que estar presente na integral! Para indicar que essa constante pode ter qualquer valor, vamos chamar ela de C e vamos somar esse C no fim da integral!

∫ x 3 + 6 x + 1 d x = x 4 4 + 6 ⋅ x 2 2 + x + C

Pronto, agora terminamos, não é?

Não hahaha mas eu prometo que essa é a última surpresa!

Tá vendo que o x 2 está sendo multiplicado por 6 e dividido por 2 ? Para deixar nossa resposta bem organizada, temos que dividir o 6 pelo 2 !

∫ x 3 + 6 x + 1 d x = x 4 4 + 3 ⋅ x 2 + x + C

Agora sim a nossa resposta está pronta! Com essa resposta dá pra tirar um 10 !

Resposta

∫ x 3 + 6 x + 1 d x = x 4 4 + 3 ⋅ x 2 + x + C

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral.

∫ 0 9 2 t   d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Galera, o exercício quer que a gente calcule uma integral que tem esses numerozinhos em cima e em baixo dela. O que eles são?

∫ 0 = ? 9 = ? 2 t   d t

Esses numerozinhos são chamados de limites de integração.

Quando uma integral tem esses limites de integração, ela é chamada de integral definida!

Mas relaxa, porque nesse início de resolução a gente não vai usar os limites de integração!

Antes, temos que lembrar que tirar a raiz quadrada é a mesma coisa que elevar a 1 2 ! Olha só:

2 t = 2 t 1 / 2

Além disso, elevar dois números juntos é a mesma coisa que elevar cada número separadamente!

2 t 1 / 2 = 2 1 / 2 ⋅ t 1 / 2

Substituindo isso na integral, encontramos:

∫ 0 9 2 t   d t = ∫ 0 9 2 1 / 2 ⋅ t 1 / 2   d t

Essa integral está pronta pra ser calculada! No próximo passo a gente vai integrar!

Passo 2

Primeiro, nós temos lembrar que a as constantes não interferem na integral e podem ser tiradas de dentro dela. 2 1 / 2 é uma constante. O fato de ela estar elevada a um número, não muda o fato de ela ser uma constante.

Colocando 2 1 / 2 pra fora da integral, achamos:

∫ 0 9 2 1 / 2 ⋅ t 1 / 2   d t = 2 1 / 2 ⋅ ∫ 0 9 t 1 / 2   d t

Agora só sobrou o t elevado a 1 2 !

Sempre que tivermos t elevado a um número, podemos usar uma regrinha.

A regrinha é: soma 1 no expoente n e divide por esse resultado. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:

∫ t n   d x = t n + 1 n + 1

Para usar essa regra, nós temos que lembrar que o expoente n de t 1 / 2 vale 1 2 . Logo:

n + 1 = 1 2 + 1

Para fazer essa conta, precisamos colocar o 1 que está sozinho no mesmo denominador que a fração 1 2 . Para isso, vamos multiplicar e dividir esse 1 por 2 !

n + 1 = 1 2 + 1 = 1 2 + 1 ⋅ 2 2 = 3 2

Substituindo isso na integral, achamos:

2 1 / 2 ⋅ ∫ 0 9 t 1 2   d t = 2 1 / 2 ⋅ t 3 / 2 3 / 2 0 9

Note que os limites de integração ainda estão presentes para lembrar que eles ainda precisam ser usados. Não vamos usá-los agora, mas é importante deixa-los aí!

Quando dividimos um número por uma fração, nós multiplicamos a parte de cima pelo inverso da fração. A parte de cima é o t 3 / 2 . O inverso da fração 3 2 vale 2 3 . Com isso, temos que:

2 1 / 2 ⋅ t 3 / 2 3 / 2 0 9 = 2 1 / 2 ⋅ t 3 / 2 ⋅ 2 3 0 9

Agora só falta aprender a usar os limites de integração. No próximo passo a gente faz isso!

Passo 3

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o t pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os t ' s por um limite de cada vez. Primeiro, nós vamos trocar o t pelo limite de cima (pelo 9 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 0 ). A regra de troca do t é mostrada abaixo.

l i m i t e   d e   c i m a - l i m i t e   d e b a i x o

Usando essa regra, a expressão vira:

2 1 / 2 ⋅ t 3 / 2 ⋅ 2 3 0 9 = 2 1 / 2 ⋅ 9 3 / 2 ⋅ 2 3 ⏞ l i m i t e   d e   c i m a - 0 3 / 2 ⋅ 2 3 ⏞ l i m i t e   d e b a i x o

Nós podemos tirar o termo com 0 da equação pra deixar ela mais simples!

2 1 / 2 ⋅ 9 3 / 2 ⋅ 2 3 - 0 3 / 2 ⋅ 2 3 = 2 1 / 2 ⋅ 9 3 / 2 ⋅ 2 3

Vamos fazer esse cálculo no último passo!

Passo 4

Para resolver essa conta, nós temos que lembrar que 9 é igual a 3 2 .

2 1 / 2 ⋅ 9 3 / 2 ⋅ 2 3 = 2 1 / 2 ⋅ 3 2 3 / 2 ⋅ 2 3

Além disso, temos que lembrar que 3 é, na verdade, 3 1 e que 2 é, na verdade, 2 1 .

2 1 / 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ 2 3 = 2 1 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ 2 1 3 1

Dando sequência a nossa conta, lembramos que, quando um número está na parte debaixo de uma fração (como é o caso do 3 1 ), ele pode subir se a gente mudar o sinal dele. Ou seja:

2 1 / 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ 2 1 3 1 = 2 1 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ 2 1 ⋅ 3 - 1

Por fim, quando temos um número sendo elevado duas vezes, podemos multiplicar seus expoentes.

3 2 3 2 = 3 2 ⋅ 3 2 = 3 3

Substituindo isso na conta:

2 1 2 ⋅ 3 2 3 2 ⋅ 2 1 ⋅ 3 - 1 = 2 1 2 ⋅ 3 3 ⋅ 2 1 ⋅ 3 - 1

A conta virou uma multiplicação de vários termos. Para simplificar essa conta, podemos somar os expoentes de potências de 3 e lembrar que 2 1 2 é igual a 2 .

2 1 ⋅ 2 1 2 = 2 2

3 3 ⋅ 3 - 1 = 3 3 - 1 = 3 2 = 9

Usando esses resultados na conta, achamos:

2 1 2 ⋅ 3 3 ⋅ 2 1 ⋅ 3 - 1 = 9 ⋅ 2 2

Podemos multiplicar 9 por dois para achar o resultado final.

9 ⋅ 2 2 = 18 2

Enfim achamos quanto vale a integral do enunciado! Show!

Resposta

∫ 2 t   d t = 18 2

Exercício Resolvido #4

Calcule a integral.

∫ - 1 0 2 x - e x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, devemos obter a integral indefinida da função:

∫ 2 x - e x d x = 2 x 2 2 - e x + C

∫ 2 x - e x d x = x 2 - e x + C

Passo 2

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

∫ - 1 0 2 x - e x d x = x 2 - e x + C 0 - 1

∫ - 1 0 2 x - e x d x = 0 2 - e 0 + C - - 1 2 - e - 1 + C

∫ - 1 0 2 x - e x d x = - 1 - 1 + 1 e

∫ - 1 0 2 x - e x d x = 1 e - 2

Resposta

∫ - 1 0 2 x - e x d x = 1 e - 2