Exercícios Resolvidos de Linha elástica – Conceito

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Enunciado

Para a viga de aço (E=200 GPa) e carregamento mostrado a seguir determine o raio de curvatura na metade da viga, faça também um esboço da linha elástica. Dados: Momento de inércia da barra 10 - 4   m 4

Passo 1

Fala ai, pessoal!! Esse problema começa a introduzir o conceito de linha elástica e pede o esboço dela e o raio de curvatura na metade da viga. Para fazer isso a gente só precisa saber de como os apoios reagem (são as condições de contorno) e achar o momento fletor na barra.

Precisamos basicamente de duas coisas então: as condições dos apoios e o momento.

Passo 2

Vamos olhar as condições de contorno. Para as condições de contorno sempre vamos analisar duas coisas: o ângulo e a posição. Neste caso temos um engaste em A e uma extremidade livre em B logo as condições são dadas como:

Com isso podemos desenhar a linha elástica:

Perceba que a barriga está sempre voltada para baixo, o engaste A não possui variação nem de altura nem de angulação enquanto o ponto livre B possui variação de ambos.

Então já temos o nosso esboço da linha elástica! Vamos descobrir o raio de curvatura!

Passo 3

Para achar o raio de curvatura temos de achar o momento fletor, para isso vamos fazer um esquema das forças atuantes e para que o sistema se mantenha em equilíbrio vamos ter a seguinte configuração:

Utilizando as equações de equilíbrio estático vamos obter:

∑ F x = 0

A x = 0

Para y :

∑ F y = 0

A y = 80   k N

Para o momento em relação ao ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M A = 0

M - 80 × 2 = 0

M = 160   k N . m

Assim podemos achar o momento fletor numa seção qualquer.

Para achar o momento fletor basta fazer o somatório de momentos em realção ao ponto A :

∑ M A = 0

160 + V x - M = 0

M = 160 + V x

Como a força cortante é igual à força de 80   k N mas negativa vamos ter:

M x = 160 - 80 x

Assim o diagrama de momento fletor fica da forma:

Bom, na verdade a gente nem precisa fazer o diagrama, mas é legal para perceber que o momento fletor sempre vai ser positivo, isso indica que a linha elástiva sempre vai ter a barriguinha apontada para baixo (ou seja, nosso esboço estava certo! Uhulll)))

Passo 4

Agora vamos achar o raio de curvatura no ponto média da barra. O raio de curvatura ρ pode ser calculado como:

1 ρ = M E I

Como queremos o momento fletor em x = 1   m :

M x = 1 = 160 - 80 × 1 = 80   k N . m

E agora é só utilizar os dados da questão:

1 ρ = M E I

1 ρ = 80 × 10 3 ( 200 × 10 9 ) ( 10 - 4 )

ρ = 1 0,4 × 10 - 2

ρ = 250   m

Resposta

ρ = 250   m