Exercícios Resolvidos de Matrizes de Formas Bilineares

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Enunciado

Sejam u = x 1 , x 2 ,   v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = x 1 y 1 - 2 x 1 y 2 - 5 x 2 y 1 + x 2 y 2 . Determine a forma quadrática q   associada à f

Passo 1

Bem simples, vamos encontrar q ( v ) associada à f . Pra isso só usamos a definição:

q v = f ( v , v )

Passo 2

Teremos:

q x , y = f x , y , x , y

q x , y = x 2 - 2 x y - 5 y x + y 2

q x , y = x 2 - 7 x y + y ²

Resposta

q x , y = x 2 - 7 x y + y ²

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Em 2b) você deve ter mostrado que todo produto interno é uma forma bilinear. A recíproca é verdadeira?
Qual é a matriz M 2 × 2 associada à forma bilinear de R 2 × R 2 → R que dá o produto interno usual de R 2 ?
Seja Q x , y = x 2 + 12 x y - 4 y 2 . Determine uma base β tal que v β = x 1 y 1eQ v = a x 1 2 + b y 1 2
Mostre o resultado afirmado em 10.4 . 2 e use este fato para dar exemplos de formas bilineares simétricas B : R 5 × R 5 → R .
Se A é uma forma bilinear simétrica e Q a forma quadrática associada a ela, mostre que: A v , w = 1 4 Q v + w - 1 4 Q ( v - w )