Matrizes de Formas Bilineares

Teoria Completa

Montando a matriz

Se você já estava desconfiando que tava quase na hora de aparecer uma matriz na brincadeira:

Sim, vamos ver que as formas bilineares também podem ser associadas à uma matriz.

Cara, tá lembrado que para achar a matriz da transformação a gente aplicava a transformação nos vetores da base do domínio da transformação? Aqui é bem parecido, mas em vez de mexermos com uma base do domínio e outra do contradomínio, agora temos duas bases para o domínio e “nenhuma” no contradomínio.

Por exemplo, vamos achar a matriz de f x 1 , x 2 , y 1 , y 2 = x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 em relação à base canônica. A matriz fica assim:

0 1 2 0

Até você, xeroque rolmes, ficou intrigado como montamos essa matriz? Então, vem comigo que eu te explico

Lembra que a forma bilinear tem como domínio dois espaços vetoriais? Então, vamos dizer que a base do primeiro é B = { u 1 , u 2 ,   … ,   u n } e a do segundo é C = { v 1 ,   v 2 ,   … , v n } . Lá nas transformações lineareas a gente não tinha que aplicar a transformação nos vetores da base? Aqui é a mesma coisa, temos que aplicar a transformação em todos eles, ou seja, temos que calcular

f u 1 , v 1 ,     f u 1 , v 2 ,   … ,   f ( u 1 , v n )

f u 2 , v 1 ,     f u 2 , v 2 ,   … , f ( u 2 , v n )

f u n , v 1 ,     f u n , v 2 ,   … ,   f ( u n ,   v n )

Tá vendo, que eu organizei de um jeito esperto? Na primeira coluna, eu fixei o vetor da segunda base e fui variando o vetor da primeira base. Quando pulei de coluna eu mudei o vetor da segunda base. Esse é o macete para você não se perder.

Depois dessa contarada toda eu faço o que? Agora é a parte boa! Organiza na matriz, igual essa aqui embaixo

f ( u 1 , v 1 ) ⋯ f ( u 1 , v m ) ⋮ ⋱ ⋮ f ( u n , v 1 ) ⋯ f ( u n , v m )

Sendo f : U × V → R uma forma bilinear, B = { u 1 , u 2 , … , u n } uma base de   U e C = v 1 , v 2 , … , v m uma base de V , dizemos que a matriz de f em relação à B e C é:

f ( u 1 , v 1 ) ⋯ f ( u 1 , v m ) ⋮ ⋱ ⋮ f ( u n , v 1 ) ⋯ f ( u n , v m )

Vamos no passo a passo montar a matriz do nosso exemplo! A base canônica do R ² é C a n = { 1,0 , 0,1 } , logo

  • f 1,0 , 1,0 = 0 ,     f 1,0 , 0,1 = 1
  • f 0,1 , 1,0 = 2 ,     f 0,1 , 0,1 = 0

Por fim, só colocamos esses números na matriz.

Para fixar bem a ideia. Sendo f : U × V → R uma forma bilinear, B = { u 1 , u 2 , … , u n } uma base de   U e C = v 1 , v 2 , … , v m uma base de V , dizemos que a matriz de f em relação à B e C é:

f ( u 1 , v 1 ) ⋯ f ( u 1 , v m ) ⋮ ⋱ ⋮ f ( u n , v 1 ) ⋯ f ( u n , v m )

Perguntamos então, pra que serve essa matriz? Elementar meu caro Watson, pro mesmo fim que servem as matrizes das transformações lineares: para enxergamos ela de um jeito bonito, pra mexer com a transformação de formas legais e pra calcular os “f’s”.

Pra calcularmos o f ( u , v ) , sendo A a matriz de f nas bases B e C f B , C , fazemos assim:

f u , v = u B T f B , C v C

Então, no nosso exemplo, para calcularmos f 2,1 , - 1,3 usando as matrizes fazemos assim:

f 2,1 , - 1,3 = 2     1 0 1 2 0 - 1       3 = 2     1 3 - 2 = 2.3 - 1.2 = 4

Montando a matriz em outras bases

Agora, igual nas transformações lineares, estamos interessados em achar a matriz da forma bilinear em outras bases que não a canônica. Pra isso, nós vamos usar nossas amiguinhas as matrizes de mudança de base, que ninguém nunca errou na hora de montar né hahaha. Então, se você tiver visto elas faz algum tempo já, dá uma olhada no nosso material pra dar aquela refrescada na memória e você não confundir na hora da prova.

Em vez de só decorar a forma pra mudar as bases, eu gosto de pensar que estamos só substituindo os vetores, e entendendo como se chega na fórmula (calma que a “demonstração” é bem rapidinha) a gente não erra ela na hora H. Checa só qual é a ideia.

Vamos supor que já sabemos qual é a matriz da forma bilinear f : U × V → R nas bases canônicas de cada espaço. Agora queremos achar ela em relação às bases B de U e C de V .

Sabemos que:

u C a n = I d C a n ← B u B

Além disso, da álgebra de matrizes:

X Y T = Y T X T

Sendo X e Y matrizes quaisquer. Então:

u C a n T = u B T I d C a n ← B T

E mais rapidinho:

v C a n = I d C a n ← C v C

Então, saindo da fórmula que já conhecemos:

f u , v = u C a n T f C a n , C a n v C a n

E substituindo as relações que acabamos de ver chegamos que:

f u , v = u B T I d C a n ← B T f C a n , C a n I d C a n ← C v C

Ora, ora, olhando nessa fórmula, vemos que nos “cantos” temos os vetores do jeito que queríamos na base que desejávamos. Então, tudo o que está no meio só pode ser a matriz que estávamos procurando:

f B , C = I d C a n ← B T f C a n , C a n I d C a n ← C

Agora, usando o nosso carismático exemplo f x 1 , x 2 , y 1 , y 2 = x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 , vamos achar a matriz dele nas bases B = { 1,1 , 1 , - 1 } e C = { - 1,1 , - 1 , - 1 } .

Vamos lá:

I d C a n ← B = 1 1 1 - 1 ⇒ I d C a n ← B T = 1 1 1 - 1

I d C a n ← C = - 1 - 1 1 - 1

Então, substituindo na nossa formulinha:

f B , C = 1 1 1 - 1 0 1 2 0 - 1 - 1 1 - 1 = 2 1 - 2 1 - 1 - 1 1 - 1 = - 2 - 3       3         1

Pronto. Agora vamos treinar essa coisa de montar matrizes.

Formas bilineares simétricas

Essa parte é bem rapidinha galera.

Uma forma bilinear simétrica é tal que f u , v = f ( v , u ) , para quaisquer vetores. A única observação aqui é que para uma forma ser simétrica ela tem que ser do tipo f : V × V → R , ou seja sair de dois espaços iguais. Só isso.

Mas, e pra checar se uma forma é simétrica? Na real galera, vocês não vão usar a definição. É só lembrar que se uma forma é simétrica, a matriz dela em relação a quaisquer bases também é.

Lembrando só que uma matriz A é simétrica se   A = A T . É só ver se os números opostos em relação à diagonal são iguais. Assim, se:

f B , C = 2 6 5 6 4 3 5 3 - 1

Então f é simétrica, mas se:

f B , C = 2 3 - 2 0

Não será simétrica. Simples assim.

Formas Quadráticas

Agora vamos chegando numa parte mais próxima do objetivo final desse assunto, agora começamos a ver os quadrados haha.

Um exemplo de uma forma quadrática é esse aqui:

q x , y = x 2 + x y + y 2

Isso se parece bastante com a equação de uma elipse né. Calma aí xeroque que jájá a gente chega lá.

Dizemos que uma função q : V → R , onde V é um espaço vetorial, é uma forma quadrática se existe uma forma bilinear f : V × V → R tal que q v = f ( v , v ) .

Uma coisa importante a se dizer desde já é que uma forma quadrática não está associada a uma única forma bilinear, mas uma forma bilinear está associada a uma única forma quadrática. Como assim?

Ora, se pegarmos f x 1 , x 2 , y 1 , y 2 = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 , fazendo f ( x , y , x , y ) , só podemos achar q x , y = x 2 + x y + y 2 como a forma quadrática associada. Mas pegando f x 1 , x 2 , y 1 , y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 2 y 2 chegamos na mesma forma quadrática. Sacaram?

Entretanto, se quisermos achar uma forma bilinear simétrica associada a uma forma quadrática, ela é única. Então, geralmente nós vamos querer achar a forma simétrica associada à forma quadrática.

Como então podemos sair de uma forma quadrática para a matriz da forma simétrica associada.

A ideia é que os termos com quadrados vão pra diagonal da matriz e os termos mistos são divididos meio a meio. Pra ficar mais claro vejam o caso do R ² :

Se q x , y = a x 2 + b x y + c y ² então a matriz da forma bilinear simétrica associada é:

a b 2 b 2 c

No nosso exemplo fica então:

1 1 2 1 2 1

Podemos querer também, dada uma forma bilinear qualquer, achar a simétrica que tem a mesma quadrática associada.

Se a matriz de f é:

a b c d

Então a matriz de f s i m é:

a b + c 2 b + c 2 d

Pra chegar nisso, é só acharmos a quadrática associada a f e então usar nosso método para achar a matriz de f s i m .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Sejam u = x 1 , x 2 ,   v = ( y 1 , y 2 ) e f u , v = x 1 y 1 + 2 x 1 y 2 + 2 x 2 y 1 - x 2 y 2 . Determine se f é simétrica

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que ver se   f   é simétrica. Logo vamos achar f C a n e verificar se esta é simétrica.

Passo 2

Já estamos craques nisso:

f C a n = 1 2 2 - 1

E:

f C a n T = 1 2 2 - 1