Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

Teoria Completa

Atenção: Não são todos os professores que ensinam e cobram esse assunto.

Se o seu professor já falou sobre “peso próprio” em sala de aula ou se ele já usou a fórmula...

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

...ou alguma outra fórmula parecida para resolver um exercício, então pode valer a pena estudar esse tópico.

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Introdução

Vamos dizer que a gente tem a coluna de aço abaixo, e que a gente ainda não colocou nenhuma carga nela:

Nessa situação, imaginamos que, como não existe nenhuma carga na coluna, a tensão normal σ nela vai ser nula.

Mas a verdade é que nós estamos desprezando o peso da coluna.

Na maioria dos exercícios, nós desprezamos mesmo o peso próprio das peças! Mas em alguns, vamos ter que considerar esse efeito.

Nesses casos, o que é que a gente faz?

Como é que a gente calcula a tensão normal σ ou a variação de comprimento δ devido ao peso próprio em uma peça?

Peso Próprio

Para responder essa pergunta, a primeira coisa que precisamos fazer é entender como que a força peso atua em uma peça.

Olhando para a nossa coluna, vamos imaginar que ela tem uma área de seção transversal A e um comprimento L :

Nesse caso, ela vai ter um volume V = A * L .

Dessa forma, se ela tiver uma densidade ρ , ela vai ter uma massa m = ρ V .

E se a gravidade no local for g , então a força peso total W atuando na coluna vai ser:

W = m g = ρ V g

Às vezes, vamos poder considerar que essa força W atua bem no centro da coluna:

Mas a verdade é que a força peso não atua na coluna como essa carga axial pontual, única e total W .

Na realidade, a força peso atua na coluna como uma carga axial distribuída w :

Agora lembra aí! 💡

Uma força distribuída é uma força que, ao invés de ser dada em N (newtons), é dada em N / m (newtons por metro) ou outra unidade de força/comprimento.

Daí que se a força peso pontual W é ρ V g , a força peso distribuída w vai ser:

w = ρ A g

É bom guardar essa fórmula pois através dela nós percebemos como a distribuição de peso w depende da área A da seção transversal da peça.

Para a nossa coluna que tem uma área A de seção transversal que não varia, a distribuição w é uniforme ao longo de todo o comprimento L da coluna.

Mas uma pirâmide, por exemplo, tem uma área A de seção transversal que varia. Então a distribuição de peso w = ρ A g também vai variar:

Cálculo de Tensões

Para calcular a tensão normal σ na nossa coluna, vamos fazer o que sempre fizemos para determinar as tensões em uma peça.

A única diferença é ter que trabalhar com uma força distribuída w .

1º Passo – Diagrama de Corpo Livre

Vamos dizer que a nossa coluna tem um comprimento L = 2   m e que o peso próprio dela gera nela uma força uniformemente distribuída w = 10   k N / m .

Além desse peso próprio, a coluna também é apoiada por uma reação R realizada pelo chão, então o seu DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

Queremos estar preparados para trabalhar com qualquer carga distribuída, então vamos também estudar um segundo exemplo:

Nesse exemplo, é aplicada na barra uma força distribuída que varia linearmente desde w 0 = 10   k N / m no ponto x = 0 até w L = 0   k N / m no ponto x = L .

Para esse segundo exemplo, o DCL fica assim:

2º Passo – Equações de Equilíbrio

Feitos os DCLs, podemos aplicar o equilíbrio de forças nas peças para encontrar o valor das reações R desconhecidas.

Mas para fazer isso, precisamos saber quantos k N de força as nossas cargas distribuídas vão gerar.

Então vamos pensar...

Se a carga w = 10   k N / m na nossa coluna é uniforme (constante) ao longo de todo o comprimento L = 2   m da coluna, então é de se esperar que ela vai gerar:

w * L = 10   k N / m 2   m = 20   k N   de Força

Dessa forma, aplicando o equilíbrio de forças ∑ F = 0 na nossa coluna, vamos encontrar que R = 20   k N .

Agora...

Se a carga distribuída não for constante, como é o caso da carga variável w ( x ) na barra do nosso segundo exemplo, aí vamos ter que usar um truque. 🕵

O truque é: A força equivalente de uma força distribuída é igual à área do gráfico da força.

Como assim? 🤔

Então, sabe aquela linha inclinada que desenhamos para w ( x ) ? Olha para a área debaixo dela:

Aparece um triângulo de base 2   m e altura 10   k N / m ! Calculando a área desse triângulo, temos:

Área Triâng. = Base * Altura 2 = 2   m 10   k N / m 2 = 10   k N

Ou seja, a carga distribuída w ( x ) gera, ao total, 10   k N de força.

Dessa forma, aplicando o equilíbrio de forças ∑ F = 0 na barra, vamos encontrar R = 10   k N .

E, por fim...

Ainda existe mais um truque: se a sua distribuição w ( x ) for muito louca e difícil de calcular a área, você ainda pode encontrar a força equivalente F e q . a ela usando a integral:

F e q . = ∫ a b w x   d x

3º Passo – Análise dos Esforços Internos

Hora de encontrar as forças internas normais N nas peças!

Aqui o esquema é:

  • Secionar a peça em uma seção genérica de posição x ; (Ou y , ou z , você escolhe a coordenada!)
  • E dizer que a força normal N é uma função de x , ou seja, chamar ela de N ( x ) .

Para os nossos exemplos da coluna e da barra, essa análise fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças e usando o truque da área nesses desenhos, conseguimos encontrar a força normal N ( x ) em cada peça.

4º Passo – Cálculo das Tensões

Encontrada a força normal N ( x ) na sua peça, tudo o que resta é aplicar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Como a tensão σ e a força normal N vão ser funções da posição x , essa fórmula fica assim:

σ ( x ) = N ( x ) A

E, caso a área A da sua peça também varie, você pode deixar essa fórmula assim:

σ x = N x A x

Fórmula da Variação de Comprimento

E se um exercício pedir para que você calcule a variação de comprimento δ em uma peça com peso próprio (ou outra carga distribuída)?

Então... Nesses casos, existe uma fórmula específica para encontrar δ .

Olha só...

Primeiro, temos que a variação de comprimento δ é normalmente dada pela fórmula:

δ = N L E A

Por outro lado, em peças com diferentes segmentos onde os valores de N , L , E e A variam pontualmente, a variação de comprimento δ é dada pela somatório:

δ = ∑ i N i L i E i A i

Mas em casos:

  • De força normal N ( x ) variável, como qualquer caso de carga distribuída;
  • E/ou de área A ( x ) variável, como o exemplo da pirâmide que vimos lá em cima;
  • E/ou de módulo de elasticidade E ( x ) variável,

...essa fórmula de somatório, feita para mudanças pontuais de N , A e E , não vai dar pro gasto.

Nesses casos, recorremos à evolução do somatório. ⚔

Fazemos um somatório de segmentos tão pequenos, com comprimentos L i = d x tão pequenos, que o somatório deixa de ser um somatório e vira a integral:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

Caso seu módulo de elasticidade E e a sua área de seção transversal A sejam constantes, você pode tirar esses valores para fora da integral, encontrando que:

δ = 1 E A ∫ 0 L N x   d x

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

A barra de aço ( E = 200   G P a ) da figura abaixo possui uma seção transversal uniforme de área A = 7500   m m 2 e um comprimento original L = 0,9   m .

O peso próprio do aço gera na barra uma carga axial uniformemente distribuída w = 60 k N / m . Essa carga, por sua vez, gera na barra uma força normal N descrita pela fórmula N x = w ( L - x ) .

Determine a variação de comprimento δ causada nessa barra por esse carregamento de peso próprio w .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O carregamento na barra de aço devido ao seu peso próprio gera nela uma força interna normal N que varia em função do ponto x que está sendo avaliado na barra:

N x = w ( L - x )

Onde w = 60   k N / m é o carregamento distribuído na barra e L = 0,9   m é o comprimento inicial da barra.

A barra ainda tem um módulo de elasticidade E = 200   G P a e uma área de seção transversal A = 7500   m m 2 .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a variação de comprimento δ causada pelo carregamento na barra.

A gente sabe que essa variação de comprimento δ é normalmente dada pela fórmula:

δ = N L E A

Mas a força normal N na nossa barra varia ao longo do comprimento da barra.

Então vamos ter que recorrer à fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

Como no nosso caso, o módulo de elasticidade E e a área de seção transversal A da barra são constantes, essa fórmula vai ficar assim:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E A d x

Substituindo os valores de L , N ( x ) , E e A nessa fórmula, vamos conseguir calcular δ !

Passo 2

Para que a gente já possa calcular e se livrar da integral, vamos começar substituindo N x = w ( L - x ) .

Fazendo essa substituição na fórmula, temos:

δ = ∫ 0 L w L - x E A d x

Podemos colocar o termo constante w / E A que multiplica toda a expressão do lado de fora da integral.

Fazendo isso, temos:

δ = w E A ∫ 0 L ( L - x ) d x

Agora temos que nos lembrar de como se faz uma integral. 😖

Lembra aí...

Para fazer a integral de um polinômio, a gente ( 1 ) dá um expoente para x em cada termo, ( 2 ) aumenta 1 em cada expoente e ( 3 ) divide cada termo pelo novo expoente:

Então a nossa integral vai ficar assim:

∫ 0 L ( L - x ) d x = L x - x 2 2 x = 0 L