Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

Teoria Completa

Atenção: Não são todos os professores que ensinam e cobram esse assunto.

Se o seu professor já falou sobre “peso próprio” em sala de aula ou se ele já usou a fórmula...

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

...ou alguma outra fórmula parecida para resolver um exercício, então pode valer a pena estudar esse tópico.

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Introdução

Vamos dizer que a gente tem a coluna de aço abaixo, e que a gente ainda não colocou nenhuma carga nela:

Nessa situação, imaginamos que, como não existe nenhuma carga na coluna, a tensão normal σ nela vai ser nula.

Mas a verdade é que nós estamos desprezando o peso da coluna.

Na maioria dos exercícios, nós desprezamos mesmo o peso próprio das peças! Mas em alguns, vamos ter que considerar esse efeito.

Nesses casos, o que é que a gente faz?

Como é que a gente calcula a tensão normal σ ou a variação de comprimento δ devido ao peso próprio em uma peça?

Peso Próprio

Para responder essa pergunta, a primeira coisa que precisamos fazer é entender como que a força peso atua em uma peça.

Olhando para a nossa coluna, vamos imaginar que ela tem uma área de seção transversal A e um comprimento L :

Nesse caso, ela vai ter um volume V = A * L .

Dessa forma, se ela tiver uma densidade ρ , ela vai ter uma massa m = ρ V .

E se a gravidade no local for g , então a força peso total W atuando na coluna vai ser:

W = m g = ρ V g

Às vezes, vamos poder considerar que essa força W atua bem no centro da coluna:

Mas a verdade é que a força peso não atua na coluna como essa carga axial pontual, única e total W .

Na realidade, a força peso atua na coluna como uma carga axial distribuída w :

Agora lembra aí! 💡

Uma força distribuída é uma força que, ao invés de ser dada em N (newtons), é dada em N / m (newtons por metro) ou outra unidade de força/comprimento.

Daí que se a força peso pontual W é ρ V g , a força peso distribuída w vai ser:

w = ρ A g

É bom guardar essa fórmula pois através dela nós percebemos como a distribuição de peso w depende da área A da seção transversal da peça.

Para a nossa coluna que tem uma área A de seção transversal que não varia, a distribuição w é uniforme ao longo de todo o comprimento L da coluna.

Mas uma pirâmide, por exemplo, tem uma área A de seção transversal que varia. Então a distribuição de peso w = ρ A g também vai variar:

Cálculo de Tensões

Para calcular a tensão normal σ na nossa coluna, vamos fazer o que sempre fizemos para determinar as tensões em uma peça.

A única diferença é ter que trabalhar com uma força distribuída w .

1º Passo – Diagrama de Corpo Livre

Vamos dizer que a nossa coluna tem um comprimento L = 2   m e que o peso próprio dela gera nela uma força uniformemente distribuída w = 10   k N / m .

Além desse peso próprio, a coluna também é apoiada por uma reação R realizada pelo chão, então o seu DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

Queremos estar preparados para trabalhar com qualquer carga distribuída, então vamos também estudar um segundo exemplo:

Nesse exemplo, é aplicada na barra uma força distribuída que varia linearmente desde w 0 = 10   k N / m no ponto x = 0 até w L = 0   k N / m no ponto x = L .

Para esse segundo exemplo, o DCL fica assim:

2º Passo – Equações de Equilíbrio

Feitos os DCLs, podemos aplicar o equilíbrio de forças nas peças para encontrar o valor das reações R desconhecidas.

Mas para fazer isso, precisamos saber quantos k N de força as nossas cargas distribuídas vão gerar.

Então vamos pensar...

Se a carga w = 10   k N / m na nossa coluna é uniforme (constante) ao longo de todo o comprimento L = 2   m da coluna, então é de se esperar que ela vai gerar:

w * L = 10   k N / m 2   m = 20   k N   de Força

Dessa forma, aplicando o equilíbrio de forças ∑ F = 0 na nossa coluna, vamos encontrar que R = 20   k N .

Agora...

Se a carga distribuída não for constante, como é o caso da carga variável w ( x ) na barra do nosso segundo exemplo, aí vamos ter que usar um truque. 🕵

O truque é: A força equivalente de uma força distribuída é igual à área do gráfico da força.

Como assim? 🤔

Então, sabe aquela linha inclinada que desenhamos para w ( x ) ? Olha para a área debaixo dela:

Aparece um triângulo de base 2   m e altura 10   k N / m ! Calculando a área desse triângulo, temos:

Área Triâng. = Base * Altura 2 = 2   m 10   k N / m 2 = 10   k N

Ou seja, a carga distribuída w ( x ) gera, ao total, 10   k N de força.

Dessa forma, aplicando o equilíbrio de forças ∑ F = 0 na barra, vamos encontrar R = 10   k N .

E, por fim...

Ainda existe mais um truque: se a sua distribuição w ( x ) for muito louca e difícil de calcular a área, você ainda pode encontrar a força equivalente F e q . a ela usando a integral:

F e q . = ∫ a b w x   d x

3º Passo – Análise dos Esforços Internos

Hora de encontrar as forças internas normais N nas peças!

Aqui o esquema é:

  • Secionar a peça em uma seção genérica de posição x ; (Ou y , ou z , você escolhe a coordenada!)
  • E dizer que a força normal N é uma função de x , ou seja, chamar ela de N ( x ) .

Para os nossos exemplos da coluna e da barra, essa análise fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças e usando o truque da área nesses desenhos, conseguimos encontrar a força normal N ( x ) em cada peça.

4º Passo – Cálculo das Tensões

Encontrada a força normal N ( x ) na sua peça, tudo o que resta é aplicar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Como a tensão σ e a força normal N vão ser funções da posição x , essa fórmula fica assim:

σ ( x ) = N ( x ) A

E, caso a área A da sua peça também varie, você pode deixar essa fórmula assim:

σ x = N x A x

Fórmula da Variação de Comprimento

E se um exercício pedir para que você calcule a variação de comprimento δ em uma peça com peso próprio (ou outra carga distribuída)?

Então... Nesses casos, existe uma fórmula específica para encontrar δ .

Olha só...

Primeiro, temos que a variação de comprimento δ é normalmente dada pela fórmula:

δ = N L E A

Por outro lado, em peças com diferentes segmentos onde os valores de N , L , E e A variam pontualmente, a variação de comprimento δ é dada pela somatório:

δ = ∑ i N i L i E i A i

Mas em casos:

  • De força normal N ( x ) variável, como qualquer caso de carga distribuída;
  • E/ou de área A ( x ) variável, como o exemplo da pirâmide que vimos lá em cima;
  • E/ou de módulo de elasticidade E ( x ) variável,

...essa fórmula de somatório, feita para mudanças pontuais de N , A e E , não vai dar pro gasto.

Nesses casos, recorremos à evolução do somatório. ⚔

Fazemos um somatório de segmentos tão pequenos, com comprimentos L i = d x tão pequenos, que o somatório deixa de ser um somatório e vira a integral:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

Caso seu módulo de elasticidade E e a sua área de seção transversal A sejam constantes, você pode tirar esses valores para fora da integral, encontrando que:

δ = 1 E A ∫ 0 L N x   d x

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

A barra de aço ( E = 200   G P a ) da figura abaixo possui uma seção transversal uniforme de área A = 7500   m m 2 e um comprimento original L = 0,9   m .

O peso próprio do aço gera na barra uma carga axial uniformemente distribuída w = 60 k N / m . Essa carga, por sua vez, gera na barra uma força normal N descrita pela fórmula N x = w ( L - x ) .

Determine a variação de comprimento δ causada nessa barra por esse carregamento de peso próprio w .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O carregamento na barra de aço devido ao seu peso próprio gera nela uma força interna normal N que varia em função do ponto x que está sendo avaliado na barra:

N x = w ( L - x )

Onde w = 60   k N / m é o carregamento distribuído na barra e L = 0,9   m é o comprimento inicial da barra.

A barra ainda tem um módulo de elasticidade E = 200   G P a e uma área de seção transversal A = 7500   m m 2 .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a variação de comprimento δ causada pelo carregamento na barra.

A gente sabe que essa variação de comprimento δ é normalmente dada pela fórmula:

δ = N L E A

Mas a força normal N na nossa barra varia ao longo do comprimento da barra.

Então vamos ter que recorrer à fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

Como no nosso caso, o módulo de elasticidade E e a área de seção transversal A da barra são constantes, essa fórmula vai ficar assim:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E A d x

Substituindo os valores de L , N ( x ) , E e A nessa fórmula, vamos conseguir calcular δ !

Passo 2

Para que a gente já possa calcular e se livrar da integral, vamos começar substituindo N x = w ( L - x ) .

Fazendo essa substituição na fórmula, temos:

δ = ∫ 0 L w L - x E A d x

Podemos colocar o termo constante w / E A que multiplica toda a expressão do lado de fora da integral.

Fazendo isso, temos:

δ = w E A ∫ 0 L ( L - x ) d x

Agora temos que nos lembrar de como se faz uma integral. 😖

Lembra aí...

Para fazer a integral de um polinômio, a gente ( 1 ) dá um expoente para x em cada termo, ( 2 ) aumenta 1 em cada expoente e ( 3 ) divide cada termo pelo novo expoente:

Então a nossa integral vai ficar assim:

∫ 0 L ( L - x ) d x = L x - x 2 2 x = 0 L

O que significa que:

∫ 0 L ( L - x ) d x = L L - L 2 2 - L 0 - 0 2 2

O primeiro termo vai dar L 2 / 2 enquanto que o segundo vai dar 0 , então:

∫ 0 L ( L - x ) d x = L 2 2

Com isso, a nossa expressão para δ fica assim:

δ = w E A L 2 2

Finalmente, substituindo os valores de w , L , E e A , vamos ter que:

δ = 60   k N / m 200   G P a 7500   m m 2 0,9   m 2 2

Reescrevendo G P a como k N / m m 2 e expandindo o 0,9   m 2 , temos:

δ = 60   k N / m 200   k N / m m 2 7500   m m 2 ( 0,9   m ) ( 0,9   m ) 2

Cortando m m 2 com m m 2 , k N com k N e m com m , vemos que o nosso resultado vai sair em metros:

δ = 60 200 7500 ( 0,9 ) ( 0,9   m ) 2

Calculando tudo, encontramos:

δ = 0,0000162   m

Como esse número é bem pequeno, podemos reescrevê-lo em m m na hora de dar a resposta:

Resposta

δ = 0,0162   m m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 31-1.75.

A coluna é feita de concreto de densidade 2,30   M g / m 3 e está sujeita a uma força de compressão axial de 15   k N em sua extremidade superior B . Determine a tensão normal média na coluna em função da distância z medida em relação à base.

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Passo 1

O que está acontecendo?

A coluna tem um comprimento inicial L = 4   m e uma seção transversal circular de raio r = 180   m m .

O exercício diz que a coluna possui uma densidade ρ = 2,30   M g / m 3 (mega-gramas por metro cúbico), então ele quer que a gente considere o peso próprio da coluna.

O peso próprio total W da coluna é igual a sua massa m vezes a gravidade g :

W = m g

Mas a massa m da coluna é igual a sua densidade ρ vezes o seu volume V , ainda

W = ρ V g

E o volume V da coluna é igual à sua área de seção transversal A vezes o seu comprimento L :

W = ρ A L g

Beleza...

Mas sabemos que na verdade, o peso da coluna não é uma força pontual W , e sim uma carga distribuída uniformemente ao longo de todo o comprimento L da coluna.

Chamando essa carga distribuída de w , vamos ter que:

w = W L = ρ A L g L = ρ A g

Então tá... e o que é que isso significa?

Isso significa que se a gente fizer o diagrama de corpo livre da coluna, vamos ter:

  • A força de compressão F = 15   k N ;
  • Uma força de reação R do solo;
  • E, também, uma carga distribuída de peso próprio w = ρ A g .

Desenhando a carga distribuída w de uma outra cor, para que a gente possa diferenciar ela das forças pontuais F e R , o diagrama fica assim:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre uma expressão que fornece a tensão normal média σ = N / A dependendo do ponto z da coluna que estiver sendo avaliado.

Para calcular essa tensão σ = N / A , vamos precisar da força interna normal N , que vamos encontrar através de uma análise dos esforços internos na barra.

Antes de fazer essa análise, temos que aplicar as condições de equilíbrio na barra para que a gente possa descobrir o valor da reação R desconhecida.

Observação: Vamos assumir que g = 9,81   m / s 2 .

Passo 2

Então vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre da coluna:

Com isso, podemos aplicar as condições de equilíbrio nela.

Aqui, só vamos ter disponível o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Fazendo esse somatório de forças, vamos ter a reação R para cima, a força F para baixo e a força equivalente à carga distribuída w para baixo.

Essa força equivalente vai ser igual à distribuição uniforme w vezes o comprimento L em que ela atua.

Então o somatório de forças fica assim:

R - F - w L = 0

Isolando R , encontramos que:

R = F + w L       (Equação 1)

Vamos guardar esse valor para depois!

Passo 3

Agora, para encontrar a força interna normal N na coluna, vamos fazer uma análise de esforços internos nela.

Secionando a coluna em uma seção genérica com uma posição z , que pode variar entre 0 e L = 4   m , vamos ter o desenho abaixo:

Para determinar N , usamos o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Nesse caso, temos as forças R e N para cima e a força equivalente a carga distribuída w para baixo.

Como w é uniforme e atua ao longo de um comprimento z , essa força equivalente vai ser igual à w z .

Sendo assim, o somatório de forças acima fica assim:

R + N - w z = 0

Isolando N , encontramos que:

N = - R + w z

Mas no final do passo anterior guardamos a Equação 1 que diz que R = F + w L , então temos que:

N = - F + w L + w z

Fazendo a distributiva do sinal de negativo, isso fica assim:

N = - F - w L + w z

E, finalmente, colocando w em evidência, encontramos que:

N = - F - w L - z

Passo 4

Encontrada uma expressão para a força normal N , já podemos determinar a tensão normal média σ na coluna:

σ = N A

Substituindo a expressão encontrada para N , temos:

σ = - F - w L - z A

Lá no Passo 1, vimos que w = ρ A g .

Substituindo isso, temos que:

σ = - F - ρ A g L - z A

Realizando a divisão por A , isso fica assim:

σ = - F A - ρ g ( L - z )

Como a seção transversal da coluna é circular de raio r = 180   m m , a sua área A pode ser calculada pela fórmula A = π r 2 .

Fazendo essa substituição e fazendo a distributiva na multiplicação ρ g ( L - z ) , temos:

σ = - F π r 2 - ρ g L + ρ g z

E, finalmente, arrumando tudo, encontramos que:

σ = - F π r 2 + ρ g L + ρ g z

Passo 5

Agora, só falta substituir os valores...

  • F = 15   k N ;
  • r = 180   m m ;
  • ρ = 2,30   M g / m 3 ;
  • g = 9,81   m / s 2 ;
  • & L = 4   m ,
  • ...na expressão que acabamos de encontrar para que a gente possa determinar σ .

    Mas antes disso, vamos prestar atenção nas unidades das nossas variáveis:

    Primeiro, a força F está em k N e o raio r está em m m , então o termo F / π r 2 vai sair em k N / m m 2 que é o mesmo que G P a .

    Além disso, a densidade ρ está em M g / m 3 = 10 3 k g / m 3 e a gravidade g está em m / s 2 .

    Dessa forma, os termos ρ g vão sair em:

    10 3 k g m 3 * m s 2

    Como k g * m / s 2 é o mesmo que N , isso pode ser reescrito assim:

    10 3 N m 3

    Além disso, N / m 2 é o mesmo que P a , então essas unidades equivalem à:

    10 3 P a m

    E, por fim, 10 3 P a é o mesmo que k P a .

    Ou seja, os termos ρ g vão sair em k P a / m .

    Quando esses termos forem multiplicados por L ou por z , que são dados em m , o resultado de tensão vai sair em k P a . 👈

    Então para padronizar tudo, vamos reescrever o raio r = 180   m m como r = 0,18   m .

    Com isso, o termo F / π r 2 também vai sair em k N / m 2 = k P a . 👍

    Passo 6

    Então...

    Vamos pegar a expressão que encontramos para a tensão σ :

    σ = - F π r 2 + ρ g L + ρ g z

    E substituir nela os valores:

  • F = 15   k N ;
  • r = 0,18   m (!);
  • ρ = 2,30   M g / m 3 ;
  • g = 9,81   m / s 2 ;
  • & L = 4   m .

Fazendo isso e calculando tudo, encontramos que:

σ ≅ - 238 + 22,5 z   k P a

Como z pode variar entre 0 e 4   m , essa tensão sigma vai ser sempre negativa, já que o termo 22,5 z nunca vai ser maior que 238 .

Então podemos arrumar a nossa resposta para deixar claro que essa tensão será negativa (ou seja, que ela será uma tensão de compressão):

σ ≅ - 238 - 22,5 z   k P a

E assim terminamos o exercício!

Resposta

σ ≅ - 238 - 22,5 z   k P a

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 94-4.23.

O poste é feito de abeto Douglas ( E = 13,1   G P a ) e tem diâmetro de 60   m m . Se estiver sujeito a uma carga 20   k N e o solo proporcionar resistência ao atrito que varia linearmente de w = 0 em y = 0 a w = 3   k N / m em y = 2   m , determine a força F em sua parte inferior necessária para haver equilíbrio.

Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste, A , em relação à sua parte inferior, B . Despreze o peso do poste.

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Passo 1

O que está acontecendo?

O poste tem um comprimento inicial L = 2   m