Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

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Teoria

Atenção: Não são todos os professores que ensinam e cobram esse assunto.

Se o seu professor já falou sobre “peso próprio” em sala de aula ou se ele já usou a fórmula...

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

...ou alguma outra fórmula parecida para resolver um exercício, então pode valer a pena estudar esse tópico.

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Introdução

Vamos dizer que a gente tem a coluna de aço abaixo, e que a gente ainda não colocou nenhuma carga nela:

Nessa situação, imaginamos que, como não existe nenhuma carga na coluna, a tensão normal σ nela vai ser nula.

Mas a verdade é que nós estamos desprezando o peso da coluna.

Na maioria dos exercícios, nós desprezamos mesmo o peso próprio das peças! Mas em alguns, vamos ter que considerar esse efeito.

Nesses casos, o que é que a gente faz?

Como é que a gente calcula a tensão normal σ ou a variação de comprimento δ devido ao peso próprio em uma peça?

Peso Próprio

Para responder essa pergunta, a primeira coisa que precisamos fazer é entender como que a força peso atua em uma peça.

Olhando para a nossa coluna, vamos imaginar que ela tem uma área de seção transversal A e um comprimento L :

Nesse caso, ela vai ter um volume V = A * L .

Dessa forma, se ela tiver uma densidade ρ , ela vai ter uma massa m = ρ V .

E se a gravidade no local for g , então a força peso total W atuando na coluna vai ser:

W = m g = ρ V g

Às vezes, vamos poder considerar que essa força W atua bem no centro da coluna:

Mas a verdade é que a força peso não atua na coluna como essa carga axial pontual, única e total W .

Na realidade, a força peso atua na coluna como uma carga axial distribuída w :

Agora lembra aí! 💡

Uma força distribuída é uma força que, ao invés de ser dada em N (newtons), é dada em N / m (newtons por metro) ou outra unidade de força/comprimento.

Daí que se a força peso pontual W é ρ V g , a força peso distribuída w vai ser:

w = ρ A g

É bom guardar essa fórmula pois através dela nós percebemos como a distribuição de peso w depende da área A da seção transversal da peça.

Para a nossa coluna que tem uma área A de seção transversal que não varia, a distribuição w é uniforme ao longo de todo o comprimento L da coluna.

Mas uma pirâmide, por exemplo, tem uma área A de seção transversal que varia. Então a distribuição de peso w = ρ A g também vai variar:

Cálculo de Tensões

Para calcular a tensão normal σ na nossa coluna, vamos fazer o que sempre fizemos para determinar as tensões em uma peça.

A única diferença é ter que trabalhar com uma força distribuída w .

1º Passo – Diagrama de Corpo Livre

Vamos dizer que a nossa coluna tem um comprimento L = 2   m e que o peso próprio dela gera nela uma força uniformemente distribuída w = 10   k N / m .

Além desse peso próprio, a coluna também é apoiada por uma reação R realizada pelo chão, então o seu DCL (diagrama de corpo livre) fica assim:

Queremos estar preparados para trabalhar com qualquer carga distribuída, então vamos também estudar um segundo exemplo:

Nesse exemplo, é aplicada na barra uma força distribuída que varia linearmente desde w 0 = 10   k N / m no ponto x = 0 até w L = 0   k N / m no ponto x = L .

Para esse segundo exemplo, o DCL fica assim:

2º Passo – Equações de Equilíbrio

Feitos os DCLs, podemos aplicar o equilíbrio de forças nas peças para encontrar o valor das reações R desconhecidas.

Mas para fazer isso, precisamos saber quantos k N de força as nossas cargas distribuídas vão gerar.

Então vamos pensar...

Se a carga w = 10   k N / m na nossa coluna é uniforme (constante) ao longo de todo o comprimento L = 2   m da coluna, então é de se esperar que ela vai gerar:

w * L = 10   k N / m 2   m = 20   k N   de Força

Dessa forma, aplicando o equilíbrio de forças ∑ F = 0 na nossa coluna, vamos encontrar que R = 20   k N .

Agora...

Se a carga distribuída não for constante, como é o caso da carga variável w ( x ) na barra do nosso segundo exemplo, aí vamos ter que usar um truque. 🕵

O truque é: A força equivalente de uma força distribuída é igual à área do gráfico da força.

Como assim? 🤔

Então, sabe aquela linha inclinada que desenhamos para w ( x ) ? Olha para a área debaixo dela:

Aparece um triângulo de base 2   m e altura 10   k N / m ! Calculando a área desse triângulo, temos:

Área Triâng. = Base * Altura 2 = 2   m 10   k N / m 2 = 10   k N

Ou seja, a carga distribuída w ( x ) gera, ao total, 10   k N de força.

Dessa forma, aplicando o equilíbrio de forças ∑ F = 0 na barra, vamos encontrar R = 10   k N .

E, por fim...

Ainda existe mais um truque: se a sua distribuição w ( x ) for muito louca e difícil de calcular a área, você ainda pode encontrar a força equivalente F e q . a ela usando a integral:

F e q . = ∫ a b w x   d x

3º Passo – Análise dos Esforços Internos

Hora de encontrar as forças internas normais N nas peças!

Aqui o esquema é:

  • Secionar a peça em uma seção genérica de posição x ; (Ou y , ou z , você escolhe a coordenada!)
  • E dizer que a força normal N é uma função de x , ou seja, chamar ela de N ( x ) .

Para os nossos exemplos da coluna e da barra, essa análise fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças e usando o truque da área nesses desenhos, conseguimos encontrar a força normal N ( x ) em cada peça.

4º Passo – Cálculo das Tensões

Encontrada a força normal N ( x ) na sua peça, tudo o que resta é aplicar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Como a tensão σ e a força normal N vão ser funções da posição x , essa fórmula fica assim:

σ ( x ) = N ( x ) A

E, caso a área A da sua peça também varie, você pode deixar essa fórmula assim:

σ x = N x A x

Fórmula da Variação de Comprimento

E se um exercício pedir para que você calcule a variação de comprimento δ em uma peça com peso próprio (ou outra carga distribuída)?

Então... Nesses casos, existe uma fórmula específica para encontrar δ .

Olha só...

Primeiro, temos que a variação de comprimento δ é normalmente dada pela fórmula:

δ = N L E A

Por outro lado, em peças com diferentes segmentos onde os valores de N , L , E e A variam pontualmente, a variação de comprimento δ é dada pela somatório:

δ = ∑ i N i L i E i A i

Mas em casos:

  • De força normal N ( x ) variável, como qualquer caso de carga distribuída;
  • E/ou de área A ( x ) variável, como o exemplo da pirâmide que vimos lá em cima;
  • E/ou de módulo de elasticidade E ( x ) variável,

...essa fórmula de somatório, feita para mudanças pontuais de N , A e E , não vai dar pro gasto.

Nesses casos, recorremos à evolução do somatório. ⚔

Fazemos um somatório de segmentos tão pequenos, com comprimentos L i = d x tão pequenos, que o somatório deixa de ser um somatório e vira a integral:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

Caso seu módulo de elasticidade E e a sua área de seção transversal A sejam constantes, você pode tirar esses valores para fora da integral, encontrando que:

δ = 1 E A ∫ 0 L N x   d x

Peso Próprio

Cálculo de Tensões

Fórmula da Variação de Comprimento

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A barra de aço ( E = 200   G P a ) da figura abaixo possui uma seção transversal uniforme de área A = 7500   m m 2 e um comprimento original L = 0,9   m .

O peso próprio do aço gera na barra uma carga axial uniformemente distribuída w = 60 k N / m . Essa carga, por sua vez, gera na barra uma força normal N descrita pela fórmula N x = w ( L - x ) .

Determine a variação de comprimento δ causada nessa barra por esse carregamento de peso próprio w .

Passo 1

O que está acontecendo?

O carregamento na barra de aço devido ao seu peso próprio gera nela uma força interna normal N que varia em função do ponto x que está sendo avaliado na barra:

N x = w ( L - x )

Onde w = 60   k N / m é o carregamento distribuído na barra e L = 0,9   m é o comprimento inicial da barra.

A barra ainda tem um módulo de elasticidade E = 200   G P a e uma área de seção transversal A = 7500   m m 2 .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a variação de comprimento δ causada pelo carregamento na barra.

A gente sabe que essa variação de comprimento δ é normalmente dada pela fórmula:

δ = N L E A

Mas a força normal N na nossa barra varia ao longo do comprimento da barra.

Então vamos ter que recorrer à fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

Como no nosso caso, o módulo de elasticidade E e a área de seção transversal A da barra são constantes, essa fórmula vai ficar assim:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E A d x

Substituindo os valores de L , N ( x ) , E e A nessa fórmula, vamos conseguir calcular δ !

Passo 2

Para que a gente já possa calcular e se livrar da integral, vamos começar substituindo N x = w ( L - x ) .

Fazendo essa substituição na fórmula, temos:

δ = ∫ 0 L w L - x E A d x

Podemos colocar o termo constante w / E A que multiplica toda a expressão do lado de fora da integral.

Fazendo isso, temos:

δ = w E A ∫ 0 L ( L - x ) d x

Agora temos que nos lembrar de como se faz uma integral. 😖

Lembra aí...

Para fazer a integral de um polinômio, a gente ( 1 ) dá um expoente para x em cada termo, ( 2 ) aumenta 1 em cada expoente e ( 3 ) divide cada termo pelo novo expoente:

Então a nossa integral vai ficar assim:

∫ 0 L ( L - x ) d x = L x - x 2 2 x = 0 L

O que significa que:

∫ 0 L ( L - x ) d x = L L - L 2 2 - L 0 - 0 2 2

O primeiro termo vai dar L 2 / 2 enquanto que o segundo vai dar 0 , então:

∫ 0 L ( L - x ) d x = L 2 2

Com isso, a nossa expressão para δ fica assim:

δ = w E A L 2 2

Finalmente, substituindo os valores de w , L , E e A , vamos ter que:

δ = 60   k N / m 200   G P a 7500   m m 2 0,9   m 2 2

Reescrevendo G P a como k N / m m 2 e expandindo o 0,9   m 2 , temos:

δ = 60   k N / m 200   k N / m m 2 7500   m m 2 ( 0,9   m ) ( 0,9   m ) 2

Cortando m m 2 com m m 2 , k N com k N e m com m , vemos que o nosso resultado vai sair em metros:

δ = 60 200 7500 ( 0,9 ) ( 0,9   m ) 2

Calculando tudo, encontramos:

δ = 0,0000162   m

Como esse número é bem pequeno, podemos reescrevê-lo em m m na hora de dar a resposta:

Resposta

δ = 0,0162   m m

Exercício Resolvido #2

A coluna é feita de concreto de densidade 2,30   M g / m 3 e está sujeita a uma força de compressão axial de 15   k N em sua extremidade superior B . Determine a tensão normal média na coluna em função da distância z medida em relação à base.

Passo 1

O que está acontecendo?

A coluna tem um comprimento inicial L = 4   m e uma seção transversal circular de raio r = 180   m m .

O exercício diz que a coluna possui uma densidade ρ = 2,30   M g / m 3 (mega-gramas por metro cúbico), então ele quer que a gente considere o peso próprio da coluna.

O peso próprio total W da coluna é igual a sua massa m vezes a gravidade g :

W = m g

Mas a massa m da coluna é igual a sua densidade ρ vezes o seu volume V , ainda

W = ρ V g

E o volume V da coluna é igual à sua área de seção transversal A vezes o seu comprimento L :

W = ρ A L g

Beleza...

Mas sabemos que na verdade, o peso da coluna não é uma força pontual W , e sim uma carga distribuída uniformemente ao longo de todo o comprimento L da coluna.

Chamando essa carga distribuída de w , vamos ter que:

w = W L = ρ A L g L = ρ A g

Então tá... e o que é que isso significa?

Isso significa que se a gente fizer o diagrama de corpo livre da coluna, vamos ter:

  • A força de compressão F = 15   k N ;
  • Uma força de reação R do solo;
  • E, também, uma carga distribuída de peso próprio w = ρ A g .

Desenhando a carga distribuída w de uma outra cor, para que a gente possa diferenciar ela das forças pontuais F e R , o diagrama fica assim:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre uma expressão que fornece a tensão normal média σ = N / A dependendo do ponto z da coluna que estiver sendo avaliado.

Para calcular essa tensão σ = N / A , vamos precisar da força interna normal N , que vamos encontrar através de uma análise dos esforços internos na barra.

Antes de fazer essa análise, temos que aplicar as condições de equilíbrio na barra para que a gente possa descobrir o valor da reação R desconhecida.

Observação: Vamos assumir que g = 9,81   m / s 2 .

Passo 2

Então vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre da coluna:

Com isso, podemos aplicar as condições de equilíbrio nela.

Aqui, só vamos ter disponível o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Fazendo esse somatório de forças, vamos ter a reação R para cima, a força F para baixo e a força equivalente à carga distribuída w para baixo.

Essa força equivalente vai ser igual à distribuição uniforme w vezes o comprimento L em que ela atua.

Então o somatório de forças fica assim:

R - F - w L = 0

Isolando R , encontramos que:

R = F + w L       (Equação 1)

Vamos guardar esse valor para depois!

Passo 3

Agora, para encontrar a força interna normal N na coluna, vamos fazer uma análise de esforços internos nela.

Secionando a coluna em uma seção genérica com uma posição z , que pode variar entre 0 e L = 4   m , vamos ter o desenho abaixo:

Para determinar N , usamos o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Nesse caso, temos as forças R e N para cima e a força equivalente a carga distribuída w para baixo.

Como w é uniforme e atua ao longo de um comprimento z , essa força equivalente vai ser igual à w z .

Sendo assim, o somatório de forças acima fica assim:

R + N - w z = 0

Isolando N , encontramos que:

N = - R + w z

Mas no final do passo anterior guardamos a Equação 1 que diz que R = F + w L , então temos que:

N = - F + w L + w z

Fazendo a distributiva do sinal de negativo, isso fica assim:

N = - F - w L + w z

E, finalmente, colocando w em evidência, encontramos que:

N = - F - w L - z

Passo 4

Encontrada uma expressão para a força normal N , já podemos determinar a tensão normal média σ na coluna:

σ = N A

Substituindo a expressão encontrada para N , temos:

σ = - F - w L - z A

Lá no Passo 1, vimos que w = ρ A g .

Substituindo isso, temos que:

σ = - F - ρ A g L - z A

Realizando a divisão por A , isso fica assim:

σ = - F A - ρ g ( L - z )

Como a seção transversal da coluna é circular de raio r = 180   m m , a sua área A pode ser calculada pela fórmula A = π r 2 .

Fazendo essa substituição e fazendo a distributiva na multiplicação ρ g ( L - z ) , temos:

σ = - F π r 2 - ρ g L + ρ g z

E, finalmente, arrumando tudo, encontramos que:

σ = - F π r 2 + ρ g L + ρ g z

Passo 5

Agora, só falta substituir os valores...

  • F = 15   k N ;
  • r = 180   m m ;
  • ρ = 2,30   M g / m 3 ;
  • g = 9,81   m / s 2 ;
  • & L = 4   m ,
  • ...na expressão que acabamos de encontrar para que a gente possa determinar σ .

    Mas antes disso, vamos prestar atenção nas unidades das nossas variáveis:

    Primeiro, a força F está em k N e o raio r está em m m , então o termo F / π r 2 vai sair em k N / m m 2 que é o mesmo que G P a .

    Além disso, a densidade ρ está em M g / m 3 = 10 3 k g / m 3 e a gravidade g está em m / s 2 .

    Dessa forma, os termos ρ g vão sair em:

    10 3 k g m 3 * m s 2

    Como k g * m / s 2 é o mesmo que N , isso pode ser reescrito assim:

    10 3 N m 3

    Além disso, N / m 2 é o mesmo que P a , então essas unidades equivalem à:

    10 3 P a m

    E, por fim, 10 3 P a é o mesmo que k P a .

    Ou seja, os termos ρ g vão sair em k P a / m .

    Quando esses termos forem multiplicados por L ou por z , que são dados em m , o resultado de tensão vai sair em k P a . 👈

    Então para padronizar tudo, vamos reescrever o raio r = 180   m m como r = 0,18   m .

    Com isso, o termo F / π r 2 também vai sair em k N / m 2 = k P a . 👍

    Passo 6

    Então...

    Vamos pegar a expressão que encontramos para a tensão σ :

    σ = - F π r 2 + ρ g L + ρ g z

    E substituir nela os valores:

  • F = 15   k N ;
  • r = 0,18   m (!);
  • ρ = 2,30   M g / m 3 ;
  • g = 9,81   m / s 2 ;
  • & L = 4   m .

Fazendo isso e calculando tudo, encontramos que:

σ ≅ - 238 + 22,5 z   k P a

Como z pode variar entre 0 e 4   m , essa tensão sigma vai ser sempre negativa, já que o termo 22,5 z nunca vai ser maior que 238 .

Então podemos arrumar a nossa resposta para deixar claro que essa tensão será negativa (ou seja, que ela será uma tensão de compressão):

σ ≅ - 238 - 22,5 z   k P a

E assim terminamos o exercício!

Resposta

σ ≅ - 238 - 22,5 z   k P a

Exercício Resolvido #3

O poste é feito de abeto Douglas ( E = 13,1   G P a ) e tem diâmetro de 60   m m . Se estiver sujeito a uma carga 20   k N e o solo proporcionar resistência ao atrito que varia linearmente de w = 0 em y = 0 a w = 3   k N / m em y = 2   m , determine a força F em sua parte inferior necessária para haver equilíbrio.

Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste, A , em relação à sua parte inferior, B . Despreze o peso do poste.

Passo 1

O que está acontecendo?

O poste tem um comprimento inicial L = 2   m , uma seção transversal circular de diâmetro d = 60   m m e um módulo de elasticidade E = 13,1   G P a .

Ele está sob uma carga P = 20   k N e é sustentado por uma força F em sua parte inferior e pela força de atrito linearmente distribuída w , como mostra o seu diagrama de corpo livre:

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer que a gente descubra o valor da força F na parte inferior do poste.

Para encontrar F , vamos ter que calcular uma força equivalente à carga linearmente distribuída w para, em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de forças no poste.

Em seguida, ele quer que a gente calcule o deslocamento da parte superior A do poste em relação à parte inferior B .

Ou seja, ele quer saber a variação de comprimento δ sofrida pelo poste.

Como temos uma força distribuída, essa variação de comprimento δ vai ter que ser calculada pela fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

No nosso caso:

  • O módulo de elasticidade E e a área de seção transversal A ;
  • E o carregamento no poste, e, consequentemente, a força interna normal N no poste, variam em função da coordenada y , e não da coordenada x .

Dessa forma, a fórmula para δ vai ficar assim:

δ = ∫ 0 L N ( y ) E A d y

Agora, antes de usar essa fórmula, vamos ter que fazer uma análise dos esforços internos no poste para encontrarmos uma expressão para a força normal N ( y ) .

E, antes disso, vamos ter que formular uma expressão para a carga distribuída w ( y ) .

Passo 2

Vamos começar pela primeira parte do exercício: calcular a força F .

Para tanto, fazemos um diagrama de corpo livre no poste:

E aplicamos as condições de equilíbrio nele.

Nesse caso, podemos aplicar o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Para fazer esse somatório de forças, precisamos definir uma força equivalente à carga distribuída w .

O jeito mais fácil de fazer isso é observar que w varia linearmente entre 0 e 3   k N / m , de tal forma que o seu valor médio é w m = 1,5   k N / m .

Esse valor médio w m distribuído ao longo do poste de comprimento L , vai resultar em uma força resultado w m L .

Sendo assim, o somatório de forças acima fica assim:

F + w m L - P = 0

Como queremos saber o valor de F , vamos isolá-lo:

F = P - w m L

Substituindo P = 20   k N , w m = 1,5   k N / m e L = 2 m , encontramos que:

F = 17   k N

Passo 3

Agora seguimos para a segunda parte: calcular a variação de comprimento δ causada no poste pelas cargas que atuam nele.

Antes de usar a fórmula de δ , temos que formular expressões que para a carga distribuída w ( y ) e para a força normal variável N ( y ) na coluna.

Então vamos pensar...

Sabemos que w varia linearmente. Então podemos formular w em função de y assim:

w y = a y + b

Agora...

Quando y = 0 , w é igual à 0 , ou seja:

( 0 ) = a ( 0 ) + b

O que significa que:

b = 0

Por outro lado....

Quando y = 2   m , w é igual à 3   k N / m , ou seja:

3   k N / m = a 2   m + b

Substituindo b = 0 e isolando a , encontramos que:

a = ( 3   k N / m ) ( 2   m ) = 1,5   k N / m 2

Dessa forma, temos que w em função de y pode ser formulado assim:

w ( y ) = 1,5   k N / m 2 y

Passo 4

Em seguida, para encontrarmos uma fórmula para a força normal variável N ( y ) , precisamos fazer uma análise de esforços internos no poste.

Secionando o poste em uma seção genérica com uma posição y , o desenho da análise de esforços internos fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, vamos ter:

∑ F V = 0

Para fazer esse somatório, precisamos definir uma força equivalente à carga distribuída w nesse trecho da peça.

Então vamos pensar...

Nesse trecho, w começa igual à 0 e varia linearmente até seu valor máximo no ponto y .

Como vimos no passo anterior, w no ponto y vai ser dado pela fórmula:

w ( y ) = 1,5   k N / m 2 y

Então o valor médio de w no trecho que estamos estudando vai ser a metade disso:

1,5   k N / m 2 y 2 = 0,75   k N / m 2 y

Esse valor médio distribuído ao longo de um trecho de comprimento y vai resultar em uma força equivalente:

0,75   k N / m 2 y * y = 0,75   k N / m 2 y 2

Sabendo disso, conseguimos fazer nosso somatório de forças, que fica assim:

0,75   k N / m 2 y 2 - N ( y ) - P = 0

Queremos encontrar a força normal N em função de y (“ N ( y ) ”), então devemos isolá-la:

N y = 0,75   k N / m 2 y 2 - P

Passo 5

Agora que conhecemos N ( y ) , podemos aplicar a fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( y ) E A d y

Primeiro, podemos tirar para o lado de fora da integral as constantes E e A :

δ = 1 E A ∫ 0 L N y   d y

Além disso, sabemos que a área A da seção transversal circular de diâmetro d do poste pode ser dada pela fórmula A = π d 2 / 4 .

Dessa forma, temos que:

δ = 1 E π d 2 4 ∫ 0 L N y   d y

Arrumando tudo, essa expressão fica assim:

δ = 4 E π d 2 ∫ 0 L N y   d y

Feito isso, vamos focar agora em calcular a integral, que vamos chamar de I :

I = ∫ 0 L N y   d y

Substituindo a expressão encontrada para N ( y ) , ficamos com a integral de um polinômio:

I = ∫ 0 L 0,75   k N / m 2 y 2 - P   d y

Então lembra aí!

A integral desse polinômio vai ficar assim:

I = 0,75   k N / m 2 y 3 3 - P y y = 0 L

Fazendo a diferença entre os valores nos extremos, temos:

I = 0,75   k N / m 2 L 3 3 - P L - 0,75   k N / m 2 0 3 3 - P 0

O segundo termo vai ser nulo, então só vai sobrar:

I = 0,75   k N / m 2 L 3 3 - P L

Substituindo L = 2   m e P = 20   k N , vamos encontrar que:

I = - 38   k N * m

E pronto!

Agora podemos voltar na variação de comprimento δ :

δ = 4 E π d 2 ∫ 0 L N y   d y

E substituir o valor da integral:

δ = 4 E π d 2 - 38   k N * m

Substituindo E = 13,1   G P a = 13,1   k N / m m 2 e d = 60   m m , as unidades m m e k N vão se cortar.

Com isso, nosso resultado para δ vai sair na unidade que sobra, que é metros ( m ).

Fazendo essas substituições e calculando tudo, encontramos:

δ = - 0,00103   m

Como esse número é muito pequeno, podemos reescrevê-lo em m m :

δ = - 1,03   m m

E assim terminamos a segunda e última parte do exercício.

Resposta

F = 17   k N

&

δ A / B = - 1,03   m m

Exercício Resolvido #4

Determine o alongamento da tira de alumínio quando submetida a uma força axial de 30   k N . E a l = 70   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

A tira de alumínio é composta por três segmentos e possui um módulo de elasticidade E = 70   G P a .

Um segmento, central, possui uma área de seção transversal A c e n t = 50   m m   ×   6   m m e um comprimento inicial L c e n t = 800   m m .

Os outros dois segmentos, laterais, possuem um comprimento inicial L l a t = 250   m m e uma área de seção transversal variável A l a t :

Além de tudo isso, por causa da força axial de tração de 30   k N , vai haver ao longo de toda essa tira de alumínio uma força interna normal constante N = 30   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o alongamento, ou seja, a variação de comprimento δ da tira de alumínio devido à carga aplicada de 30   k N .

Essa variação de comprimento da tira vai ser a soma das variações de comprimento do segmento central e dos segmentos laterais:

δ = δ l a t + δ c e n t + δ l a t

δ = δ c e n t + 2 δ l a t

E como é que a gente pode calcular essas variações de comprimento?

Para o trecho central que possui uma área de seção transversal A c e n t constante, vamos calcular a sua variação de comprimento δ c e n t usando a fórmula δ = N L / E A .

Já para os dois trechos laterais, a área de seção transversal A l a t varia. Então vamos ter que usar a fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

No caso dos nossos trechos laterais:

  • A força interna normal N e o módulo de elasticidade E são constantes;
  • A área de seção transversal é chamada de A l a t ;
  • E o comprimento é chamado de L l a t .

Então essa fórmula fica assim:

δ l a t = ∫ 0 L l a t N E * A l a t ( x ) d x

Agora, antes de usarmos essa fórmula, precisamos formular uma expressão para a área variável A l a t ( x ) .

Passo 2

Então vamos começar o exercício tentando formular uma expressão para A l a t ( x ) .

Se formos observar a geometria dos segmentos laterais, vamos ver que eles têm:

  • Uma largura fixa l = 6   m m ;
  • E uma altura que varia linearmente de 50   m m no ponto inicial à 15   m m no ponto final.

A figura abaixo mostra isso visualmente:

Então vamos chamar essa altura variável de h .

Se ela varia linearmente em função de x , então ela pode ser expressa pela fórmula:

h x = a x + b

Por um lado, sabemos que quando x = 0 , essa altura é igual à 50   m m .

Ou seja:

50   m m = a 0 + b

Assim, descobrimos que:

b = 50   m m

Por outro lado, sabemos que quando x = L l a t , a altura é igual à 15   m m .

Ou seja:

15   m m = a L l a t + b

Substituindo b = 50   m m e isolando a , encontramos que:

a = 15   m m - 50   m m L l a t

O que significa que:

a = - 35   m m L l a t

Substituindo L l a t = 250   m m , encontramos que:

a = - 0,14

Sendo assim, podemos descrever a altura h assim:

h ( x ) = a x + b

Sabendo que a = - 0,14 e que b = 50   m m !

Agora, a área A l a t de uma seção transversal dos segmentos laterais da tira é a multiplicação dessa altura variável h ( x ) pela largura l = 6   m m da peça.

Então A l a t pode ser descrita em função de x assim:

A l a t x = h x l = a x + b l

Passo 3

Agora que temos uma fórmula para A l a t em função de x , já podemos calcular a variação de comprimento δ nos segmentos laterais da tira:

δ l a t = ∫ 0 L l a t N E * A l a t ( x ) d x

Primeiro, substituímos a expressão encontrada para A l a t x :

δ l a t = ∫ 0 L l a t N E a x + b l d x

Em seguida, podemos tirar as constantes N , E e l para o lado de fora da integral:

δ l a t = N E l ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x

Com isso, vamos focar na resolução da integral, que vamos chamar de I :

I = ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x

É, olhando para essa integral já dá para ver que ela não é tão fácil...

Mas vamos lá, você aguenta:

Faz tempo que eu não vejo cálculo, mas o meu instinto é de fazer uma substituição.

Então vamos tentar isso.

Vamos dizer que u = a x + b .

Derivando u em relação a x , vamos ter que:

d u d x = a

O que significa que:

d u = a   d x

Beleza, então vamos olhar para o que está dentro da nossa integral:

1 a x + b d x

Substituindo a x + b = u , fica assim:

1 u d x

Depois, multiplicamos em cima e em baixo por a :

a u a d x

Com isso, podemos substituir a   d x = d u :

1 u a d u

Agora, podemos atualizar a nossa integral com essa substituição, tendo o cuidado de também atualizar os intervalos da integral:

I = ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x = ∫ a * 0 + b = b a L l a t + b 1 u a d u

Arrumando tudo e colocando a constante a para fora, a nossa integral fica assim:

I = 1 a ∫ b a L l a t + b 1 u d u

E olha só, integral de 1 / x a gente sabe que dá l n ( x ) , então temos que:

I = 1 a l n ( u ) u = b a L l a t + b

Fazendo a diferença entre os valores nos extremos, temos:

I = 1 a l n a L l a t + b - l n ( b )

Mas lembra aí!

Existe uma propriedade dos logaritmos que diz que l o g A - l o g B = l o g ( A / B ) .

Aplicando essa propriedade, o resultado da nossa integral I fica assim:

I = 1 a l n a L l a t + b b

E pronto, está resolvida a integral!

Beleza, então vamos voltar na expressão que tínhamos encontrado para δ l a t :

δ l a t = N E l ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x

E substituir o valor que encontramos para a integral:

δ l a t = N E l 1 a l n a L l a t + b b

Substituindo nessa expressão:

  • N = 30   k N ;
  • E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 ;
  • l = 6   m m ;
  • a = - 0,14 ;
  • b = 50   m m ;
  • & L l a t = 250   m m ,

Vamos encontrar que:

δ l a t = 0,614   m m

Passo 4

Encontramos o valor de δ l a t , então agora só falta encontrar o valor da variação de comprimento δ c e n t do segmento central da tira, que é muito mais fácil de calcular.

Nesse segmento central nós temos um comprimento L c e n t , além de uma força normal N , um módulo de elasticidade E e uma área de seção transversal A c e n t constantes.

Sendo assim, a variação de comprimento δ c e n t vai ser dada pela fórmula:

δ c e n t = N L c e n t E A c e n t

Substituindo N = 30   k N , L c e n t = 800   m m , E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 e A c e n t = 50   m m   ×   6   m m , vamos encontrar que:

δ c e n t = 1,143   m m

Passo 5

Finalmente, podemos somar as variações de comprimento dos diferentes segmentos da tira de alumínio para encontrar a variação de comprimento total δ da tira:

δ = δ c e n t + 2 δ l a t

Substituindo os valores de δ c e n t e δ l a t , encontramos que:

δ = 1,143   m m + 2 0,614   m m

O que dá a nossa resposta:

Resposta

δ = 2,37   m m

Exercício Resolvido #5

Abaixo é dado uma estrutura com o formato mostrado. Sabendo que a densidade dessa estrutura é de ρ = 12   K g / m 3 determine o peso próprio dessa estrutura, assim como o seu peso distribuído no comprimento.

Passo 1

Vamos primeiro descobrir como determinamos o peso próprio dessa estrutura. Para fazermos isso precisamos nos lembrar do passo a passo que vimos na teoria.

Sabemos que o Cálculo do peso é dado pela equação.

W = m . g

Sabemos que m é a massa e g a gravidade. A gravidade já conhecemos o valor, mas e a massa?

Nesse caso temos que lembrar o seguinte

m = ρ V

Em que ρ   é a nossa densidade e V o volume da nossa peça. O ρ é a nossa densidade, e o volume? Como iremos calcular?

Como a nossa peça é um cone, teremos que a fórmula será

V = 1 3   .   π   .   r 2 .   H

Substituindo na nossa equação teremos que

W = m . g

W = ρ V . g

W = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 .   H . g

Para determinarmos o peso próprio distribuído basta dividir o nosso peso próprio pelo comprimento da nossa peça, ou ainda pela altura da nossa peça, fazendo isso teremos que

w = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 .   H . g H = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 . g

Vale ressaltar o seguinte, por se tratar de um cone, o raio da peça varia com a altura, logo, o nosso peso próprio distribuído ficará em função do nosso raio, ou ainda da nossa altura, vamos ver as duas respostas, não tendo um valor fixo como o peso próprio que já calculamos.

Passo 2

Agora que já sabemos como fazer o cálculo, vamos determinar o valor de cada um dos nossos termos, dessa forma teremos que

ρ = 12 K g m 3

r = D 2 = 1,53 2 = 0,765   m

H = 2,57   m

g = 9,81   m / s 2

Agora que já temos todos os valores, vamos determinar o peso próprio, substituindo na nossa equação teremos que

W = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 .   H . g

W = 12 . 1 3   .   π   .   ( 0,765 ) 2 .   2,57.9,81 = 185,41  

E qual a unidade?

Vamos substituir cada unidade na nossa fórmula

W = K g m 3   .   m 2 .   m . m s 2 = K g . m s 2 = N

Logo nosso peso próprio será

W = 185,41   N  

Passo 3

Agora para determinar o peso próprio distribuído precisamos lembrar da nossa fórmula

w = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 . g

Já temos quase todos esses valores, só temos que por o raio em função da altura da nossa peça, para isso vamos ver o seguinte esquema

Nosso objetivo é determinar o valor de r’, para isso basta fazer uma regra de 3

H - h r ' = H r

Isolando r’ teremos que

r ' = H - h r H

Para testar vemos o seguinte, como a nossa origem está embaixo temos que ver que

h = 0

então

r ' = r

E se

h = H

então

r ' = 0

E vemos que se fizermos essa comparação com o nosso esquema vai estar tudo correto. Substituindo agora essa equação na nossa fórmula principal teremos que

w = 12 . 1 3   .   π   . H - h r H 2 . 9,81

Como queríamos, a nossa fórmula ficará em função de h, substituindo

w = 12 . 1 3   .   π   . 2,57 - h . 0,765 2,57 2 . 9,81

w = 10,92   .   2,57 - h 2

Lembre que nesse caso a nossa unidade é

w = N m

Resposta

W = 185,41   N  

w = 10,92   .   2,57 - h 2   N m

Exercício Resolvido #6

Abaixo é dada uma viga sujeita ao carregamento distribuído mostrado. Sabendo que a seção dessa viga é constante e quadradas de dimensões (30 x 30) cm e que a altura da nossa peça é de 2,45 m , determine a equação do esforço normal para essa peça, supondo a origem começando do topo da peça.

Passo 1

Queremos determinar a equação do normal dessa peça. Antes de qualquer coisa temos que entender que para determinarmos a equação do normal precisamos dividir a nossa barra. Quando fazemos essa divisão, precisamos analisar como a força normal se comportará.

O que é importante notarmos?

Vimos no passo a passo que calculávamos primeiro o peso próprio, depois as reações do apoio. Como aqui estamos considerando a origem em cima, esses valores não afetaram em nada o cálculo do nosso normal, logo, nesse caso especifico não há necessidade de fazermos os dois primeiros passos. Assim poderemos iniciar diretamente do cálculo no nosso normal. Para isso devemos partir a nossa peça como a figura baixo mostra.

Usualmente arbitramos o nosso normal saindo da peça, e como a nossa origem está em cima da peça, iremos colocar que a distância em que fizemos o corte é X.

Passo 2

Antes de começarmos a fazer o equilíbrio precisamos fazer uma troca, ou seja, devemos trocar a nossa carga distribuída por uma carga concentrada, mas como faremos isso?

Você tem que pegar o seguinte macete, para trocarmos uma carga distribuída por uma concentrada precisamos calcular uma área, mas que área é essa?

Precisamos visualizar ela na nossa peça

Esse triangulo representa como a carga distribuída se comporta na nossa peça, ela começa no zero e vai aumentando linearmente até o valor w ( x ) . Se calcularmos a área desse triangulo, determinamos o valor da carga concentrada que entraria no lugar dessa carga distribuída. Porém para calcularmos essa área necessitamos do valor de w ( x ) . Como ele cresce linearmente com o valor de X, podemos determinar uma equação do primeiro grau para o nosso triângulo, usando as condições de contorno do nosso problema, ou seja, os valores que temos nas extremidades.

Passo 3

Vamos calcular o valor de w ( x ) olhando a figura total teremos o seguinte triangulo

Como queremos montar uma equação da reta usaremos a equação

y = a x + b

Precisamos agora resolver o seguinte sistema

x = 0         y = 0

E

x = 2,45     y = 60

Substituindo a primeira equação teremos que

0 = a . 0 + b

Logo

b = 0

Já com o valor de b vamos substituir o próximo valor que será

60 = a . 2,45 + 0

Logo

a = 24,5

Jogo a nossa equação da reta será

y = 24,5 x  

Como o nosso objetivo era determinar a equação da carga distribuída podemos definir que

w x = 24,5 x

Passo 4

Voltando na nossa figura anterior, agora podemos calcular a área do nosso triangulo

A = W = w x .   x 2 = 24,5 x   .   x 2 = 12,25 x 2

Substituindo a nossa carga distribuída pela concentrada podemos visualizar o nosso desenho como

Agora sim podemos fazer o equilíbrio de forças e determinar o valor do nosso normal

Fazendo

∑ F = 0

Teremos que

N x + W x = 0

Como já determinamos a nossa carga concentrada teremos que

N x + 12,25 x 2 = 0

N x = - 12,25 x 2

Uma forma de saber se fizemos o cálculo certo é calcular o normal na base da nossa peça e comparar com a área do triangulo grande, fazendo primeiro a área teremos que

W = A = 60   .   2,45 2 = 73,5   K N

Usando a fórmula do nosso normal com x=2,45 teremos que

N x = - 12,25 2,45 2 = - 73,5 K N

Lembrando que o sinal do normal é negativo pois indica compressão. Como em módulo os valores são iguais, então podemos ficar tranquilos que de fato a nossa fórmula está correta. Logo a equação do normal é

N x = - 12,25 x 2

Resposta

N x = - 12,25 x 2

Exercício Resolvido #7

O pilar abaixo possui raio de 1,5   m . A altura desse pilar é de 4,57   m . sabendo que essa viga suportará um carregamento como o mostrado na figura, determine a equação do esforço normal para essa peça, supondo a origem no topo da mesma.

Passo 1

Queremos determinar a equação do normal dessa peça. Antes de qualquer coisa temos que entender que para determinarmos a equação do normal precisamos dividir a nossa barra. Quando fazemos essa divisão, precisamos analisar como a força normal se comportará.

O que é importante notarmos?

Vimos no passo a passo que calculávamos primeiro o peso próprio, depois as reações do apoio. Como aqui estamos considerando a origem em cima, esses valores não afetaram em nada o cálculo do nosso normal, logo, nesse caso especifico não há necessidade de fazermos os dois primeiros passos. Assim poderemos iniciar diretamente do cálculo no nosso normal. Para isso devemos partir a nossa peça como a figura baixo mostra.

Usualmente arbitramos o nosso normal saindo da peça, e como a nossa origem está em cima da peça, iremos colocar que a distância em que fizemos o corte é X.

Passo 2

Antes de começarmos a fazer o equilíbrio precisamos fazer uma troca, ou seja, devemos trocar a nossa carga distribuída por uma carga concentrada, mas como faremos isso?

Você tem que pegar o seguinte macete, para trocarmos uma carga distribuída por uma concentrada precisamos calcular uma área, mas que área é essa?

Precisamos visualizar ela na nossa peça

Esse triangulo representa como a carga distribuída se comporta na nossa peça, ela começa no zero e vai aumentando linearmente até o valor w ( x ) . Se calcularmos a área desse triangulo, determinamos o valor da carga concentrada que entraria no lugar dessa carga distribuída. Porém para calcularmos essa área necessitamos do valor de w ( x ) . Como ele cresce linearmente com o valor de X, podemos determinar uma equação do primeiro grau para o nosso triângulo, usando as condições de contorno do nosso problema, ou seja, os valores que temos nas extremidades.

Passo 3

Vamos calcular o valor de w ( x ) olhando a figura total teremos o seguinte triangulo

Como queremos montar uma equação da reta usaremos a equação

y = a x + b

Precisamos agora resolver o seguinte sistema

x = 0         y = 0

E

x = 4,57     y = 127

Substituindo a primeira equação teremos que

0 = a . 0 + b

Logo

b = 0

Já com o valor de b vamos substituir o próximo valor que será

127 = a . 4,57 + 0

Logo

a = 27,8

Jogo a nossa equação da reta será

y = 27,8 x  

Como o nosso objetivo era determinar a equação da carga distribuída podemos definir que

w x = 27,8 x

Passo 4

Voltando na nossa figura anterior, agora podemos calcular a área do nosso triangulo

A = W = w x .   x 2 = 27,8 x   .   x 2 = 13,9 x 2

Substituindo a nossa carga distribuída pela concentrada podemos visualizar o nosso desenho como

Agora sim podemos fazer o equilíbrio de forças e determinar o valor do nosso normal

Fazendo

∑ F = 0

Teremos que

N x + W x + 200 = 0

Como já determinamos a nossa carga concentrada teremos que

N x + 13,9 x 2 + 200 = 0

N x = - 13,9 x 2 - 200

Uma forma de saber se fizemos o cálculo certo é calcular o normal na base da nossa peça e comparar com a área do triangulo grande, fazendo primeiro a área teremos que

W = A = 127 .   4,57 2 = 290,3   K N

Como tem uma carga de 200 concentrada, também precisamos contabilizar ela para o cálculo do nosso normal na base, logo teremos que

N = 290,2 + 200 = 490,3   K N

Usando a fórmula do nosso normal com x=4,57 teremos que

N x = - 13,9 4,57 2 - 200 = - 490,3 K N

Lembrando que o sinal do normal é negativo pois indica compressão. Como em módulo os valores são iguais, então podemos ficar tranquilos que de fato a nossa fórmula está correta. Logo a equação do normal é

N x = - 13,9 x 2 - 200

Resposta

N x = - 13,9 x 2 - 200

Exercício Resolvido #8

Uma peça foi sujeita ao carregamento distribuído abaixo. Sabendo que ela sofrerá uma carga como mostrado na figura, determine a deformação total que ela sofrerá.

Dados do problema.

S e ç ã o   q u a d r a d a   d e   l a d o   39   c m

C o m p r i m e n t o   d e   3,47 m

m ó d u l o   d e   e l a s t i c i d a d e   d e   40 M P a

Passo 1

Para podermos determinar qual a deformação total da nossa peça, precisamos saber como calcular essa deformação. Para esse tipo de caso a fórmula é dada por

δ = ∫ 0 L N x E A d x

Sabemos que o valor da área podemos determinar facilmente pelos dados do enunciado, tendo dessa forma que

A = 39   . 39 = 1521   c m 2 = 0,1521 m 2

E o modulo de elasticidade é

E = 40 M P a = 40000 K N m 2

Agora para podermos continuar as contas precisamos determinar a equação do nosso normal

Passo 2

Para determinarmos o normal precisamos dividir a nossa peça e analisar como o nosso normal é determinado pelo equilíbrio da peça. A nossa origem será definida na extremidade da barra com carregamento concentrado. E o sentido será da direita para esquerda. Analisando a nossa peça cortada teremos que

Usualmente arbitramos o nosso normal saindo da peça, e como a nossa origem está na direita, iremos colocar que a distância em que fizemos o corte é X.

Passo 3

Antes de começarmos a fazer o equilíbrio precisamos fazer uma troca, ou seja, devemos trocar a nossa carga distribuída por uma carga concentrada, mas como faremos isso?

Você tem que pegar o seguinte macete, para trocarmos uma carga distribuída por uma concentrada precisamos calcular uma área, mas que área é essa?

Precisamos visualizar ela na nossa peça

Esse triangulo representa como a carga distribuída se comporta na nossa peça, ela começa no zero e vai aumentando linearmente até o valor w ( x ) . Se calcularmos a área desse triangulo, determinamos o valor da carga concentrada que entraria no lugar dessa carga distribuída. Porém para calcularmos essa área necessitamos do valor de w ( x ) . Como ele cresce linearmente com o valor de X, podemos determinar uma equação do primeiro grau para o nosso triângulo, usando as condições de contorno do nosso problema, ou seja, os valores que temos nas extremidades.

Passo 4

Vamos calcular o valor de w ( x ) olhando a figura total teremos o seguinte triangulo

Como queremos montar uma equação da reta usaremos a equação

y = a x + b

Precisamos agora resolver o seguinte sistema

x = 0         y = 0

E

x = 3,47     y = 120

Substituindo a primeira equação teremos que

0 = a . 0 + b

Logo

b = 0

Já com o valor de b vamos substituir o próximo valor que será

120 = a . 3,47 + 0

Logo

a = 34,6

Jogo a nossa equação da reta será

y = 34,6 x  

Como o nosso objetivo era determinar a equação da carga distribuída podemos definir que

w x = 34,6 x

Passo 5

Voltando na nossa figura anterior, agora podemos calcular a área do nosso triangulo

A = W = w x .   x 2 = 34,6 x   .   x 2 = 17,3 x 2

Substituindo a nossa carga distribuída pela concentrada podemos visualizar o nosso desenho como

Agora sim podemos fazer o equilíbrio de forças e determinar o valor do nosso normal

Fazendo

∑ F = 0

Teremos que

N x + W x - 136 = 0

Como já determinamos a nossa carga concentrada teremos que

N x + 17,3 x 2 - 136 = 0

N x = - 17,3 x 2 + 136

Uma forma de saber se fizemos o cálculo certo é calcular o normal na base da nossa peça e comparar com a área do triangulo grande, fazendo primeiro a área teremos que

W = A = 120 .   3,47 2 = 208,2   K N

Como tem uma carga de 136 concentrada, também precisamos contabilizar ela para o cálculo do nosso normal na base, logo teremos que

N = 208,2 - 136 = 72,2   K N

Usando a fórmula do nosso normal com x=3,47 teremos que

N x = - 17,3 3,47 2 + 136 = - 72,2 K N

Lembrando que o sinal do normal é negativo pois indica compressão. Como em módulo os valores são iguais, então podemos ficar tranquilos que de fato a nossa fórmula está correta. Logo a equação do normal é

N x = - 17,3 x 2 + 136

Passo 6

Como já temos a equação do normal, podemos substituir todos os valores da nossa integral e em fim calcular a deformação total da nossa peça, substituindo teremos que

δ = ∫ 0 3,47 - 17,3 x 2 + 136 40000   .   0,1521 d x

δ = ∫ 0 3,47 - 17,3 x 2 + 136 6084 d x

δ = ∫ 0 3,47 - 17,3 x 2 6084 + 136 6084 d x

Resolvendo teremos que

δ = - 17,3 x 3 3   .   6084 + 136 x 6084

Substituindo teremos que

δ = - 17,3 ( 3,47 ) 3 3   .   6084 + 136 ( 3,47 ) 6084 = 0,038 m = 38   m m

Resposta

δ = 38   m m