Tensões Térmicas

Teoria Completa

Introdução

Se você já viu os trilhos de um de trem, você pode ter percebido como existem folgas entre eles:

O que acontece é que o tamanho dos trilhos varia de acordo com a temperatura:

  • Quando a temperatura aumenta, os trilhos se expandem;
  • E quando a temperatura diminui, os trilhos se contraem.

Esse efeito é o que a gente chama de dilatação térmica.

Daí que quando os trilhos não têm folgas grandes o suficiente, esse efeito faz os trilhos se encostarem em dias muitos quentes:

O problema disso é que qualquer aumento adicional de temperatura vai fazer com que os trilhos queiram crescer mais ainda.

Com isso, os trilhos começam a “lutar” por espaço e se comprimir, gerando nas peças uma tensão que chamamos de tensão térmica.

Então...

Como é que nós podemos calcular essas tensões?

E em que outras situações elas ocorrem?

Dilatação Térmica

Para responder essa pergunta, precisamos primeiro saber descrever a dilatação térmica que ocorre nos trilhos.

Para tanto, vamos ver cada trilho como uma barra de comprimento inicial L e temperatura inicial T :

Com a mudança da temperatura para uma temperatura final T ' , os trilhos sofrem uma variação de comprimento térmica δ T e adquirem um comprimento final L ' = L + δ T :

Fórmula da Dilatação Térmica

Daí que através de experimentos, foi descoberto que essa variação de comprimento δ T em uma peça por causa de uma variação de temperatura Δ T é dada pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Onde:

  • α é uma propriedade de cada material chamada de coeficiente de dilatação linear térmica;
  • E Δ T = T ' - T é a variação de temperatura sofrida pela peça.

Perceba que estamos analisando apenas uma dimensão dos objetos (vigas e barras por exemplo) por isso faz sentido usar o coeficiente linear de dilatação térmica α .

Além disso, normalmente temos que:

  • A variação de temperatura Δ T é dada em ° C ;
  • O coeficiente α é dado em 1 / ° C ou ° C - 1 ;
  • E o comprimento L e a variação de comprimento δ T são dados em uma unidade de comprimento, como m ou m m .

Tensões Térmicas

Agora, se as barras dos nossos trilhos pudessem realmente expandir e contrair livremente como acabamos de ver, nunca seria gerada nenhuma tensão nelas, pois não haveria nenhuma força atuando sobre elas.

O problema é que os trilhos têm uma variação de comprimento máxima δ m á x que eles podem sofrer antes de se encostarem. Olhe novamente a figura dos trilhos onde a próprio folga entre eles é o δ m á x :

Como todos os trilhos dilatam, tanto o do meio como os da extremidade, o comprimento máximo de dilatação acaba sendo a metade da folga, ou seja:

δ m á x / 2

Esse limite δ m á x é na verdade a própria folga entre os trilhos.

Isso significa que se a dilatação térmica δ T sofrida por cada trilho for maior que a folga entre eles, os trilhos vão se encostar e vão passar a se comprimir com forças de reação R :

São essas forças – e não a dilatação δ T – que vão gerar as forças e tensões normais na peça. Se a gente fizer um corte transversal vamos poder ver a força normal:

  • Uma força interna normal compressiva de módulo igual a R ;
  • E uma tensão normal média σ = N / A , que podemos chamar de tensão térmica.

Mas então...

Como é que a gente faz para calcular o valor dessas reações R ?

Cálculo das Reações

O primeiro passo sempre é aplicar as condições de equilíbrio na peça.

Mas como as condições de equilíbrio não vão ser suficientes para determinar as reações R , vamos ter um problema estaticamente indeterminado.

Então vamos precisar de uma equação de compatibilidade, que podemos obter usando o princípio da superposição.

Basicamente, consideramos que:

  • A peça vai sofrer uma dilatação térmica genérica δ T ;
  • E o carregamento na peça vai gerar nela uma variação de comprimento genérica δ .

Pelo princípio da superposição, a variação de comprimento total na peça vai ser a soma desses efeitos individuais:

δ T O T A L = δ T + δ

Vou explicar do ponto de vista da barra:

- “Que legal, ta tão fresquinho aqui que eu to super de boas, meu comprimento é L 0 e ninguém me incomoda!” Disse a barra.

Subitamente a temperatura aumentou muito.

- “Nossa aqui ta muito quenteee, eu preciso dilatar δ T se não eu vou passar mal”. Pensou a barra.

E ela começou a dilatar... Até que:

- “Pera aí dona barra! Você não pode dilatar tanto assim. Você já usou todo seu espaço de dilatação, vou ter que fazer você voltar δ ” Explicou a tensão normal σ .

- “Ahh meu deus!! Que horror, eu tentei dilatar δ T mas só consegui dilatar δ T O T A L e ainda estou sob extrema tensão compressiva” Entendeu a senhorita barra.

A dona barra entendeu e você entendeu também? Espero que sim!!

Então se a gente souber descrever:

  • A dilatação térmica δ T = α * Δ T * L ;
  • A variação de comprimento δ devido ao carregamento na peça, normalmente dada pela fórmula δ = N L / E A ;
  • E a variação de comprimento total δ T O T A L que a peça deve ter (que no nosso caso vai ser igual à folga entre os trilhos),

Podemos usar essa equação de compatibilidade δ T O T A L = δ T + δ para determinar as reações R na peça!

Exemplo

Então vamos resolver um exemplo! Imagina que a dona barrinha tem inicialmente L 0 = 3   m , seu coeficiente de dilatação linear é α = 1.10 - 4   m / ° C , coeficiente de elasticidade E = 200   G P a . e área igual a 100   m m 2 . Sabendo que a dona barrinha encontra-se num vão com 3,02   m de comprimento. Qual será a força e a tensão normal gerada na dona barrinha se a variação de temperatura é de 100 ° C ?

Resolução:

A primeira coisa que a gente faz é calcular a dilatação térmica da barra:

δ T = α . L 0 . Δ T

Substituindo os valores fornecidos:

δ T = 1.10 - 4 . 3.100

δ T = 0,03   m

Ou seja, a barra quer expandir 0,03   m . Mas ela tem apenas 0,02   m para isso, esse é o valor do δ T O T A L olha só!

δ T O T A L = 3,02 - L 0

δ T O T A L = 3,02 - 3 = 0,02   m

Você pode endenter também como δ R E A L que é o quanto a barra de fato dilata.

Assim podemos achar o valor de δ :

δ T O T A L = δ T + δ

0,02 = 0,03 + δ

δ = - 0,01   m

Deu negativo e isso faz total sentido já que essa deformação comprime a barra!!

Agora é só utilizar a equação da tensão normal:

δ = N L / E A

Substituindo os valores, lembrando que temos de utilizar a área em m 2 ao invés de m m 2

A = 100 m m 2 = 100.10 - 6   m 2

- 0,01 = N ( 3 ) ( 200.10 9 ) ( 100.10 - 6 )

N = - 66,7   k N

E a tensão é dada por:

σ = N A

σ = - 66,7.10 3 100.10 - 6

σ = - 667   M P a

Ambas são negativas porque a barra está sendo comprimida! E que tensão né!! provavelmente com esse valor a dona barrinha vai arrebentar coitada kkk

Duas observações finais

1. De uma forma geral, podemos afirmar que as tensões térmicas só aparecem em peças que forem estaticamente indeterminadas.

Então se você tem uma estrutura estaticamente DEterminada, a dilatação dessa estrutura (expansão ou contração) não vai afetar as tensões nela!

2. Algumas vezes, um exercício pode pedir que você calcule não a variação de comprimento térmica δ T , mas sim a deformação térmica ε T em uma peça. Aí é só lembrar que deformação é a variação do comprimento (no caso a dilatação) sobre o comprimento total.

Nesses casos, como deformação é definida como ε = δ / L , vamos ter que:

ε T = δ T L = ( α * Δ T * L ) L

O que significa que:

ε T = α * Δ T

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

A coluna de concreto abaixo tem, a uma temperatura de 27 ° C , um comprimento inicial L = 1,8   m . Determine o comprimento final dessa coluna quando a temperatura é abaixada para - 8 ° C .

Dados: α c o n c r e t o = 8 * 10 - 6   ° C - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

A coluna possui um comprimento inicial L = 1,8   m , uma temperatura inicial T = 27 ° C e um coeficiente de dilatação térmica α = 8 * 10 - 6   ° C - 1 .

Ao ter a sua temperatura abaixada até uma temperatura final T ' = - 8 ° C , a coluna sofre uma variação de comprimento térmica δ T que vai ser dada pela fórmula

δ T = α * Δ T * L

Onde Δ T = T ' - T é a variação de temperatura sofrida pela coluna, de tal forma que:

δ T = α T ' - T L

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o comprimento final L ' dessa coluna.

Como o comprimento final é o comprimento final mais a variação de comprimento, vamos ter que:

L ' = L + δ T

Substituindo δ T = α T ' - T L , temos que:

L ' = L + α T ' - T L

Colocando L em evidência, isso fica assim:

L ' = L 1 + α T ' - T

Passo 2

Encontrada uma expressão para L ' em função de valores conhecidos:

L ' = L 1 + α T ' - T

Podemos substituir esses valores para encontrar L ' .

Substituindo:

  • α = 8 * 10 - 6   ° C - 1 ;
  • T ' = - 8 ° C ;
  • T = 27 ° C ;
  • E L = 1,8   m ;

Vamos ter que:

L ' = 1,8   m 1 + 8 * 10 - 6 1 ° C - 8 ° C - 27 ° C

Calculando tudo, encontramos a nossa resposta:

Resposta

L ' = 1,799496   m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 109-4.70.

A chave elétrica fecha quando as hastes de ligação C D e A B se aquecem, o que provoca a translação e a rotação do braço rígido B D E até fechar o contato em F . A posição original de B D E é vertical e a temperatura é 20 ° C . Se A B for feita de bronze C86100 e C D