Tensões Térmicas

Teoria Completa

Introdução

Se você já viu os trilhos de um de trem, você pode ter percebido como existem folgas entre eles:

O que acontece é que o tamanho dos trilhos varia de acordo com a temperatura:

  • Quando a temperatura aumenta, os trilhos se expandem;
  • E quando a temperatura diminui, os trilhos se contraem.

Esse efeito é o que a gente chama de dilatação térmica.

Daí que quando os trilhos não têm folgas grandes o suficiente, esse efeito faz os trilhos se encostarem em dias muitos quentes:

O problema disso é que qualquer aumento adicional de temperatura vai fazer com que os trilhos queiram crescer mais ainda.

Com isso, os trilhos começam a “lutar” por espaço e se comprimir, gerando nas peças uma tensão que chamamos de tensão térmica.

Então...

Como é que nós podemos calcular essas tensões?

E em que outras situações elas ocorrem?

Dilatação Térmica

Para responder essa pergunta, precisamos primeiro saber descrever a dilatação térmica que ocorre nos trilhos.

Para tanto, vamos ver cada trilho como uma barra de comprimento inicial L e temperatura inicial T :

Com a mudança da temperatura para uma temperatura final T ' , os trilhos sofrem uma variação de comprimento térmica δ T e adquirem um comprimento final L ' = L + δ T :

Fórmula da Dilatação Térmica

Daí que através de experimentos, foi descoberto que essa variação de comprimento δ T em uma peça por causa de uma variação de temperatura Δ T é dada pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Onde:

  • α é uma propriedade de cada material chamada de coeficiente de dilatação linear térmica;
  • E Δ T = T ' - T é a variação de temperatura sofrida pela peça.

Perceba que estamos analisando apenas uma dimensão dos objetos (vigas e barras por exemplo) por isso faz sentido usar o coeficiente linear de dilatação térmica α .

Além disso, normalmente temos que:

  • A variação de temperatura Δ T é dada em ° C ;
  • O coeficiente α é dado em 1 / ° C ou ° C - 1 ;
  • E o comprimento L e a variação de comprimento δ T são dados em uma unidade de comprimento, como m ou m m .

Tensões Térmicas

Agora, se as barras dos nossos trilhos pudessem realmente expandir e contrair livremente como acabamos de ver, nunca seria gerada nenhuma tensão nelas, pois não haveria nenhuma força atuando sobre elas.

O problema é que os trilhos têm uma variação de comprimento máxima δ m á x que eles podem sofrer antes de se encostarem. Olhe novamente a figura dos trilhos onde a próprio folga entre eles é o δ m á x :

Como todos os trilhos dilatam, tanto o do meio como os da extremidade, o comprimento máximo de dilatação acaba sendo a metade da folga, ou seja:

δ m á x / 2

Esse limite δ m á x é na verdade a própria folga entre os trilhos.

Isso significa que se a dilatação térmica δ T sofrida por cada trilho for maior que a folga entre eles, os trilhos vão se encostar e vão passar a se comprimir com forças de reação R :

São essas forças – e não a dilatação δ T – que vão gerar as forças e tensões normais na peça. Se a gente fizer um corte transversal vamos poder ver a força normal:

  • Uma força interna normal compressiva de módulo igual a R ;
  • E uma tensão normal média σ = N / A , que podemos chamar de tensão térmica.

Mas então...

Como é que a gente faz para calcular o valor dessas reações R ?

Cálculo das Reações

O primeiro passo sempre é aplicar as condições de equilíbrio na peça.

Mas como as condições de equilíbrio não vão ser suficientes para determinar as reações R , vamos ter um problema estaticamente indeterminado.

Então vamos precisar de uma equação de compatibilidade, que podemos obter usando o princípio da superposição.

Basicamente, consideramos que:

  • A peça vai sofrer uma dilatação térmica genérica δ T ;
  • E o carregamento na peça vai gerar nela uma variação de comprimento genérica δ .

Pelo princípio da superposição, a variação de comprimento total na peça vai ser a soma desses efeitos individuais:

δ T O T A L = δ T + δ

Vou explicar do ponto de vista da barra:

- “Que legal, ta tão fresquinho aqui que eu to super de boas, meu comprimento é L 0 e ninguém me incomoda!” Disse a barra.

Subitamente a temperatura aumentou muito.

- “Nossa aqui ta muito quenteee, eu preciso dilatar δ T se não eu vou passar mal”. Pensou a barra.

E ela começou a dilatar... Até que:

- “Pera aí dona barra! Você não pode dilatar tanto assim. Você já usou todo seu espaço de dilatação, vou ter que fazer você voltar δ ” Explicou a tensão normal σ .

- “Ahh meu deus!! Que horror, eu tentei dilatar δ T mas só consegui dilatar δ T O T A L e ainda estou sob extrema tensão compressiva” Entendeu a senhorita barra.

A dona barra entendeu e você entendeu também? Espero que sim!!

Então se a gente souber descrever:

  • A dilatação térmica δ T = α * Δ T * L ;
  • A variação de comprimento δ devido ao carregamento na peça, normalmente dada pela fórmula δ = N L / E A ;
  • E a variação de comprimento total δ T O T A L que a peça deve ter (que no nosso caso vai ser igual à folga entre os trilhos),

Podemos usar essa equação de compatibilidade δ T O T A L = δ T + δ para determinar as reações R na peça!

Exemplo

Então vamos resolver um exemplo! Imagina que a dona barrinha tem inicialmente L 0 = 3   m , seu coeficiente de dilatação linear é α = 1.10 - 4   m / ° C , coeficiente de elasticidade E = 200   G P a . e área igual a 100   m m 2 . Sabendo que a dona barrinha encontra-se num vão com 3,02   m de comprimento. Qual será a força e a tensão normal gerada na dona barrinha se a variação de temperatura é de 100 ° C ?

Resolução:

A primeira coisa que a gente faz é calcular a dilatação térmica da barra:

δ T = α . L 0 . Δ T

Substituindo os valores fornecidos:

δ T = 1.10 - 4 . 3.100

δ T = 0,03   m

Ou seja, a barra quer expandir 0,03   m . Mas ela tem apenas 0,02   m para isso, esse é o valor do δ T O T A L olha só!

δ T O T A L = 3,02 - L 0

δ T O T A L = 3,02 - 3 = 0,02   m

Você pode endenter também como δ R E A L que é o quanto a barra de fato dilata.

Assim podemos achar o valor de δ :

δ T O T A L = δ T + δ

0,02 = 0,03 + δ

δ = - 0,01   m

Deu negativo e isso faz total sentido já que essa deformação comprime a barra!!

Agora é só utilizar a equação da tensão normal:

δ = N L / E A

Substituindo os valores, lembrando que temos de utilizar a área em m 2 ao invés de m m 2

A = 100 m m 2 = 100.10 - 6   m 2

- 0,01 = N ( 3 ) ( 200.10 9 ) ( 100.10 - 6 )

N = - 66,7   k N

E a tensão é dada por:

σ = N A

σ = - 66,7.10 3 100.10 - 6

σ = - 667   M P a

Ambas são negativas porque a barra está sendo comprimida! E que tensão né!! provavelmente com esse valor a dona barrinha vai arrebentar coitada kkk

Duas observações finais

1. De uma forma geral, podemos afirmar que as tensões térmicas só aparecem em peças que forem estaticamente indeterminadas.

Então se você tem uma estrutura estaticamente DEterminada, a dilatação dessa estrutura (expansão ou contração) não vai afetar as tensões nela!

2. Algumas vezes, um exercício pode pedir que você calcule não a variação de comprimento térmica δ T , mas sim a deformação térmica ε T em uma peça. Aí é só lembrar que deformação é a variação do comprimento (no caso a dilatação) sobre o comprimento total.

Nesses casos, como deformação é definida como ε = δ / L , vamos ter que:

ε T = δ T L = ( α * Δ T * L ) L

O que significa que:

ε T = α * Δ T

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

A coluna de concreto abaixo tem, a uma temperatura de 27 ° C , um comprimento inicial L = 1,8   m . Determine o comprimento final dessa coluna quando a temperatura é abaixada para - 8 ° C .

Dados: α c o n c r e t o = 8 * 10 - 6   ° C - 1

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Passo 1

O que está acontecendo?

A coluna possui um comprimento inicial L = 1,8   m , uma temperatura inicial T = 27 ° C e um coeficiente de dilatação térmica α = 8 * 10 - 6   ° C - 1 .

Ao ter a sua temperatura abaixada até uma temperatura final T ' = - 8 ° C , a coluna sofre uma variação de comprimento térmica δ T que vai ser dada pela fórmula

δ T = α * Δ T * L

Onde Δ T = T ' - T é a variação de temperatura sofrida pela coluna, de tal forma que:

δ T = α T ' - T L

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o comprimento final L ' dessa coluna.

Como o comprimento final é o comprimento final mais a variação de comprimento, vamos ter que:

L ' = L + δ T

Substituindo δ T = α T ' - T L , temos que:

L ' = L + α T ' - T L

Colocando L em evidência, isso fica assim:

L ' = L 1 + α T ' - T

Passo 2

Encontrada uma expressão para L ' em função de valores conhecidos:

L ' = L 1 + α T ' - T

Podemos substituir esses valores para encontrar L ' .

Substituindo:

  • α = 8 * 10 - 6   ° C - 1 ;
  • T ' = - 8 ° C ;
  • T = 27 ° C ;
  • E L = 1,8   m ;

Vamos ter que:

L ' = 1,8   m 1 + 8 * 10 - 6 1 ° C - 8 ° C - 27 ° C

Calculando tudo, encontramos a nossa resposta:

Resposta

L ' = 1,799496   m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 109-4.70.

A chave elétrica fecha quando as hastes de ligação C D e A B se aquecem, o que provoca a translação e a rotação do braço rígido B D E até fechar o contato em F . A posição original de B D E é vertical e a temperatura é 20 ° C . Se A B for feita de bronze C86100 e C D , de alumínio 6061-T6, determine o espaço s exigido entre os contatos para a chave fechar quando a temperatura alcançar 110 ° C .

Dados: α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C , α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C .

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Passo 1

O que está acontecendo?

As hastes A B e C D , ambas de comprimento inicial L = 300   m m , possuem uma temperatura inicial T = 20 ° C .

Ao serem submetidas a uma variação de temperatura Δ T , as barras sofrem uma variação de comprimento térmica que é dada pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Mas as hastes A B e C D possuem coeficientes de dilatação térmica α diferentes:

  • A haste A B é feita de um bronze para o qual α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C ;
  • E a haste C D é feita de um alumínio para o qual α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C ,

Por causa disso, cada haste vai sofrer uma dilatação térmica δ T diferente, o que vai fazer com que o braço rígido B D E ande para a frente e se incline:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a distância s entre os pontos E e F para que eles se encostem quando as hastes A B e C D forem aquecidas até uma temperatura final T ' = 110 ° C .

Para tanto, teremos que encontrar as dilatações térmicas δ T , A B e δ T , C D em cada haste.

Feito isso, desenharemos a configuração final da barra rígida B D E após a variação de temperatura Δ T nas hastes.

Com isso, vamos conseguir avaliar qual deve ser o valor da distância s para que a posição final do ponto E , o ponto E ' , coincida com o ponto F .

Passo 2

Então vamos começar o exercício calculando as dilatações térmicas δ T em cada haste.

Calculando a dilatação térmica da haste A B , que é de bronze, temos:

δ T , A B = α b r o n z e * Δ T * L

Substituindo:

  • α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C ;
  • Δ T = T ' - T = 110 ° C - 20 ° C = 90 ° C ;
  • E L = 300   m m ,

Vamos encontrar que:

δ T , A B = 0,459   m m

Já a dilatação térmica da haste C D , que é de alumínio, vai ser:

δ T , C D = α a l u m * Δ T * L

Substituindo nessa expressão:

  • α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C ;
  • Δ T = 90 ° C ;
  • E L = 300   m m ,

Encontramos que:

δ T , C D = 0,6 48   m m

Passo 3

O próximo passo é avaliar como vai ficar a barra rígida B D E depois que as hastes tiverem dilatado.

Então vamos pensar...

Sabemos que a barra vai se movimentar como imaginamos na figura do passo 1, já que a dilatação da barra C D é maior.

E o que é que queremos...

Queremos que a posição final do ponto E coincida com o ponto F para que a chave elétrica feche.

Então vamos ter que o deslocamento do ponto E da barra tem que ser igual à distância inicial s entre os pontos E e F :

Passo 4

Finalmente, podemos tentar encontrar o valor da distância s .

Para tanto, precisamos observar os triângulos formados pela barra B D E em sua posição final:

Fazendo uma semelhança de triângulos entre o triângulo menor e o triângulo maior, vamos ter que:

( δ T , C D - δ T , A B ) ( 400   m m ) = ( s - δ T , A B ) ( 600   m m )

Simplificando os termos que estão dividindo, isso fica assim:

( δ T , C D - δ T , A B ) 2 = ( s - δ T , A B ) 3

Isolando ( s - δ T , A B ) , temos:

s - δ T , A B = 3 2 ( δ T , C D - δ T , A B )

Em seguida, isolando a distância s , encontramos:

s = 3 2 δ T , C D - δ T , A B + δ T , A B

Finalmente, fazendo a distributiva e simplificando tudo, encontramos que:

s = 3 2 δ T , C D - 3 2 δ T , A B + δ T , A B

s = 3 2 δ T , C D - 1 2 δ T , A B

Com isso, só falta substituir os valores das dilatações térmicas δ T para encontrarmos o valor da distância s !

Substituindo δ T , C D = 0,6 48   m m e δ T , A B = 0,459   m m , vamos ter que:

s = 3 2 0,6 48   m m - 1 2 0,459   m m

O que dá a nossa resposta:

Resposta

s = 0,7 425   m m

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 109-4.73.

Uma placa de concreto de alta resistência utilizada em uma pista de rolamento tem 6   m de comprimento quando sua temperatura é 10 ° C . Se houver uma folga de 3   m m em um de seus lados antes de tocar seu apoio fixo, determine a temperatura exigida para fechar a folga. Qual é a tensão de compressão no concreto se a temperatura aumentar até 60 ° C ?

Dados: α c o n c = 11 * 10 - 6 / ° C , E c o n c = 29000   M P a .

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Passo 1

O que está acontecendo?

A placa de concreto:

  • Tem um comprimento inicial L = 6   m quando ela está submetida a uma temperatura inicial T = 10 ° C ;
  • E possui um coeficiente de dilatação térmica α c o n c = 11 * 10 - 6 / ° C e um módulo de elasticidade E = 29000   M P a .

Além disso, a placa tem uma folga s = 3   m m antes de encostar em seu apoio fixo em um dos seus lados:

Agora, se a temperatura dessa placa variar até uma temperatura final T ' , ela vai sofrer uma dilatação térmica δ T dada pela fórmula:

δ T = α c o n c * Δ T * L

Onde Δ T = T ' - T é a variação de temperatura na placa.

Se essa dilatação térmica δ T for maior que a folga s , a placa vai passar a ser restringida pelos apoios em suas extremidades, que vão realizar forças de reação R nela:

Esse carregamento gera na placa uma variação de comprimento δ .

Pelo princípio da superposição, a variação de comprimento total δ T O T A L na placa vai ser igual à soma da dilatação térmica δ T com essa variação de comprimento δ :

δ T O T A L = δ T + δ

Como ao fechar a folga s , a placa passa a ser impedida de continuar variando o seu comprimento, ainda vamos ter que:

δ T O T A L = s

E o que é que o exercício quer saber?

Primeiro, ele quer que a gente encontre a temperatura final T ( 1 ) ' exigida para que a dilatação térmica δ T = α c o n c * Δ T * L seja igual à folga s .

Em seguida, ele quer saber qual vai ser a tensão normal σ de compressão causada pelas reações R na placa quando a temperatura final for T ( 2 ) ' = 60 ° C .

Não conhecemos a área A da seção transversal da placa para podermos usar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Então vamos ter que usar a Lei de Hooke σ = E ε para calcular a tensão σ , usando que E = E c o n c e que ε = δ / L .

Passo 2

Então primeiro, vamos calcular qual é a temperatura final T ( 1 ) ' para que δ T seja igual a folga s .

Da fórmula para δ T , temos que:

δ T = α c o n c * Δ T * L

Agora vamos pensar...

Nessa expressão, podemos substituir Δ T por T ( 1 ) ' - T .

Além disso, queremos saber qual é o valor de T ( 1 ) ' para que δ T = s , então podemos substituir δ T por s .

Fazendo essas substituições, nossa expressão fica assim:

s = α c o n c T ( 1 ) ' - T L

Com isso, podemos isolar T 1 ' para encontrar que:

T 1 ' = s α c o n c L + T

Substituindo nessa expressão os valores:

  • s = 3   m m ;
  • α c o n c = 11 * 10 - 6 / ° C ;
  • L = 6   m = 6000   m m ;
  • & T = 10 ° C ,

E calculando tudo, encontramos o resultado para a primeira parte do exercício:

T 1 ' = 55,45 ° C

Passo 3

Na segunda parte, o exercício quer saber qual é a tensão σ na placa quando a temperatura final é T 2 ' = 60 ° C .

Como vimos no passo 1, vamos ter que usar a Lei de Hooke para calcular essa tensão σ :

σ = E ε

Como o módulo de elasticidade da placa é E c o n c , temos que E = E c o n c .

Além disso, a deformação ε é definida como ε = δ / L .

Substituindo esses valores, a Lei de Hooke fica assim:

σ = E c o n c δ L

Conhecemos os valores de E c o n c = 29000   M P a e de L = 6   m , mas precisamos descobrir o valor da variação de comprimento δ devido ao carregamento na peça.

Passo 4

Para descobrir o valor de δ , podemos recorrer à equação de compatibilidade que obtivemos através do princípio da superposição no Passo 1:

δ T O T A L = δ T + δ

Isolando δ , temos que:

δ = δ T O T A L - δ T

Aqui, sabemos que a variação de comprimento total δ T O T A L máxima que a placa pode sofrer é igual à folga s .

E sabemos que