Tensões Térmicas

Teoria Completa

Introdução

Se você já viu os trilhos de um de trem, você pode ter percebido como existem folgas entre eles:

O que acontece é que o tamanho dos trilhos varia de acordo com a temperatura:

  • Quando a temperatura aumenta, os trilhos se expandem;
  • E quando a temperatura diminui, os trilhos se contraem.

Esse efeito é o que a gente chama de dilatação térmica.

Daí que quando os trilhos não têm folgas grandes o suficiente, esse efeito faz os trilhos se encostarem em dias muitos quentes:

O problema disso é que qualquer aumento adicional de temperatura vai fazer com que os trilhos queiram crescer mais ainda.

Com isso, os trilhos começam a “lutar” por espaço e se comprimir, gerando nas peças uma tensão que chamamos de tensão térmica.

Então...

Como é que nós podemos calcular essas tensões?

E em que outras situações elas ocorrem?

Dilatação Térmica

Para responder essa pergunta, precisamos primeiro saber descrever a dilatação térmica que ocorre nos trilhos.

Para tanto, vamos ver cada trilho como uma barra de comprimento inicial L e temperatura inicial T :

Com a mudança da temperatura para uma temperatura final T ' , os trilhos sofrem uma variação de comprimento térmica δ T e adquirem um comprimento final L ' = L + δ T :

Fórmula da Dilatação Térmica

Daí que através de experimentos, foi descoberto que essa variação de comprimento δ T em uma peça por causa de uma variação de temperatura Δ T é dada pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Onde:

  • α é uma propriedade de cada material chamada de coeficiente de dilatação térmica;
  • E Δ T = T ' - T é a variação de temperatura sofrida pela peça.

Além disso, normalmente temos que:

  • A variação de temperatura Δ T é dada em ° C ;
  • O coeficiente α é dado em 1 / ° C ou ° C - 1 ;
  • E o comprimento L e a variação de comprimento δ T são dados em uma unidade de comprimento, como m ou m m .

Tensões Térmicas

Agora, se as barras dos nossos trilhos pudessem realmente expandir e contrair livremente como acabamos de ver, nunca seriam geradas nenhuma tensão nelas.

O problema é que os trilhos têm uma variação de comprimento máxima δ m á x que eles podem sofrer antes de se encostarem:

Esse limite δ m á x é na verdade a própria folga entre os trilhos.

Isso significa que se a dilatação térmica δ T sofrida por cada trilho for maior que a folga entre eles, os trilhos vão se encostar e vão passar a se comprimir com forças de reação R :

São essas forças – e não a dilatação δ T – que vão gerar na peça:

  • Uma força interna normal N = - R ;
  • E uma tensão normal média σ = N / A , que podemos chamar de tensão térmica.

Mas então...

Como é que a gente faz para calcular o valor dessas reações R ?

Cálculo das Reações

O primeiro passo sempre é aplicar as condições de equilíbrio na peça.

Mas como as condições de equilíbrio não vão ser suficientes para determinar as reações R , vamos ter um problema estaticamente indeterminado.

Então vamos precisar de uma equação de compatibilidade, que podemos obter usando o princípio da superposição.

Basicamente, consideramos que:

  • A peça vai sofrer uma dilatação térmica genérica δ T ;
  • E o carregamento na peça vai gerar nela uma variação de comprimento genérica δ .

Pelo princípio da superposição, a variação de comprimento total na peça vai ser a soma desses efeitos individuais:

δ T O T A L = δ T + δ

Então se a gente souber descrever:

  • A dilatação térmica δ T = α * Δ T * L ;
  • A variação de comprimento δ devido ao carregamento na peça, normalmente dada pela fórmula δ = N L / E A ;
  • E a variação de comprimento total δ T O T A L que a peça deve ter (que no nosso caso vai ser igual à folga entre os trilhos),

Podemos usar essa equação de compatibilidade δ T O T A L = δ T + δ para determinar as reações R na peça!

Duas observações finais

1. De uma forma geral, podemos afirmar que as tensões térmicas só aparecem em peças que forem estaticamente indeterminadas.

Então se você tem uma estrutura estaticamente DEterminada, a dilatação dessa estrutura (expansão ou contração) não vai afetar as tensões nela!

2. Algumas vezes, um exercício pode pedir que você calcule não a variação de comprimento térmica δ T , mas sim a deformação térmica ε T em uma peça.

Nesses casos, como deformação é definida como ε = δ / L , vamos ter que:

ε T = δ T L = ( α * Δ T * L ) L

O que significa que:

ε T = α * Δ T

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

A coluna de concreto abaixo tem, a uma temperatura de 27 ° C , um comprimento inicial L = 1,8   m . Determine o comprimento final dessa coluna quando a temperatura é abaixada para - 8 ° C .

Dados: α c o n c r e t o = 8 * 10 - 6   ° C - 1

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Passo 1

O que está acontecendo?

A coluna possui um comprimento inicial L = 1,8   m , uma temperatura inicial T = 27 ° C e um coeficiente de dilatação térmica α = 8 * 10 - 6   ° C - 1 .

Ao ter a sua temperatura abaixada até uma temperatura final T ' = - 8 ° C , a coluna sofre uma variação de comprimento térmica δ T que vai ser dada pela fórmula

δ T = α * Δ T * L

Onde Δ T = T ' - T é a variação de temperatura sofrida pela coluna, de tal forma que:

δ T = α T ' - T L

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o comprimento final L ' dessa coluna.

Como o comprimento final é o comprimento final mais a variação de comprimento, vamos ter que:

L ' = L + δ T

Substituindo δ T = α T ' - T L , temos que:

L ' = L + α T ' - T L

Colocando L em evidência, isso fica assim:

L ' = L 1 + α T ' - T

Passo 2

Encontrada uma expressão para L ' em função de valores conhecidos:

L ' = L 1 + α T ' - T

Podemos substituir esses valores para encontrar L ' .

Substituindo:

  • α = 8 * 10 - 6   ° C - 1 ;
  • T ' = - 8 ° C ;
  • T = 27 ° C ;
  • E L = 1,8   m ;

Vamos ter que:

L ' = 1,8   m 1 + 8 * 10 - 6 1 ° C - 8 ° C - 27 ° C

Calculando tudo, encontramos a nossa resposta:

Resposta

L ' = 1,799496   m

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 109-4.70.

A chave elétrica fecha quando as hastes de ligação C D e A B se aquecem, o que provoca a translação e a rotação do braço rígido B D E até fechar o contato em F . A posição original de B D E é vertical e a temperatura é 20 ° C . Se A B for feita de bronze C86100 e C D , de alumínio 6061-T6, determine o espaço s exigido entre os contatos para a chave fechar quando a temperatura alcançar 110 ° C .

Dados: α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C , α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C .

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Passo 1

O que está acontecendo?

As hastes A B e C D , ambas de comprimento inicial L = 300   m m , possuem uma temperatura inicial T = 20 ° C .

Ao serem submetidas a uma variação de temperatura Δ T , as barras sofrem uma variação de comprimento térmica que é dada pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Mas as hastes A B e C D possuem coeficientes de dilatação térmica α diferentes:

  • A haste A B é feita de um bronze para o qual α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C ;
  • E a haste C D é feita de um alumínio para o qual α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C ,

Por causa disso, cada haste vai sofrer uma dilatação térmica δ T diferente, o que vai fazer com que o braço rígido B D E ande para a frente e se incline:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a distância s entre os pontos E e F para que eles se encostem quando as hastes A B e C D forem aquecidas até uma temperatura final T ' = 110 ° C .

Para tanto, teremos que encontrar as dilatações térmicas δ T , A B e δ T , C D em cada haste.

Feito isso, desenharemos a configuração final da barra rígida B D E após a variação de temperatura Δ T nas hastes.

Com isso, vamos conseguir avaliar qual deve ser o valor da distância s para que a posição final do ponto E , o ponto E ' , coincida com o ponto F .

Passo 2

Então vamos começar o exercício calculando as dilatações térmicas δ T em cada haste.

Calculando a dilatação térmica da haste A B , que é de bronze, temos:

δ T , A B = α b r o n z e * Δ T * L

Substituindo:

  • α b r o n z e = 17 * 10 - 6 / ° C ;
  • Δ T = T ' - T = 110 ° C - 20 ° C = 90 ° C ;
  • E L = 300   m m ,

Vamos encontrar que:

δ T , A B = 0,459   m m

Já a dilatação térmica da haste C D , que é de alumínio, vai ser:

δ T , C D = α a l u m * Δ T * L

Substituindo nessa expressão:

  • α a l u m = 2 4 * 10 - 6 / ° C