Distribuição e Concentração de Tensões

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Teoria

Dica do Expert: Nessa teoria vamos aprender sobre o Princípio de Saint-Venant e sobre Concentradores de Tensões.

Em muitas universidades, esses assuntos só são vistos nas disciplinas # 2 ou # 3 da cadeia de resistência dos materiais.

Então se esses assuntos não fizerem parte do seu curso (ou do que vai cair na sua prova), sinta-se livre para pular esse tópico! 👍

Introdução

Vamos imaginar que a gente tem uma barra que está sob compressão por forças P concentradas:

Se a gente quiser calcular a tensão normal σ nessa barra, só precisamos:

  • Determinar a força interna normal N nela;
  • E, em seguida, aplicar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Fazendo isso, conseguimos definir a tensão normal σ em uma seção qualquer da barra:

Mas existe um problema nesse análise que a gente fez.

Ela assume uma distribuição uniforme da tensão σ . Sendo que, muitas vezes, a distribuição de tensões em uma peça não é uniforme.

Então...

Como é a distribuição real de tensões em uma peça?

E quando é que é seguro considerar uma distribuição uniforme e usar a fórmula σ = N / A ?

E como é que a gente faz quando não for seguro?

Distribuição de Tensões e o Princípio de Saint-Venant

Para começar a responder essas perguntas, vamos continuar usando o exemplo da barra:

Essas forças P atuam concentradas em um ponto da barra.

Então dá pra imaginar que, em uma seção bem próxima de uma dessas forças, ainda não “houve espaço” dentro da barra para que a força fosse espalhada.

Dessa forma, a tensão σ nessa seção vai ser concentrada em volta do ponto em que a força P foi aplicada:

A medida que a gente se distancia da força P , essa concentração vai diminuindo e a distribuição da tensão σ vai ficando cada vez mais uniforme:

Agora, com a exceção de algumas situações avançadas, a gente não precisa se preocupar com essa distribuição não-uniforme de σ .

Isso porque existe o Princípio de Saint-Venant.

De acordo com ele, desde que a gente esteja suficientemente longe do ponto em que a força P atua, podemos considerar que a distribuição de σ vai ser aproximadamente uniforme:

E assim, sendo a distribuição de σ aproximadamente uniforme, nós estamos livres para usar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Concentradores de Tensão

Uma situação em que pode não ser seguro simplesmente usar a fórmula da tensão normal média σ = N / A é quando existem concentradores de tensões.

Concentradores de tensões acontecem sempre que a área da seção transversal de uma peça mudar de repente.

Então se a gente tiver uma placa de espessura t e largura w com um furo de diâmetro d sendo tracionada...

Esse furo vai ser um concentrador de tensões, já que, por causa dele, a área A da seção transversal da placa vai mudar rapidamente de A = w * t para A = w - d * t :

Outro concentrador de tensões vai ser quando a gente tiver uma placa, de espessura t por exemplo, que muda de repende sua largura de uma largura maior w para uma menor h :

Nessas situações, muitas vezes é adicionado o adoçamento de raio r mostrado na figura para diminuir um pouco da concentração de tensões.

Tensões Máximas

Agora, o que faz um concentrador de tensões ser especial é o fato de que as tensões máximas que vão ocorrer nele não são simplesmente a maior tensão normal média na peça.

Para as nossas placas com furo e redução na largura, por exemplo, a maior tensão normal média σ m é d nessas peças vai ser:

σ m é d = N A m í n

Onde N é a força interna normal e A m í n é a menor área na peça, de tal forma que:

  • A m í n = w - d * t , para a placa com furo;
  • & A m í n = h * t , para a placa com redução na largura.

Mas aí foram descobertas regiões perto dos furos (e das reduções de largura) em que as tensões eram ainda maiores que a tensão σ m é d esperada:

Por causa desse efeito, a tensão máxima σ m á x nessas regiões (e na peça como um todo) é igual á tensão σ m é d vezes um coeficiente K :

σ m á x = K σ m é d

Coeficiente de Concentração de Tensão

Esse coefiente K é chamado de coeficiente de concentração de tensão.

Ele deve ser encontrado através do uso de gráficos como o do exemplo abaixo, feito para uma placa com furo:

Ao usar um gráfico desses, a primeira coisa a ser feita é observar as dimensões indicadas no desenhozinho da peça.

Identificando o valor dessas dimensões na sua peça, você consegue calcular a razão indicada no eixo horizontal.

Finalmente, inserindo o valor calculado para a razão no gráfico, você consegue usar a curva do gráfico para encontrar o coeficiente K correspondente.

Uma Observação Final

Dependendo do tipo de concentrador de tensões, o gráfico do coeficiente K pode pedir que você calcule duas razões:

  • Uma para definir a curva do gráfico que você vai usar;
  • E outra para usar como entrada no eixo horizontal.

Um exemplo disso é o gráfico para o coeficiente K em uma placa com redução de largura:

Nesse exemplo, você tem que:

  • Calcular a razão entre as larguras w / h para definir que curva você vai usar;
  • E, em seguida, calcular a razão r / h para encontrar o valor correspondente de K .

Distribuição de Tensões e o Princípio de Saint-Venant

Concentradores de Tensão

Tensões Máximas

Coeficiente de Concentração de Tensão

Uma Observação Final

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Sabendo que P = 44,5   k N , determine a tensão máxima quando a   r = 12,7   m m e b   r = 15,9   m m .

Observação: Use o gráfico abaixo para determinar o coeficiente de concentração de tensão K :

Passo 1

O que está acontecendo?

A peça tem dois segmentos, um de largura D = 127   m m e outro de largura d = 63,5   m m , sendo que existe um adoçamento de raio r entre esses dois segmentos.

Além disso, a peça tem uma espessura e = 19,1   m m e está submetida a uma tração P = 44,5   k N , que gera ao longo de toda a peça uma força interna normal N = 44,5   k N .

A maior tensão normal média σ m é d = N / A nessa peça vai ocorrer no segmento de largura d , já que ele vai possuir a menor área A de seção transversal.

Mas por causa do adoçamento de raio r , a tensão normal máxima σ m á x na peça vai ser igual à essa tensão média σ m á x vezes um coeficiente de concentração de tensões K :

σ m á x = K σ m é d

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente calcule essa tensão normal máxima σ m á x na peça considerando que r = 12,7   m m no item ( a ) e que r = 15,9   m m no item ( b ) .

Para calcular essa tensão, vamos ter que calcular σ m é d e usar o gráfico fornecido para determinar o valor do coeficiente K em cada caso.

Passo 2

Então vamos começar calculando o valor da tensão normal média σ m é d no segmento de largura d .

Aplicando a fórmula da tensão normal média, temos:

σ m é d = N A

Como esse segmento tem uma espessura e e uma largura d , a sua área de seção transversal A vai ser igual à e * d , então:

σ m é d = N e d

Substituindo os valores N = 44,5   k N , e = 19,1   m m e d = 63,5   m m , encontramos que:

σ m é d = 0,03669   k N / m m 2

Reescrevendo isso em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a , temos que:

σ m é d = 36,69   N / m m 2 = 36,69   M P a

Passo 3

Em seguida, vamos usar o gráfico fornecido para calcular o valor do coeficiente K nas situações em que ( a ) r = 12,7   m m e em que ( b ) r = 15,9   m m .

Primeiro, precisamos calcular a razão D / d para sabermos que curva do gráfico devemos usar.

Fazendo esse cálculo, encontramos que:

D d = ( 127   m m ) ( 63,5   m m ) = 2

O que significa que nós vamos usar a curva mais à direita do gráfico.

Em seguida, precisamos calcular a razão r / d em cada caso para podermos identificar no gráfico o valor correspondente de K .

Para o item ( a ) , temos que:

r d = ( 12,7   m m ) ( 63,5   m m ) = 0,20

Já para o item ( b ) , temos que:

r d = ( 15,9   m m ) ( 63,5   m m ) = 0,25

Inserindo esses valores no gráfico:

Encontramos que:

K ( a ) ≅ 1,95

&

K ( b ) ≅ 1,80

Passo 4

Encontrados os valores de σ m é d e dos coeficientes K , já podemos calcular as tensões máximas σ m á x em cada caso.

Para o item ( a ) , temos:

σ m á x = K a σ m é d

Substituindo os valores K a ≅ 1,95 e σ m é d = 36,69   M P a , encontramos que:

σ m á x ≅ 71,5   M P a

Já para o item ( b ) , temos que:

σ m á x = K b σ m é d

Substituindo K b ≅ 1,80 e σ m é d = 36,69   M P a , encontramos:

σ m á x = 66,0   M P a

E assim finalizamos o exercício!

Resposta

a   σ m á x ≅ 71,5   M P a

&

b   σ m á x = 66,0   M P a

Exercício Resolvido #2

O corpo de prova de alumínio mostrado está submetido a duas forças iguais axiais, opostas e centradas de intensidade P . ( a ) Sabendo que E = 70   G P a e σ a d m = 200   M P a , determine o máximo valor admissível de P e o correspondente alongamento total do corpo de prova. ( b ) Resolva a parte a , considerando que o corpo de prova foi substituído por uma barra de alumínio de mesmo comprimento e seção retangular uniforme de 60   ×   15   m m .

Observação: Use o gráfico abaixo para determinar o coeficiente de concentração de tensão K :

Passo 1

O que está acontecendo?

O corpo de prova é composto por três segmentos:

  • Dois segmentos iguais nas extremidades, cada um com um comprimento L 1 = 150   m m e uma área de seção transversal A 1 = 75   m m   ×   15   m m ;
  • E um segmento central de comprimento L 2 = 300   m m e área de seção transversal A 2 = 60   m m   ×   15   m m ;

Além disso as forças de tração P geram ao longo de todo o corpo de prova uma força interna normal N = P .

Essa força normal N gera nos diferentes segmentos do corpo tensões normais médias σ m é d e variações de comprimento δ :

σ m é d = N A

&

δ = N L E A

Agora, vai haver uma concentração de tensões nos adoçamentos de raio r = 6   m m entre as regiões de largura D = 75   m m e d = 60   m m do corpo.

Por causa dessa concentração de tensões, a tensão normal máxima no corpo σ m á x vai ser:

σ m á x = K σ m é d

Onde:

  • σ m é d deve ser calculada para a região com a menor área de seção transversal (a região central de área A 2 = 60   m m   ×   15   m m );
  • E K é um coeficiente que deve ser determinado usando o gráfico fornecido:

O corpo de prova é feito de um alumínio com módulo de elasticidade E = 70   G P a e tensão admissível σ a d m = 200   M P a .

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer que a gente determine o valor máximo admissível de P nesse corpo de prova e a variação de comprimento δ correspondente.

O valor máximo admissível de P é aquele em que a tensão máxima na peça ainda é menor ou igual à tensão admissível, ou seja:

σ m á x ≤ σ a d m

Já a variação de comprimento δ vai ser a soma das variações de comprimento δ 1 de cada um dos dois segmentos iguais com a variação de comprimento δ 2 do segmento central:

δ = 2 δ 1 + δ 2

Já no item ( b ) , ele quer saber mais uma vez o valor máximo admissível de P e a variação de comprimento δ correspondente.

Mas dessa vez supondo que o corpo é feito de um segmento só de comprimento L = 600   m m e área de seção transversal A = 60   m m   ×   15   m m .

Como não vai haver concentração de tensões, a tensão máxima na peça vai ser a própria tensão normal média, e a condição que vamos usar para encontrar P vai ser:

σ m é d ≤ σ a d m

Já a variação de comprimento δ vai ser encontrada usando a mesma fórmula de sempre:

δ = N L E A

Passo 2

Então primeiro, para encontrar a força P máxima admissível no corpo de prova original do item ( a ) , vamos aplicar a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Substituindo σ m á x = K σ m é d e σ m é d = N / A , temos que:

K N A ≤ σ a d m

Sabemos que a força interna normal N em toda a peça é igual à tração P .

E sabemos que σ m é d deve ser calculada para a região com a menor área de seção transversal (a região central de área A 2 = 60   m m   ×   15   m m ).

Tendo isso em mente, a nossa condição fica assim:

K P A 2 ≤ σ a d m

Queremos encontrar a força P máxima, então devemos isolá-la:

P ≤ σ a d m A 2 K

Agora, antes de prosseguirmos, precisamos determinar o valor do coeficiente K .

Passo 3

Para encontrar K , vamos olhar para o seu gráfico:

Vemos que precisamos definir a razão entre as larguras D / d e a razão entre o raio de adoçamento e a largura menor r / d .

Calculando essas razões, encontramos que:

D d = 75   m m 60   m m = 1,25

E que:

r d = 6   m m 60   m m = 0,10

Agora, quando vamos tentar escolher a curva do gráfico para D / d = 1,25 , vemos que essa curva não existe.

Então vamos ter que encontrar um valor aproximado para K : vamos fazer a média entre os valores encontrados usando as curvas mais próximas D / d = 1,2 e D / d = 1,3 .

Inserindo no gráfico a razão r / d = 0,10 , encontramos que para a curva D / d = 1,2 , K ≅ 1,9 , e que para a curva D / d = 1,3 , K ≅ 2,0 .

Assim, podemos aproximar que, para o nosso caso, o coeficiente de concentração de tensões K vai ser:

K ≅ 1,95

(Esse é o valor necessário para encontrar o gabarito do exercício, mas, se você tiver estimado outro valor próximo, a sua resposta também estará certa!)

Passo 4

Voltando para a expressão que tínhamos encontrado para a força P máxima no corpo de prova:

P ≤ σ a d m A 2 K

E substituindo:

  • σ a d m = 200   M P a = 200   N / m m 2 ;
  • A 2 = 60   m m   ×   15   m m ;
  • E K = 1,95 ,

Encontramos que:

P ≤ 92307   N = 92,3   k N

Ou seja, o valor máximo admissível da força P nesse corpo de prova é P = 92,3   k N .

Passo 5

Agora, podemos usar o valor encontrado para P para determinar a variação de comprimento δ correspondente no corpo de prova.

Primeiro, sabemos que δ vai ser a soma das variações de comprimento δ 1 de cada um dos dois segmentos iguais com a variação de comprimento δ 2 do segmento central:

δ = 2 δ 1 + δ 2

Esses segmentos têm a mesma força normal N e o mesmo módulo de elasticidade E , mas comprimentos L e áreas de seção transversal A diferentes.

Então aplicando a fórmula δ = N L / E A para esses segmentos, vamos ter:

δ = 2 N L 1 E A 1 + N L 2 E A 2

Colocando N / E em evidência, temos:

δ = N E 2 L 1 A 1 + L 2 A 2

E como a força normal N em toda a peça é igual à tração P , temos que:

δ = P E 2 L 1 A 1 + L 2 A 2

Substituindo nessa expressão os valores:

  • P = 92,3   k N ;
  • E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 ;
  • L 1 = 150   m m e A 1 = 75   m m   ×   15   m m ;
  • & L 2 = 300   m m e A 2 = 60   m m   ×   15   m m ,

Encontramos que:

δ = 0,791   m m

E assim terminamos o item ( a ) !

Passo 6

Em seguida, para encontrar a força P máxima admissível no corpo de prova modificado do item ( b ) , vamos aplicar a condição:

σ m é d ≤ σ a d m

Substituindo a fórmula da tensão normal média, temos:

N A ≤ σ a d m

Como a força normal N ao longo de todo o corpo de prova é igual à tração P , temos que:

P A ≤ σ a d m

Queremos encontrar a força P máxima, então devemos isolá-la:

P ≤ σ a d m A

Como o corpo de prova modificado do item ( b ) vai ter uma única área de seção transversal A = 60   m m   ×   15   m m , podemos substituir essa área aqui.

Fazendo essa substituição e substituindo também σ a d m = 200   M P a = 200   N / m m 2 , encontramos que:

P ≤ 180000   N = 180,0   k N

Ou seja, a força P máxima admissível no corpo de prova do item ( b ) é P = 180,0   k N .

Passo 7

Por fim, para encontrar a variação de comprimento δ correspondente no corpo de prova do item ( b ) , usando a fórmula:

δ = N L E A

Substituindo nela os valores:

  • N = P = 180,0   k N ;
  • L = 600   m m ;
  • E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 ;
  • & A = 60   m m   ×   15   m m ,

Encontramos que:

δ = 1,714   m m

E assim finalizamos o item ( b ) e o exercício como um todo!

Resposta

a   P ≅ 92,3   k N ; δ = 0,791   m m .

&

b   P = 180,0   k N ; δ = 1,714   m m .

Exercício Resolvido #3

Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra. A barra é feita de aço e tem tensão admissível σ a d m = 147   M P a .

Observação: Use os gráficos abaixo para determinar os coeficientes de concentração de tensão K :

Passo 1

O que está acontecendo?

A barra tem uma espessura e = 4   m m e está submetida a uma força axial de tração P , que gera ao longo dela uma força interna normal N = P .

A tensão normal nessa barra vai ser máxima em um dos dois concentradores de tensões existentes.

O primeiro concentrador de tensões é um furo de diâmetro d = 15   m m em uma região de largura w = 37,5   m m .

Originalmente, a área A da seção transversal dessa região era igual à largura w vezes a espessura e .

Mas por causa do furo de diâmetro d , a largura efetiva da seção transversal que passa bem no meio do furo vai ser igual à ( w - d ) .

Dessa forma, a área dessa seção vai ser:

A = w - d e

Com isso, a tensão normal média σ m é d = N / A nessa seção vai ser igual à:

σ m é d = N w - d e

Mas essa é só a tensão normal média.

Também por causa do furo, vai haver uma concentração de tensões de tal forma que a tensão normal máxima σ m á x nessa região vai ser:

σ m á x = K σ m é d

Onde K é um coeficiente que pode ser encontrado no gráfico abaixo inserindo o valor da razão r / w (onde r é o raio do furo, que igual à metade de seu diâmetro d ):

Já o segundo concentrador de tensões é o adoçamento de raio r = 5   m m entre uma região menor de largura h = 25   m m e uma região maior de largura w = 37,5   m m .

Na região desse concentrador de tensões, a maior tensão normal média σ m é d vai ser a que ocorre na região com a largura menor h = 25   m m .

Nessa região, vamos ter uma área A de seção transversal igual à largura h vezes a espessura e , de tal forma que:

σ m é d = N A = N h e

Mas mais uma vez, essa é só a tensão normal média. A tensão normal máxima σ m á x vai ser:

σ m á x = K σ m é d

Onde K é um coeficiente que deve ser encontrado inserindo as razões w / h e r / h no gráfico abaixo:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente descubra o valor máximo admissível da carga P tendo em mente que o material possui uma tensão admissível σ a d m = 147   M P a .

Para descobrir isso, vamos ter que aplicar, para cada um dos dois concentradores de tensões, a condição de projeto:

σ m á x ≤ σ a d m

Desenvolvendo essa condição de projeto, vamos poder encontrar a carga máxima P de acordo com cada concentrador de tensões.

O valor máximo admissível de P para a barra como um todo vai ser o menor dos valores máximos de P que forem encontrados para cada concentrador de tensão.

Passo 2

Então vamos começar estudando o primeiro concentrador de tensões: o furo.

Começamos aplicando a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Substituindo σ m á x = K σ m é d , temos:

K σ m é d ≤ σ a d m

E substituindo a fórmula da tensão normal média σ m é d = N / A , temos:

K N A ≤ σ a d m

Aqui, sabemos:

  • Que a força interna normal N em toda a barra é igual à carga axial P ;
  • E que, como vimos no Passo 1, a área A da seção transversal da região do furo é igual à w - d e .

Substituindo esses valores, temos que:

K P w - d e ≤ σ a d m

Queremos encontrar o valor máximo da carga P , então devemos isolá-la:

P ≤ σ a d m w - d e K

Nessa expressão, só não conhecemos o valor do coeficiente K .

Então vamos encontrá-lo!

Passo 3

Para encontrar o valor do coeficiente K para esse furo, vamos olhar para o seu gráfico:

Vemos que para encontrar K , precisamos conhecer o valor da razão r / w .

O nosso furo tem um diâmetro d = 15   m m , então ele tem um raio r = d / 2 = 7,5   m m .

Como a região do furo tem uma largura w = 37,5   m m , então a razão r / w vai ficar assim:

r w = ( 7,5   m m ) ( 37,5   m m ) = 0,2

Inserindo esse valor no gráfico:

Encontramos que o coeficiente de concentração de tensões K para esse furo é:

K = 2,45

Passo 4

Agora que sabemos o valor de K , podemos voltar para a expressão que tínhamos encontrado para a carga P :

P ≤ σ a d m w - d e K

Substituindo os valores:

  • σ a d m = 147   M P a = 14 7   N / m m 2 ;
  • w = 37,5   m m , d = 15   m m e e = 4   m m ;
  • & K = 2,45 ,
  • Encontramos que:

    P ≤ 5400   N

    Ou seja, de acordo com a concentração de tensões no furo, a carga P máxima admissível é:

    P m á x f u r o = 5400   N = 5,4   k N

    Passo 4

    Em seguida, vamos estudar o segundo concentrador de tensões: o adoçamento.

    Começamos aplicando a condição:

    σ m á x ≤ σ a d m

    Substituímos σ m á x = K σ m é d e σ m é d = N / A , encontrando que:

    K N A ≤ σ a d m

    Aqui, sabemos que a força interna normal N em toda a barra é igual à carga axial P .

    Além disso, queremos estudar o lado do adoçamento com a menor área A de seção transversal, que é a região com a largura menor h e com a área menor A = h e .

    Então temos que:

    K P h e ≤ σ a d m

    Queremos encontrar a carga P máxima, então devemos isolá-la:

    P ≤ σ a d m h e K

    Nessa expressão, só não conhecemos o valor de K , então vamos encontrá-lo!

    Passo 5

    Para encontrar o valor do coeficiente K para esse adoçamento, vamos olhar para o seu gráfico:

    Vemos que para encontrar K , precisamos conhecer o valor das razões w / h e r / h .

    Calculando essas razões, encontramos que:

    w h = 37,5   m m 25   m m = 1,5

    &

    r h = 5   m m 25   m m = 0,2

    Selecionando a curva para w / h = 1,5 e inserindo o valor da razão r / h = 0,2 no gráfico:

    Encontramos que:

    K = 1,75

    Passo 6

    Agora que conhecemos K , voltamos para a expressão encontrada para a carga P :

    P ≤ σ a d m h e K

    Substituindo os valores:

  • σ a d m = 147   M P a = 14 7   N / m m 2 ;
  • h = 25   m m e e = 4   m m ;
  • & K = 1,7 5 ,

Encontramos que:

P ≤ 8 400   N

Ou seja, de acordo com a concentração de tensões no adoçamento, a carga P máxima admissível é:

P m á x a d o ç a m . = 8 400   N = 8,4   k N

Vemos que a carga P máxima admissível para o furo P m á x f u r o = 5,4   k N é menor.

Então para garantir a segurança das regiões do furo e do adoçamento, P m á x f u r o = 5,4   k N deve ser a carga máxima admissível para toda a barra.

Ou seja, a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra é:

Resposta

P = 5,4   k N

Exercício Resolvido #4

Uma chapa furada foi submetida ao carregamento mostrado abaixo, sabendo que ocorrerá concentração de tensões, determine a tensão máxima normal ao qual essa chapa será submetida. Espessura da barra de 5mm. Explique o que ocorreria se a resistência a tensões normais dessa peça fosse de 1600Mpa.

Passo 1

Essa questão se trata de uma questão de concentração de tensão. O que temos que ter em mente é que essa questão se divide em duas fases de resolução.

A primeira se trata de determinarmos o valor da tensão média, como se trata de uma chapa furada devemos usar a seguinte fórmula para calcula-la.

σ m é d = P W - d t

Em que cada uma das letras está indicada na figura abaixo

A segunda parte da solução se concentra em determinar o valor de K, ou seja, do concentrador de tensões. Para determinar o valor de K também seguimos um passo a passo. Já sabemos que para furos temos apenas uma curva, precisamos então determinar o valor horizontal do nosso eixo. Para fazermos isso usamos a fórmula

d 2 W

Com o valor horizontal e com a curva determinamos facilmente o valor do K.

Por fim para encontrarmos o valor da tensão normal máxima quando tem concentração de tensão basta multiplicarmos a tensão média pelo concentrador de tensões.

Passo 2

Vamos então a primeira parte da solução, que é determinar o valor da tensão média, para isso devemos comparar a nossa peça com o nosso formato base

Então podemos definir que

W = 35 m m

d = 20 m m

t = 5 m m

P = 60 K N

Como a nossa fórmula é

σ m é d = P W - d t

Basta substituir os valores na nossa equação

σ m é d = 60 35 - 20 5 = 0,8 K N m m 2 = 800 N m m 2 = 800 M P a

Passo 3

Agora que já sabemos o valor da tensão média, devemos determinar o valor do nosso K, ou seja, do concentrador de tensão, para isso devemos primeiro determinar o valor horizontal, usando a nossa fórmula teremos que

d 2 W = 20 2   .   35   ≅ 0,3

Com o valor horizontal devemos analisar a nossa curva

Vamos marcar qual seria o nosso provável valor de K

Podemos então definir que

K = 2,45

Passo 4

Agora vamos para a ultima parte da questão, que devemos apenas multiplicar o valor da tensão média que calculamos pelo coeficiente de concentração de tensão que calculamos também, podemos então definir a nossa tensão normal máxima como

σ M Á X = K σ M É D

Substituindo teremos que

σ M Á X = 2,45   .   800 = 1960   M P a

Isso é de suma importância ser avaliado, pois veja que o valor da tensão normal máxima é maior que o dobro da tensão média, isso explica por exemplo, porque é perigoso fazer furos em vigas, a concentração de tensões pode acabar com a resistência dela.

Pense no seguinte, imagine que a resistência a tensão normal da nossa viga fosse de 1600 Mpa.

Quando calculamos a tensão média, vemos que é metade da tensão admissível. Agora se você fizer o furo como o da figura, verá que a tensão máxima é de 1960 Mpa, maior que a tensão admissível, logo, ocorre o rompimento da barra.

Resposta

σ M Á X = 1960   M P a

Analisando os esforços vemos que

σ M Á X = 1960 >   σ A D M = 1600

Logo, ocorre o rompimento.

Exercício Resolvido #5

Uma barra de aço sofre uma redução de seção como mostra a figura. Sabendo que essa barra possui as dimensões mostradas no desenho e que a tensão normal admissível é de σ a d m = 87   M P a , determine a carga máxima que podemos aplicar nesta peça sem que ela rompa.

Passo 1

Pra resolver esse exercício vamos dividir a solução em 3 partes. Primeiro temos que lembrar qual é a nossa fórmula de tensão normal média

σ m e d = N A

Em que

N = n o r m a l

A = á r e a   d a   m e n o r   s e ç ã o

Aqui vale lembrar que usamos os valores da menor seção pois é nela que ocorrerá a maior tensão normal média, sempre lembre disso, usar os dados da menor seção, só usamos os valores da maior seção para definirmos o valor do coeficiente de concentração.

A segunda parte da nossa solução se trata de acharmos o coeficiente de concentração de tensão e para fazermos isso precisaremos de 3 coisas.

Primeiro usar um gráfico para determinar o coeficiente de concentração de tensão

Segundo devemos determinar qual a melhor curva do nosso gráfico para resolver o problema, e para isso usamos a relação

W h

Em que no nosso caso se trata da relação entre as alturas da nossa peça como mostra a figura

E por fim a terceira parte se trata de encontrarmos o valor no eixo horizontal do nosso gráfico, que encontraremos pela relação

r h

Por fim a terceira parte da nossa solução será relacionar a tensão normal média com o coeficiente de concentração de tensão pela fórmula

σ m á x = K . σ m e d

Como queremos determinar o valor do carregamento máximo nessa parte final teremos que

σ m á x = σ a d m

Passo 2

Agora que já sabemos como calcular cada termo vamos a prática.

Como vimos a primeira parte da solução se trata de calcularmos a tensão Normal média pela fórmula

σ m e d = N A

Em que sabemos que

N = P

E também já sabemos que se queremos determinar a maior tensão devemos usar a menor área

Com isso teremos que

A = h   .   t = 33   .   14,7 = 485,1   c m 2 = 0,04851   m 2

Logo teremos

σ m e d = P 0,04851

Passo 3

Vamos agora determinar o coeficiente de concentração de tensão.

Sabemos que primeiro devemos usar um gráfico, que é esse aqui

Depois devemos determinar a melhor curva pela relação

W h = 40 33 = 1 , 2

Agora que já sabemos a melhor curva só falta determinar o valor horizontal, que determinamos pela fórmula

r h = 6,6 33 = 0,2

Agora vamos determinar o valor do K

K = 1 , 48

Passo 4

Agora basta relacionarmos a nossa tensão Normal média com o coeficiente de concentração de tensão pela fórmula

σ m á x = σ a d m = K . σ m e d

σ a d m = 1 , 48   . P 0,04851

Sabemos que

�� a d m = 8 7   M P a = 8 7 000 K N m 2

Substituindo na nossa fórmula teremos que

8 7000 = σ a d m = 1,48   . P 0,04851

8 7000 = 1,48   . P 0,04851

Com isso descobrimos que

P = 2851,6   K N

Resposta

P = 2851,6   K N

Exercício Resolvido #6

Em uma empresa de construção foi usado um guindaste que teve uma das peças utilizadas para levantar peso quebradas. Utilizaram a peça mostrada abaixo como peça de reposição sem levar em consideração a concentração de tensões que a variação de tensões poderia causar. Sabendo que antes de repor a peça o peso máximo levantado pelo guindaste era de 70 toneladas , determine a massa máxima que esse guindaste poderá levantar (em toneladas) com a nova peça. Usar de σ a d m = 78 0   K P a .

Passo 1

Pra resolver esse exercício vamos dividir a solução em 3 partes. Primeiro temos que lembrar qual é a nossa fórmula de tensão normal média

σ m e d = N A

Em que

N = n o r m a l

A = á r e a   d a   m e n o r   s e ç ã o

Aqui vale lembrar que usamos os valores da menor seção pois é nela que ocorrerá a maior tensão normal média, sempre lembre disso, usar os dados da menor seção, só usamos os valores da maior seção para definirmos o valor do coeficiente de concentração.

A segunda parte da nossa solução se trata de acharmos o coeficiente de concentração de tensão e para fazermos isso precisaremos de 3 coisas.

Primeiro usar um gráfico para determinar o coeficiente de concentração de tensão

Segundo devemos determinar qual a melhor curva do nosso gráfico para resolver o problema, e para isso usamos a relação

W h

Em que no nosso caso se trata da relação entre as alturas da nossa peça como mostra a figura

E por fim a terceira parte se trata de encontrarmos o valor no eixo horizontal do nosso gráfico, que encontraremos pela relação

r h

Por fim a terceira parte da nossa solução será relacionar a tensão normal média com o coeficiente de concentração de tensão pela fórmula

σ m á x = K . σ m e d

Como queremos determinar o valor do carregamento máximo nessa parte final teremos que

σ m á x = σ a d m

Passo 2

Agora que já sabemos como calcular cada termo vamos a prática.

Como vimos a primeira parte da solução se trata de calcularmos a tensão Normal média pela fórmula

σ m e d = N A

Em que sabemos que

N = P

E também já sabemos que se queremos determinar a maior tensão devemos usar a menor área

Com isso teremos que

A = h   .   t = 97   .   90 = 8730   c m 2 = 0,873   m 2

Logo teremos

σ m e d = P 0,873

Passo 3

Vamos agora determinar o coeficiente de concentração de tensão.

Sabemos que primeiro devemos usar um gráfico, que é esse aqui

Depois devemos determinar a melhor curva pela relação

W h = 145 97 ≈ 1 , 5

Agora que já sabemos a melhor curva só falta determinar o valor horizontal, que determinamos pela fórmula

r h = 4,85 97 = 0,05

Agora vamos determinar o valor do K

K = 2,63

Passo 4

Agora basta relacionarmos a nossa tensão Normal média com o coeficiente de concentração de tensão pela fórmula

σ m á x = σ a d m = K . σ m e d

σ a d m = 2,63   . P 0,873

Sabemos que

σ a d m = 780   K P a = 780 K N m 2

Substituindo na nossa fórmula teremos que

780 = σ a d m = 2,63   . P 0,873

780 = 2,63   . P 0,873

Com isso descobrimos que

P = 259   K N

Sabemos que

N = m . g = K g   . m s 2

Então teremos que, usando g = 9,81 m s 2

259 000 = m . 9,81

m = 26402   K g = 26 ,   4   t o n e l a d a s

Então o guindaste suportará menos peso do que antes devido a concentração de tensões.

Resposta

m = 26 ,   4   t o n e l a d a s

Exercício Resolvido #7

Determine a máxima carga que pode ser aplicada na peça abaixo que possui uma seção furada. Para isso use σ a d m = 25   M P a . Todas as dimensões são dadas na figura.

Passo 1

Pra resolver esse exercício vamos dividir a solução em 3 partes. Primeiro temos que lembrar qual é a nossa fórmula de tensão normal média, lembrando que para seções furadas no temos que

σ m e d = N A = P W - d t

Em que

N = n o r m a l

A = á r e a   d a   m e n o r   s e ç ã o

Em que cada uma das letras está indicada na figura abaixo

A segunda parte da solução se concentra em determinar o valor de K, ou seja, do concentrador de tensões. Para determinar o valor de K também seguimos um passo a passo. Já sabemos que para furos temos apenas uma curva, precisamos então determinar o valor horizontal do nosso eixo. Para fazermos isso usamos a fórmula

d 2 W

Com o valor horizontal e com a curva determinamos facilmente o valor do K.

Por fim para encontrarmos o valor da tensão normal máxima quando tem concentração de tensão basta multiplicarmos a tensão média pelo concentrador de tensões.

σ m á x = K . σ m e d

Vale lembrar também que como queremos determinar o valor do carregamento máximo nessa parte final teremos que

σ m á x = σ a d m

Passo 2

Agora que já sabemos como calcular cada termo vamos a prática.

Como vimos a primeira parte da solução se trata de calcularmos a tensão Normal média pela fórmula

σ m e d = P W - d t

Em que sabemos que

N = P

W = 80   c m = 0,80   m

d = 75   c m = 0 , 75   m

t = 20   c m = 0 , 20   m

Logo teremos

σ m e d = P W - d t

σ m e d = P 0,8 - 0,75 0,2 = P 0,01

Passo 3

Vamos agora determinar o coeficiente de concentração de tensão.

Sabemos que primeiro devemos usar um gráfico, que é esse aqui

Agora devemos primeiro determinar o valor horizontal, usando a nossa fórmula teremos que

d 2 W = 75 2   .   80   ≅ 0,5

Com o valor horizontal devemos analisar a nossa curva

Agora vamos determinar o valor do K

K = 2,30

Passo 4

Agora basta relacionarmos a nossa tensão Normal média com o coeficiente de concentração de tensão pela fórmula

σ m á x = σ a d m = K . σ m e d

σ a d m = 2,30   . P 0,01

Sabemos que

σ a d m = 25   M P a = 25 000 K N m 2

Substituindo na nossa fórmula teremos que

25 000 = σ a d m = 2,30   . P 0,01

25 000 = 2,30   . P 0,01

Com isso descobrimos que

P = 108,7     K N

Resposta

P = 108,7     K N

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