Distribuição e Concentração de Tensões

Teoria Completa

Dica do Expert: Nessa teoria vamos aprender sobre o Princípio de Saint-Venant e sobre Concentradores de Tensões.

Em muitas universidades, esses assuntos só são vistos nas disciplinas # 2 ou # 3 da cadeia de resistência dos materiais.

Então se esses assuntos não fizerem parte do seu curso (ou do que vai cair na sua prova), sinta-se livre para pular esse tópico! 👍

Introdução

Vamos imaginar que a gente tem uma barra que está sob compressão por forças P concentradas:

Se a gente quiser calcular a tensão normal σ nessa barra, só precisamos:

  • Determinar a força interna normal N nela;
  • E, em seguida, aplicar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Fazendo isso, conseguimos definir a tensão normal σ em uma seção qualquer da barra:

Mas existe um problema nesse análise que a gente fez.

Ela assume uma distribuição uniforme da tensão σ . Sendo que, muitas vezes, a distribuição de tensões em uma peça não é uniforme.

Então...

Como é a distribuição real de tensões em uma peça?

E quando é que é seguro considerar uma distribuição uniforme e usar a fórmula σ = N / A ?

E como é que a gente faz quando não for seguro?

Distribuição de Tensões e o Princípio de Saint-Venant

Para começar a responder essas perguntas, vamos continuar usando o exemplo da barra:

Essas forças P atuam concentradas em um ponto da barra.

Então dá pra imaginar que, em uma seção bem próxima de uma dessas forças, ainda não “houve espaço” dentro da barra para que a força fosse espalhada.

Dessa forma, a tensão σ nessa seção vai ser concentrada em volta do ponto em que a força P foi aplicada:

A medida que a gente se distancia da força P , essa concentração vai diminuindo e a distribuição da tensão σ vai ficando cada vez mais uniforme:

Agora, com a exceção de algumas situações avançadas, a gente não precisa se preocupar com essa distribuição não-uniforme de σ .

Isso porque existe o Princípio de Saint-Venant.

De acordo com ele, desde que a gente esteja suficientemente longe do ponto em que a força P atua, podemos considerar que a distribuição de σ vai ser aproximadamente uniforme:

E assim, sendo a distribuição de σ aproximadamente uniforme, nós estamos livres para usar a fórmula da tensão normal média σ = N / A .

Concentradores de Tensão

Uma situação em que pode não ser seguro simplesmente usar a fórmula da tensão normal média σ = N / A é quando existem concentradores de tensões.

Concentradores de tensões acontecem sempre que a área da seção transversal de uma peça mudar de repente.

Então se a gente tiver uma placa de espessura t e largura w com um furo de diâmetro d sendo tracionada...

Esse furo vai ser um concentrador de tensões, já que, por causa dele, a área A da seção transversal da placa vai mudar rapidamente de A = w * t para A = w - d * t :

Outro concentrador de tensões vai ser quando a gente tiver uma placa, de espessura t por exemplo, que muda de repende sua largura de uma largura maior w para uma menor h :

Nessas situações, muitas vezes é adicionado o adoçamento de raio r mostrado na figura para diminuir um pouco da concentração de tensões.

Tensões Máximas

Agora, o que faz um concentrador de tensões ser especial é o fato de que as tensões máximas que vão ocorrer nele não são simplesmente a maior tensão normal média na peça.

Para as nossas placas com furo e redução na largura, por exemplo, a maior tensão normal média σ m é d nessas peças vai ser:

σ m é d = N A m í n

Onde N é a força interna normal e A m í n é a menor área na peça, de tal forma que:

  • A m í n = w - d * t , para a placa com furo;
  • & A m í n = h * t , para a placa com redução na largura.

Mas aí foram descobertas regiões perto dos furos (e das reduções de largura) em que as tensões eram ainda maiores que a tensão σ m é d esperada:

Por causa desse efeito, a tensão máxima σ m á x nessas regiões (e na peça como um todo) é igual á tensão σ m é d vezes um coeficiente K :

σ m á x = K σ m é d

Coeficiente de Concentração de Tensão

Esse coefiente K é chamado de coeficiente de concentração de tensão.

Ele deve ser encontrado através do uso de gráficos como o do exemplo abaixo, feito para uma placa com furo:

Ao usar um gráfico desses, a primeira coisa a ser feita é observar as dimensões indicadas no desenhozinho da peça.

Identificando o valor dessas dimensões na sua peça, você consegue calcular a razão indicada no eixo horizontal.

Finalmente, inserindo o valor calculado para a razão no gráfico, você consegue usar a curva do gráfico para encontrar o coeficiente K correspondente.

Uma Observação Final

Dependendo do tipo de concentrador de tensões, o gráfico do coeficiente K pode pedir que você calcule duas razões:

  • Uma para definir a curva do gráfico que você vai usar;
  • E outra para usar como entrada no eixo horizontal.

Um exemplo disso é o gráfico para o coeficiente K em uma placa com redução de largura:

Nesse exemplo, você tem que:

  • Calcular a razão entre as larguras w / h para definir que curva você vai usar;
  • E, em seguida, calcular a razão r / h para encontrar o valor correspondente de K .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 128-Fig. 2-64. & 136-2.93.

Sabendo que P = 44,5   k N , determine a tensão máxima quando a   r = 12,7   m m e b   r = 15,9   m m .

Observação: Use o gráfico abaixo para determinar o coeficiente de concentração de tensão K :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

A peça tem dois segmentos, um de largura D = 127   m m e outro de largura d = 63,5   m m , sendo que existe um adoçamento de raio r entre esses dois segmentos.

Além disso, a peça tem uma espessura e = 19,1   m m e está submetida a uma tração P = 44,5   k N , que gera ao longo de toda a peça uma força interna normal N = 44,5   k N .

A maior tensão normal média σ m é d = N / A nessa peça vai ocorrer no segmento de largura d , já que ele vai possuir a menor área A de seção transversal.

Mas por causa do adoçamento de raio r , a tensão normal máxima σ m á x na peça vai ser igual à essa tensão média σ m á x vezes um coeficiente de concentração de tensões K :

σ m á x = K σ m é d

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente calcule essa tensão normal máxima σ m á x na peça considerando que r = 12,7   m m no item ( a ) e que r = 15,9   m m no item ( b ) .

Para calcular essa tensão, vamos ter que calcular σ m é d e usar o gráfico fornecido para determinar o valor do coeficiente K em cada caso.

Passo 2

Então vamos começar calculando o valor da tensão normal média σ m é d no segmento de largura d .

Aplicando a fórmula da tensão normal média, temos:

σ m é d = N A

Como esse segmento tem uma espessura e e uma largura d , a sua área de seção transversal A vai ser igual à e * d , então:

σ m é d = N e d

Substituindo os valores N = 44,5   k N , e = 19,1   m m e d = 63,5   m m , encontramos que:

σ m é d = 0,03669   k N / m m 2

Reescrevendo isso em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a , temos que:

σ m é d = 36,69   N / m m 2 = 36,69   M P a

Passo 3

Em seguida, vamos usar o gráfico fornecido para calcular o valor do coeficiente K nas situações em que ( a ) r = 12,7   m m e em que ( b ) r = 15,9   m m .

Primeiro, precisamos calcular a razão D / d para sabermos que curva do gráfico devemos usar.

Fazendo esse cálculo, encontramos que:

D d = ( 127   m m ) ( 63,5   m m ) = 2

O que significa que nós vamos usar a curva mais à direita do gráfico.

Em seguida, precisamos calcular a razão r / d em cada caso para podermos identificar no gráfico o valor correspondente de K .

Para o item ( a ) , temos que:

r d = ( 12,7   m m ) ( 63,5   m m ) = 0,20

Já para o item ( b ) , temos que:

r d = ( 15,9   m m ) ( 63,5   m m ) = 0,25

Inserindo esses valores no gráfico:

Encontramos que:

K ( a ) ≅ 1,95

&

K ( b ) ≅ 1,80

Passo 4

Encontrados os valores de σ m é d e dos coeficientes K , já podemos calcular as tensões máximas σ m á x em cada caso.

Para o item ( a ) , temos:

σ m á x = K a σ m é d

Substituindo os valores K a ≅ 1,95 e σ m é d = 36,69   M P a , encontramos que:

σ m á x ≅ 71,5   M P a

Já para o item ( b ) , temos que:

σ m á x = K b σ m é d

Substituindo K b ≅ 1,80 e σ m é d = 36,69   M P a , encontramos:

σ m á x = 66,0   M P a

E assim finalizamos o exercício!

Resposta

a   σ m á x ≅ 71,5   M P a

&

b   σ m á x = 66,0   M P a

Exercício Resolvido #2

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 137-2.99.

O corpo de prova de alumínio mostrado está submetido a duas forças iguais axiais, opostas e centradas de intensidade P . ( a ) Sabendo que E = 70   G P a e σ a d m = 200   M P a , determine o máximo valor admissível de P e o correspondente alongamento total do corpo de prova. ( b ) Resolva a parte a , considerando que o corpo de prova foi substituído por uma barra de alumínio de mesmo comprimento e seção retangular uniforme de 60   ×   15   m m .

Observação: Use o gráfico abaixo para determinar o coeficiente de concentração de tensão K :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O corpo de prova é composto por três segmentos:

  • Dois segmentos iguais nas extremidades, cada um com um comprimento L 1 = 150   m m e uma área de seção transversal A 1 = 75   m m   ×   15   m m ;
  • E um segmento central de comprimento L 2 = 300   m m e área de seção transversal A 2 = 60   m m   ×   15   m m ;

Além disso as forças de tração P geram ao longo de todo o corpo de prova uma força interna normal N = P .

Essa força normal N gera nos diferentes segmentos do corpo tensões normais médias σ m é d e variações de comprimento δ :

σ m é d = N A

&

δ = N L E A

Agora, vai haver uma concentração de tensões nos adoçamentos de raio r = 6   m m entre as regiões de largura D = 75   m m e d = 60   m m do corpo.

Por causa dessa concentração de tensões, a tensão normal máxima no corpo σ m á x vai ser:

σ m á x = K σ m é d

Onde:

  • σ m é d deve ser calculada para a região com a menor área de seção transversal (a região central de área A 2 = 60   m m   ×   15   m m );
  • E K é um coeficiente que deve ser determinado usando o gráfico fornecido:

O corpo de prova é feito de um alumínio com módulo de elasticidade E = 70   G P a e tensão admissível σ a d m = 200   M P a .

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer que a gente determine o valor máximo admissível de P nesse corpo de prova e a variação de comprimento δ correspondente.

O valor máximo admissível de P é aquele em que a tensão máxima na peça ainda é menor ou igual à tensão admissível, ou seja:

σ m á x ≤ σ a d m

Já a variação de comprimento δ vai ser a soma das variações de comprimento δ 1 de cada um dos dois segmentos iguais com a variação de comprimento δ 2 do segmento central:

δ = 2 δ 1 + δ 2

Já no item ( b ) , ele quer saber mais uma vez o valor máximo admissível de P e a variação de comprimento δ correspondente.

Mas dessa vez supondo que o corpo é feito de um segmento só de comprimento L = 600   m m e área de seção transversal A = 60   m m   ×   15   m m .

Como não vai haver concentração de tensões, a tensão máxima na peça vai ser a própria tensão normal média, e a condição que vamos usar para encontrar P vai ser:

σ m é d ≤ σ a d m

Já a variação de comprimento δ vai ser encontrada usando a mesma fórmula de sempre:

δ = N L E A

Passo 2

Então primeiro, para encontrar a força P máxima admissível no corpo de prova original do item ( a ) , vamos aplicar a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Substituindo σ m á x = K σ m é d e σ m é d = N / A , temos que:

K N A ≤ σ a d m

Sabemos que a força interna normal N em toda a peça é igual à tração P .

E sabemos que σ m é d deve ser calculada para a região com a menor área de seção transversal (a região central de área A 2 = 60   m m   ×   15   m m ).

Tendo isso em mente, a nossa condição fica assim:

K P A 2 ≤ σ a d m

Queremos encontrar a força P máxima, então devemos isolá-la:

P ≤ σ a d m A 2 K

Agora, antes de prosseguirmos, precisamos determinar o valor do coeficiente K .

Passo 3

Para encontrar K , vamos olhar para o seu gráfico:

Vemos que precisamos definir a razão entre as larguras D / d e a razão entre o raio de adoçamento e a largura menor r / d .

Calculando essas razões, encontramos que:

D d = 75   m m 60   m m = 1,25

E que:

r d = 6   m m 60   m m = 0,10

Agora, quando vamos tentar escolher a curva do gráfico para D / d = 1,25 , vemos que essa curva não existe.

Então vamos ter que encontrar um valor aproximado para K : vamos fazer a média entre os valores encontrados usando as curvas mais próximas D / d = 1,2 e D / d = 1,3 .

Inserindo no gráfico a razão r / d = 0,10 , encontramos que para a curva D / d = 1,2 , K ≅ 1,9 , e que para a curva D / d = 1,3 , K ≅ 2,0 .

Assim, podemos aproximar que, para o nosso caso, o coeficiente de concentração de tensões K vai ser:

K ≅ 1,95

(Esse é o valor necessário para encontrar o gabarito do exercício, mas, se você tiver estimado outro valor próximo, a sua resposta também estará certa!)

Passo 4

Voltando para a expressão que tínhamos encontrado para a força P máxima no corpo de prova:

P ≤ σ a d m A 2 K

E substituindo:

  • σ a d m = 200   M P a = 200   N / m m 2 ;
  • A 2 = 60   m m   ×   15   m m ;
  • E K = 1,95 ,

Encontramos que:

P ≤ 92307   N = 92,3   k N

Ou seja, o valor máximo admissível da força P nesse corpo de prova é P = 92,3   k N .

Passo 5

Agora, podemos usar o valor encontrado para P para determinar a variação de comprimento δ correspondente no corpo de prova.

Primeiro, sabemos que δ vai ser a soma das variações de comprimento δ 1 de cada um dos dois segmentos iguais com a variação de comprimento δ 2 do segmento central:

δ = 2 δ 1 + δ 2

Esses segmentos têm a mesma força normal N e o mesmo módulo de elasticidade E , mas comprimentos L e áreas de seção transversal A diferentes.

Então aplicando a fórmula δ = N L / E A para esses segmentos, vamos ter:

δ = 2 N L 1 E A 1 + N L 2 E A 2

Colocando N / E em evidência, temos:

δ = N E 2 L 1 A 1 + L 2 A 2