Impulso e Quantidade de Movimento Linear

Teoria Completa

Introdução

Pense num caminhão se deslocando a uma velocidade v ...

E agora pense numa bola se deslocando com essa mesma velocidade v :

Se esses dois objetos te atingirem, qual deles vai causar o maior estrago?

O caminhão, não é mesmo? Sendo assim, percebemos que deve existir algo que diferencie o movimento dos dois, embora ambos se desloquem com a mesma velocidade. E o qual é a maior diferença entre um caminhão e uma bola? É justamente a massa!!!

Neste capítulo vamos estudar uma grandeza chamada Quantidade de Movimento e ela vai nos ajudar a analisar o que acontece quando objetos sofrem colisões.

Quantidade de movimento

A quantidade de movimento G → é uma característica que um objeto tem relacionando a sua massa m com a sua velocidade v → . E como fazemos para calcular? É só multiplicar a massa m do corpo pela sua velocidade   v → :

G → = m v →

Repare que a quantidade de movimento é um vetor que vai sempre ter a mesma direção e sentido do vetor velocidade. Então, se tenho uma bolinha com uma velocidade v → :

Como ficaria o vetor quantidade de movimento?

A quantidade de movimento também pode ser chamada de momento linear e sua unidade é k g . m / s .

Impulso

Quando seu carro enguiça, por exemplo, e é preciso empurrá-lo até que ele entre em movimento, você precisa dar aquele impulso, né? Então, o que é esse impulso? O impulso I nada mais é que aplicar uma força em um corpo por um certo intervalo de tempo.

Mas como faço para calcular o impulso? É só multiplicar a força F → pelo intervalo de tempo da sua aplicação:

I → = F → ∆ t

Note que o impulso também é um vetor que sempre tem a mesma direção e sentido da força   F → . Vamos imaginar uma bolinha sob a ação de uma força F → em um intervalo de tempo ∆ t :

Como ficaria o nosso vetor impulso para este caso?

Mas e se a força não for constante ao longo do tempo? Neste caso, temos que integrar:

I → = ∫ F → d t

Outra forma de calcular o impulso quando a força for variável é pela área do gráfico de força por tempo ( F   x   T ):

Teorema Impulso-Quantidade de movimento

Esse teorema diz que o impulso produzido pela resultante de forças que atuam em um corpo é igual a variação da quantidade de movimento. Matematicamente temos:

I → = ∆ G →

Se abrirmos as fórmulas do impulso e da quantidade de movimento ficaria assim:

F → ∆ t = m ( v → f - v → i )

Tanto o impulso quanto a quantidade de movimento são vetores, então podemos abrir essa expressão e fazer as contas usando as componentes de cada eixo, caso você não queira trabalhar com vetores:

Voltando ao exemplo inicial... Quando o nosso caminhão bater em um objeto, a sua velocidade diminuirá e, consequentemente, a sua quantidade de movimento também. Assim, a quantidade de movimento final será menor que a inicial, logo vamos ter uma variação não nula na quantidade de movimento.

Se soubermos o tempo de duração do impacto, poderemos saber quanto vale a força que o caminhão aplicou no objeto:

F → = ∆ G → ∆ t

Mais um motivo para você perceber que se um caminhão te atingir é um pouco mais perigoso que uma bola!

Conservação da Quantidade de Movimento

Quando dois corpos colidem, dizemos que há conservação da quantidade de movimento. Por quê? Porque as colisões ocorrem muito rapidamente, então podemos desprezar qualquer ação de forças que poderiam causar impulsos. Assim:

G → i = G → f

Embora a conservação da quantidade de movimento ocorra, não necessariamente isso é verdade em relação à energia cinética E . Então, temos os seguintes casos:

Se ∆ E = 0 →   colisão elástica

Se ∆ E ≠ 0   →   colisão inelástica.

Diagrama de Impulso – Quantidade de Movimento

Neste diagrama vamos fazer três desenhos e ele vai ser muito útil para nos ajudar a não esquecer nenhuma força. Vamos ver o passo a passo para a sua construção.

Imagine um corpo onde esteja atuando uma força F → em um intervalo de tempo ∆ t e com uma velocidade v → :

  1. Primeiro Desenho: vamos olhar só para as forças que atuam no corpo. Temos que isolar o elemento principal e colocar só o vetor impulso na mesma direção e sentido do vetor força:
  2. Segundo Desenho: neste desenho vamos olhar só o vetor velocidade. Temos que isolar o corpo e colocar só o vetor quantidade de movimento na mesma direção e sentido do vetor velocidade:
  3. Terceiro Desenho: vamos olhar para a situação final. Vamos supor que a bolinha bateu em algum lugar e está com um movimento na direção contrária:

Neste caso, temos que fazer um diagrama semelhante ao primeiro, ou seja, vamos olhar só o novo sentido da velocidade e vamos calcular um novo vetor quantidade de movimento:

Agora, vamos ter:

E é isso. Partiu exercícios?

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

Uma bala de 60   g é disparada horizontalmente com uma velocidade v 1 = 600   m / s contra o bloco de 3   k g de madeira macia inicialemnte em repouso sobre a superfície horizontal. A bala emerge do bloco com a velocidade v 2 = 400   m / s , e se observa que o bloco desliza uma distância de 2,70   m antes de parar. Determine o coeficiente de atrito dinâmico μ k entre o bloco e a superfície.

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Passo 1

O momento se conserva? Sim:

G i = G f

O momento inicial é dado por:

G i = m v i = 0,060 . 600

E o momento final? No fim, o bloco de 3 k g tem uma certa velocidade, assim como a bala:

G f = 3 v + 0,060 400

Assim:

0,060 . 600 = 3 v + 0,060 400 → v = 4 m / s

Passo 2

Bom, descobrimos que após o impacto da bala o bloco tem uma velocidade de 4 m / s .

No entanto, depois de um tempo, o bloco para. Vamos usar o teorema trabalho-energia pra calcular o coeficiente de atrito μ k :

U = ∆ T

Assim:

U = - N μ k d

Onde d = 2,70 m . E a normal? A normal é igual ao peso para que seja assegurado o equilíbrio vertical:

P = N = m g

Assim:

U = - m g μ k d

Passo 3

E a variação da energia cinética? Ela é dada por:

∆ T = m 2 0 - v i 2 = - m v i 2 2

Igualando:

U = ∆ T

- m g μ k d = - m v i 2 2

g μ k d = v i 2 2 → μ k = v i 2 2 g d = 4 2 2 . 9,81 . 2,7 = 0,302

μ k = 0,302

Resposta

μ k = 0,302

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

A partícula de 2,4   k g se desloca no plano horizontal xy e tem a velocidade mostrada no instante de tempo t = 0 . Se a força F = 2 + 3 t 2 / 4 newtons, onde t é o tempo em segundos, é aplicada à partícula na direção y iniciando no instante de tempo t = 0 , determine a velocidade v da partícula 4 segundos após F ser aplicada e especifique o ângulo correspondente θ medido no sentido anti-horário a partir do eixo x até a direção da velocidade.

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Passo 1

Vamos primeiro calcular as componentes x e y da velocidade inicial:

v → = v x → + v y →

Perceba que o cosseno e o seno do triângulo retângulo mostrado valem:

c o s θ = 4 3 2 + 4 2 = 4 5

s e n θ = 3 5

Assim:

v x = 5 . c o s θ = 5 . 4 5 = 4   m / s

v y = 5 . 3 5 = 3   m / s

Assim:

v → = 4 i ^ - 3 j ^

Passo 2

Perceba que a força atua apenas na direção y . Sendo assim, apenas haverá uma mudança na componente vertical da velocidade:

I = ∫ F d t

I = ∫ 2 + 3 4 t 2 d t = 2 t + 1 4 t 3 0 4 = 24 N . s

Assim:

I = ∆ G y

I = 2,4 v y f - v y i

24 = 2,4 v y f - - 3 → 10 = v y f + 3 → v y f = 7 m / s

Passo 3

Assim, a velocidade final da partícula será:

v → = 4 i ^ + 7 j ^

E o ângulo será:

θ = a r c t g 7 4 = 60,3 °