Impulso e Quantidade de Movimento

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Teoria

Fala aí! Seja muito bem vindo ao RespondeAí! Hoje a gente vai aprender sobre Impulso e quantidade de movimento!

Então, pra a gente começar, eu quero que você imagine um caminhão e uma bola, ambos, se deslocando a uma velocidade ...

Representação do caminhão e da bola
Representação do caminhão e da bola

Se esses dois objetos te atingirem, qual deles vai causar o maior estrago?
O caminhão, não é mesmo? Sendo assim, percebemos que deve existir algo que diferencie o movimento dos dois, embora ambos se desloquem com a mesma velocidade. E o qual é a maior diferença entre um caminhão e uma bola? É justamente a massa!!!

Hoje a gente vai entender melhor fisicamente essa situação!

Para isso, confira esse resumo em vídeo que o RespondeAí preparou especialmente pra você!

Ou se você preferir, também temos resuminho em texto! 👇

Impulso

Quando seu carro enguiça, por exemplo, e é preciso empurrá-lo até que ele entre em movimento, você precisa dar aquele impulso, né? Então, o que é esse impulso? O impulso, , nada mais é que uma força aplicada em um corpo por um certo intervalo de tempo.

Exemplo de impulso: homem empurrando o carro
Exemplo de impulso: homem empurrando o carro

Mas como se calcula o impulso?

É só multiplicar a força  pelo intervalo de tempo da sua aplicação:

Note que o impulso é um vetor que sempre tem a mesma direção e sentido da força .

Impulso.
Impulso.

Mas e se a força não for constante ao longo do tempo? Neste caso, temos que integrar:

Outra forma de calcular o impulso quando a força for variável é pela área do gráfico de força por tempo :

Gráfico Força x tempo
Gráfico Força x tempo

Quantidade de Movimento

A quantidade de movimento é uma característica que um objeto tem relacionando a sua massa com a sua velocidade

E como fazemos para calcular a quantidade de movimento!?

É só multiplicar a massa do corpo pela sua velocidade

Repare que a quantidade de movimento é um vetor que vai sempre ter a mesma direção e sentido do vetor velocidade.

Quantidade de movimento
Quantidade de movimento

A quantidade de movimento também pode ser chamada de momento linear e sua unidade no SI é .

Teorema Impulso-Quantidade de Movimento

Agora podemos entender qual é a relação entre impulso e quantidade de movimento!

De acordo com o teorema impulso-quantidade de movimento o impulso exercido por um corpo é igual a sua variação de quantidade de movimento. Matematicamente temos:

Se abrirmos as fórmulas do impulso e da quantidade de movimento ficaria assim:

Tanto o impulso quanto a quantidade de movimento são vetores, então podemos abrir essa expressão e fazer as contas usando as componentes de cada eixo, caso você não queira trabalhar com vetores:

Componentes dos vetores impulso e quantidade de movimento.
Componentes dos vetores impulso e quantidade de movimento.

Voltando ao exemplo inicial... Quando o nosso caminhão bater em um objeto, a sua velocidade diminuirá e, consequentemente, a sua quantidade de movimento também! Assim, a quantidade de movimento final será menor que a inicial, logo vamos ter uma variação não nula na quantidade de movimento.
Se soubermos o tempo de duração do impacto, poderemos saber quanto vale a força que o caminhão aplicou no objeto:

Mais um motivo para você perceber que se um caminhão te atingir é um pouco mais perigoso que uma bola!

Conservação de Quantidade de Movimento

Quando dois corpos colidem, dizemos que há conservação da quantidade de movimento. Por quê? Porque as colisões ocorrem muito rapidamente, então podemos desprezar qualquer ação de forças que poderiam causar impulsos.

Carros batendo, conservação de quantidade de movimento.
Carros batendo, conservação de quantidade de movimento.

Dessa forma temos a seguinte igualdade:

Embora a conservação da quantidade de movimento ocorra, não necessariamente isso é verdade em relação à energia cinética E. Então, temos os seguintes casos:

  • Se colisão elástica
  • Se colisão inelástica.

Diagrama de Impulso – Quantidade de Movimento

Neste diagrama vamos fazer três desenhos e ele vai ser muito útil para nos ajudar a não esquecer nenhuma força. Vamos ver o passo a passo para a sua construção.
Pra começar, imagine um corpo onde esteja atuando uma força em um intervalo de tempo e com uma velocidade :

Força aplicada sob objeto.
Força aplicada sob objeto.
  • E finalmente vamos olhar para a situação final. Vamos supor que a bolinha bateu em algum lugar e está com um movimento na direção contrária. Neste caso, temos que fazer um diagrama semelhante ao primeiro, ou seja, vamos olhar só o novo sentido da velocidade e vamos calcular um novo vetor quantidade de movimento:
Vetores velocidade e quantidade de movimento.
Vetores velocidade e quantidade de movimento.

Agora, vamos ter:

Agora bora pros exercícios?!

Quantidade de Movimento

Teorema Impulso-Quantidade de Movimento

Conservação de Quantidade de Movimento

Diagrama de Impulso – Quantidade de Movimento

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma bala de 60   g é disparada horizontalmente com uma velocidade v 1 = 600   m / s contra o bloco de 3   k g de madeira macia inicialemnte em repouso sobre a superfície horizontal. A bala emerge do bloco com a velocidade v 2 = 400   m / s , e se observa que o bloco desliza uma distância de 2,70   m antes de parar. Determine o coeficiente de atrito dinâmico μ k entre o bloco e a superfície.

Passo 1

O momento se conserva? Sim:

G i = G f

O momento inicial é dado por:

G i = m v i = 0,060 . 600

E o momento final? No fim, o bloco de 3 k g tem uma certa velocidade, assim como a bala:

G f = 3 v + 0,060 400

Assim:

0,060 . 600 = 3 v + 0,060 400 → v = 4 m / s

Passo 2

Bom, descobrimos que após o impacto da bala o bloco tem uma velocidade de 4 m / s .

No entanto, depois de um tempo, o bloco para. Vamos usar o teorema trabalho-energia pra calcular o coeficiente de atrito μ k :

U = ∆ T

Assim:

U = - N μ k d

Onde d = 2,70 m . E a normal? A normal é igual ao peso para que seja assegurado o equilíbrio vertical:

P = N = m g

Assim:

U = - m g μ k d

Passo 3

E a variação da energia cinética? Ela é dada por:

∆ T = m 2 0 - v i 2 = - m v i 2 2

Igualando:

U = ∆ T

- m g μ k d = - m v i 2 2

g μ k d = v i 2 2 → μ k = v i 2 2 g d = 4 2 2 . 9,81 . 2,7 = 0,302

μ k = 0,302

Resposta

μ k = 0,302

Exercício Resolvido #2

A partícula de 2,4   k g se desloca no plano horizontal xy e tem a velocidade mostrada no instante de tempo t = 0 . Se a força F = 2 + 3 t 2 / 4 newtons, onde t é o tempo em segundos, é aplicada à partícula na direção y iniciando no instante de tempo t = 0 , determine a velocidade v da partícula 4 segundos após F ser aplicada e especifique o ângulo correspondente θ medido no sentido anti-horário a partir do eixo x até a direção da velocidade.

Passo 1

Vamos primeiro calcular as componentes x e y da velocidade inicial:

v → = v x → + v y →

Perceba que o cosseno e o seno do triângulo retângulo mostrado valem:

c o s θ = 4 3 2 + 4 2 = 4 5

s e n θ = 3 5

Assim:

v x = 5 . c o s θ = 5 . 4 5 = 4   m / s

v y = 5 . 3 5 = 3   m / s

Assim:

v → = 4 i ^ - 3 j ^

Passo 2

Perceba que a força atua apenas na direção y . Sendo assim, apenas haverá uma mudança na componente vertical da velocidade:

I = ∫ F d t

I = ∫ 2 + 3 4 t 2 d t = 2 t + 1 4 t 3 0 4 = 24 N . s

Assim:

I = ∆ G y

I = 2,4 v y f - v y i

24 = 2,4 v y f - - 3 → 10 = v y f + 3 → v y f = 7 m / s

Passo 3

Assim, a velocidade final da partícula será:

v → = 4 i ^ + 7 j ^

E o ângulo será:

θ = a r c t g 7 4 = 60,3 °

Resposta

v → = 4 i ^ + 7 j ^

θ = 60,3 °

Exercício Resolvido #3

O módulo de aterrissagem lunar de 200   k g está descendo na superfície da Lua com uma velocidade de 6   m / s quando seu retromotor é acionado. Se o motor produz um empuxo T por 4   s que varia com o tempo como mostrado e em seguida desliga, calcule a velocidade do módulo de aterrissagem quando t = 5   s , supondo que ele ainda não aterrisou. A aceleração gravitacional na superfície da Lua é 1,62   m / s ² .

Passo 1

Temos duas forças atuando no sistema: A força peso e a força T . Assim, a variação de G será igual à soma dos impulsos:

I p e s o + I T = ∆ G

Passo 2

A força peso tem uma tendência em fazer a velocidade do corpo aumentar ou diminuir nesse problema?

Em aumentar. Assim, o impulso será positivo e dado por:

I p e s o = F p ∆ t = m g ∆ t = 200 1,62 5 = 1620   N . s

E o impulso da força T ? Bem, esse precisa ser negativo já que está freando o móvel. Quanto ele valerá? Nesse caso, teremos que usar:

∫ T d t = I T

Mas veja que a variação de T com o tempo é bem previsível. O impulso será a área sob o gráfico do enunciado, assim:

| I T | = 2.800 2 + 2.800 = 2400 N . s

Passo 3

Assim:

I = ∆ G = m ( v f - v i )

1620 - 2400 = 200 v f - 6

- 780 = 200 v f - 6 → v f = 2,10 m / s

Resposta

v f = 2,10 m / s

Exercício Resolvido #4

Um projétil de 75   g viajando a 600   m / s atinge e se incorpora ao bloco de 50   k g , que está inicialmente parado. Calcule a energia perdida durante o impacto. Expresse sua resposta como um valor absoluto | ∆ E | e como uma percentagem n da energia original do sistema E .

Passo 1

Vamos primeiro calcular a velocidade do conjunto formado após a colisão usando a conservação do momento:

G i = G f

Assim:

0,075 . 600 = v 0,075 + 50 → v = 0,899 m / s

Passo 2

Agora vamos calcular a energia cinética final e inicial:

T i = m v i 2 2 = 0,075 600 2 2 = 13500 J

E a energia final será:

T f = 50 + 0,075 . 0,899 2 2 = 20,2 J

Assim, a variação de energia será:

∆ T = 20,2 - 13500 = - 13480 J

Assim:

∆ T = 13480 J

Negativo pois a energia foi perdida.

E qual o percentual perdido? Basta dividir o módulo do valor anterior pela energia cinética inicial:

e % = ∆ T T i = 13480 13500 = 99,9 %

Resposta

∆ T = 13480 J

e % = 99,9 %

Exercício Resolvido #5

O motor de foguete de uma nave espacial com 30   t se deslocando a uma velocidade de 24.000   k m / h é acionado e produz um empuxo de 20   k N na direção de sua trajetória circular durante um período de 3   m i n . Determine a nova velocidade da nave espacial. A perda de massa devida ao combustível queimado é desprezivelmente pequena.

Passo 1

Vamos usar o teorema impulso quantidade de movimento:

∫ F d t = ∆ G

Nesse caso, a força é constante, então:

∫ F d t = F ∆ t

Passo 2

O impulso é dado por:

I = F ∆ t = 20000 . ( 3 ) . ( 60 )

E a variação da quantidade de movimento é dada por:

∆ G = m v f - v i = 30000 v f - 24000 3,6

E por que estamos dividindo v f - 24000 por 3,6 ? Porque estamos convertendo para m / s as velocidades pois, afinal de contas, o impulso está em unidades de S I .

Passo 3

Assim:

I = m v f - v i

Então:

20000 . 3 . 60 = 30000 v f - 24000 3,6

Resolvendo:

v f = 244 32 k m / h

Resposta

v f = 244 32 k m / h

Exercício Resolvido #6

O projétil de 140   g é disparado com uma velocidade de 600   m / s e carrega três anilhas, cada uma com uma massa de 100   g . Encontre a velocidade comum v do projétil e das anilhas. Determine também a perda | ∆ E | de energia durante a interação.

Passo 1

Pelo equilíbrio de momento:

G i = G f

0,140 600 = 0,140 + 3 × 0,100 v

v = 190,9 m / s

Passo 2

Então, a variação de energia cinética será dada por:

∆ E = 1 2 0,140 + 0,300 190,9 2 - 0,140 600 2 = 17,18 × 10 3 J

Resposta

∆ E = 17,18 × 10 3 J

Exercício Resolvido #7

O martelo com 450   k g de um bate-estaca cai 1,4   m a partir do repouso e atinge o topo de uma estaca de 240   k g enterrada 0,9   m no solo. Após o impacto observa-se o martelo se deslocar com a estaca sem ricochetear visivelmente. Determine a velocidade v da estaca e do martelo imediatamente após o impacto. Você pode justificar o uso do princípio da conservação da quantidade de moviemnto embora os pesos atuem durante o impacto?

Passo 1

A velocidade de impacto será dada por:

v 0 = 2 g h = 2 9,81 1,4 = 5,24 m / s

Passo 2

Assim, a massa final vai ser a soma de 450 + 240 :

∆ G = 0   → 450 5,24 + 0 = 450 + 240 v

v = 3,42 m / s

Resposta

v = 3,42 m / s

Exercícios de Livros Relacionados

Uma bola de 1   k g está viajando horizontalmente a 20   m /
O bloco de 10   k g está parado sobre a superfície horizontal qua
O tampão cilíndrico A de massa m A é liberado a partir do repouso em B
Uma nave espacial com uma massa de 260   k g está se deslocando c