Energia Potencial

Teoria Completa

Introdução

A maioria de nós já teve o desejo de atirar com arco e flecha, seja por influência de filmes ou jogos...

Mas você já parou para pensar como um arco e flecha funciona?

Para lançar a flecha, é preciso tirar o elástico da sua posição de equilíbrio e quanto mais você esticar o elástico mais longe sua flecha irá.

Isso porque ao esticar o elástico acumulamos uma energia que será convertida em movimento da flecha.

Neste tópico vamos estudar os tipos de energia associada aos movimentos dos corpos. Partiu?

Energia Potencial

Energia potencial nada mais é do que a capacidade que um corpo tem de realizar trabalho. Ela mede a quantidade de trabalho que uma força faz quando ela move um corpo da sua posição inicial até uma posição de referência.

Energia Potencial Gravitacional

Imagine um corpo que está a uma altura h com relação a uma referência:

Esse corpo vai ter uma energia associada referente a sua altura h com relação ao solo, a qual vamos chamar de energia potencial gravitacional V g :

V g = m g h

Essa energia corresponde a capacidade da força peso de realizar trabalho fazendo o corpo retornar à linha de referência, pois na linha de referência a energia é zero V g = 0 .

Então não esqueça que energia potencial gravitacional está associada a uma certa altura de um corpo com relação ao referencial.

Energia Potencial Elástica

Quando puxamos ou comprimimos uma mola, ela sofre uma deformação. A energia potencial elástica V e   é justamente a energia associada a essa deformação:

V e = k x 2 2

Energia potencial gravitacional generalizada

Para o caso em que as alturas são muito grandes ao ponto de serem comparáveis com o raio da Terra, não podemos usar a fórmula que vimos anteriormente. Nesses casos, devemos utilizar a seguinte fórmula:

V g = - m g R 2 r

Onde:

R : Raio da Terra.

g : Gravidade.

m : Massa do corpo.

r :   Distância do centro da terra até o centro do corpo (é a nossa nova “altura”).

Assim:

∆ V g = - m g R 2 1 r 2 - 1 r 1 = m g R 2 1 r 1 - 1 r 2

Função Potencial

Se um corpo está submetido tanto a força gravitacional quanto elástica, a energia potencial desse corpo vai ser a soma das energias potenciais gravitacional e elástica. Vamos chamar essa soma de função potencial V :

V = V g + V e

Equação Trabalho-Energia modificada

Agora vamos modificar a equação de trabalho-energia para acrescentar a contribuição da energia potencial:

U 1 - 2 = ∆ T + ∆ V

Onde,

∆ T : Variação da energia cinética

∆ V : Variação da energia potencial

Podemos escrever ∆ V assim:

∆ V = ∆ V g + ∆ V e

Ou seja, a soma da variação da energia potencial gravitacional com a variação da energia potencial elástica. Podemos escrever assim também:

U 1 - 2 = ∆ T + ∆ V g + ∆ V e

Mas quem será U 1 - 2 neste caso? Será a soma dos trabalhos das forças externas que são todas as forças que atuam em um corpo sem ser a força elástica nem a potencial. A atuação dessas últimas duas forças já está computada nas variações de energia potencial.

Então, por exemplo, se existir uma força de 5 N atuando no sistema, devemos calcular o trabalho dessa força e representá-lo como U 1 - 2 .

Mas você deve estar se perguntando quando que vai usar isso, né? Você usa quando não importar a trajetória que o corpo faz e sim o que acontece no início e no final.

Beleza! Vamos praticar fazendo os exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 132, 3/154

O sistema é liberado a partir do repouso com a mola inicialmente esticada em 75   m m   . Calcule a velocidade v do cilindro após este ter caído 12   m m . A mola tem uma rigidez de 1050   N / m . Despreze a massa da pequena polia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar:

T 1 + V 1 + U 1 - 2 ' = T 2 + V 2

Como estamos lidando apenas com forças elásticas e gravitacionais:

U 1 - 2 ' = 0

Assim:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

Passo 2

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

Assim:

m v 1 2 2 + 1 2 k x 1 2 = m v 2 2 2 + 1 2 k x 2 2 - m g h

Botamos um sinal de menos no último termo pois o enunciado disse que a massa “desceu”. Em outras palavras, a altura do ponto inicial é 0 e a altura do ponto final é negativa.

Pelo enunciado, v 1 = 0 . Assim:

1 2 k x 1 2 = m v 2 2 2 + 1 2 k x 2 2 - m g h

Temos:

x 2 = x 1 + 12.10 - 3

x 2 = 75.10 - 3 + 12.10 - 3 = 87.10 - 3 m

Passo 3

Assim:

1 2 1050 75.10 - 3 2 = 45 2 v 2 2 + 1 2 1050 87.10 - 3 2 - 45.9,8.12.10 - 3

Resolvendo:

v 2 = 0,435 m / s

Resposta

v 2 = 0,435 m / s

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 131, 3/147

A mola tem um comprimento não esticado de 0,4   m e uma rigidez de 200   N / m . O Cursos de 3   K g e a mola conectada são liberados a partir do repouso em A   e se deslocam no plano vertical. Calcule a velocidade v do cursos quando este atinge B na ausência de atrito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar, novamente:

T 1 + V 1 + U 1 - 2 ' = T 2 + V 2

Nesse caso, temos uma energia potencial e uma energia elástica. Assim;

V = V e + V g

Passo 2

Nesse problema, não existe a atuação de uma força externa, assim:

U 1 - 2 ' = 0

Podemos dizer, então:

T 1 + V g 1 + V e 1 = T 2 + V g 2 + V e 2  

Onde A ≡ 1   e   B ≡ 2 .

A equação que escrevemos também pode ser escrita por:

∆ T + ∆ V g + ∆ V e = 0

Passo 3

A velocidade inicial é nula. Assim:

∆ T = m 2 v 2 - 0 2 = m v 2 2 = 3 2 v 2

Considerando a altura inicial, altura em A , igual a zero, podemos dizer que a variação de energia potencial gravitacional é negativa:

∆ V g = - m g h = - 3 . 9,8 0,8 = - 23,5 J

Perceba que a altura é o raio do ¼ de circunferência.

E a variação de energia potencial elástica?

Vamos ver.

Passo 4

Como:

V e = k x 2 2

Onde x é o alongamento da mola, devemos calcular x 1   e   x 2 .

Para os dois casos, o comprimento não esticado da mola vale x 0 = 0,4 .

Em A :

x 1 = x A - x 0 = 0,8 - 0,4 = 0,4

E em B ?

Bom, em B você vai ter que calcular o comprimento de x B através do triângulo retângulo da figura. Assim:

x B = 0,8 2 + 0,6 2

Assim:

x 2 = 0,8 2 + 0,6 2 - 0,4

Então:

∆ V e = k 2 x 2 2 - x 1 2 = 200 2 0,8 2 + 0,6 2 - 0,4 2 - 0,4 2 = 20 J

Passo 5

Assim:

∆ T + ∆ V g + ∆ V e = 0

3 2 v 2 - 23,5 + 20 = 0

Resolvendo:

v = 1,537 m / s

Resposta

v = 1,537 m / s

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 132, 3/152

Um cursor com uma massa de 0,25   k g é liberado a partir do repouso em A e desliza para baixo e em torno do arame liso fixo. Determine a força N entre o arame e o cursor quando este passa o ponto B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O sistema pode ser presentado por:

Vamos usar a seguinte fórmula:

U 1 - 2 ' = ∆ T + ∆ V g

No caso desse problema:

U 1 - 2 ' = 0

Assim:

∆ T + ∆ V g = 0

Passo 2

Colocando a altura nula no centro do círculo, podemos dizer a variação da energia potencial gravitacional é dada por:

∆ V g = - m g ∆ h = - m g r c o s 45 ° - h = m g h - r 2 2

Passo 3

A variação da energia cinética é dada por:

∆ T = m 2 v 2 - 0 2 = m v 2 2

Assim:

∆ T + ∆ V g = 0

m v 2 2 + m g h - r 2 2 = 0

v 2 = 2 g h - r 2

Vamos usar isso no próximo passo (:

Passo 4

As forças atuando na caixa serão:

Como o corpo está rotacionando, teremos uma resultante centrípeta. Podemos escrever:

N + m g c o s 45 ° = m v 2 r

N + m g 2 = m v 2 r

Assim, substituindo o v 2 :

N + m g 2 = m r 2 g h - r 2

N = m g   h r - 1 2 . 2 - 1 2

N = m g 2 h r - 3 2

Passo 5

Usando m = 0,25 k g ,   r = 0,15 m ,   h = 0,6 :

N = 14,42 N

Resposta

N = 14,42 N

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 136, 3/174

Um satélite artificial que se desoloca em uma órbita elíptica tem uma velocidade de 25.000   k m / h a uma altitude de 2.200 km no ponto A . Determine sua velocidade v b no ponto B onde a altitude é 2500   k m . Considere a Terra como uma esfera de raio R = 6.371   k m e use g = 9,825   m / s ² para a aceleração da gravidade na superfície da Terra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui vamos usar a fórmula generalizada para a energia potencial gravitacional:

V g = - m g R 2 r

Onde r é a distância até o centro da terra R o próprio raio da terra.

Passo 2

Assim, a variação ∆ V g é dada por:

∆ V g = - m g R 2 1 r 2 - 1 r 1

Assim:

∆ V g = - 9,825 . m . 6371 10 3 2 1 2500 + 6371 . 10 3 - 1 2200 + 6371 . 10 3

∆ V g = 1,573 10 6 m

Deixamos em função de m porque não a conhecemos.

Passo 3

A variação de energia cinética será:

∆ T = m 2 v B 2 - 25000 3,6 2

Perceba que estamos convertendo de k m / h   para m / s ali em cima.

Passo 4

Como não há forças externas, podemos dizer que:

∆ T + ∆ V g = 0

∴  

m 2 v B 2 - 25000 3,6 2 + 1,573 10 6 m = 0

Cortando os m :

1 2 v B 2 - 25000 3,6 2 + 1,573 10 6 = 0

v B 2 = 45,08 m / s 2 → v B = 6714 m / s

Resposta

v B = 6714 m / s

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 134, 3/166

O cursor tem uma massa de 2   K g e está preso à mola leve, que tem uma rigidez de 30   N / m e um comprimento sem deformação de 1,5   m . O cursor é liberado a partir do repouso em A e desliza para cima na barra lisa sob a ação da força constante de 50   N . Calcule a velocidade v do cursor quando este passa a posição B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos usar:

U 1 - 2 ' = ∆ T + ∆ V e + ∆ V g

No caso desse problema, existe sim uma força externa que realiza trabalho. Esse trabalho é dado por:

U 1 - 2 ' = F d c o s θ = 50 . 1,5 cos ⁡ 30 ° = 64,95 J

Passo 2

A variação de energia cinética será dada por:

∆ T = m 2 v 2 2 - 0 2

∆ T = 2 2 v 2 = v 2

E a variação de energia potencial gravitacional? Assim:

∆ V g = 2 . 9,81 . 1,5 = 29,43 J

Passo 3

A variação da energia elástica será:

∆ V e = k 2 x 2 2 - x 1 2

Quanto vale x 2 ? x 2 é o alongamento da mola no final. Pra isso, precisamos calcular o comprimento da hipotenusa daquele triângulo do enunciado e depois subtrair disso o valor do comprimento da mola não esticada:

x 2 = 2 2 + 1,5 2 - 1,5

E x 1 ? Segue o mesmo princípio, só que para o ponto inicial:

x 1 = 2 - 1,5 = 0,5 m

Assim:

∆ V e = 30 2 2 2 + 1,5 2 - 1,5 2 - 0,5 2 = 11,25 J

Passo 4

Assim:

U 1 - 2 ' = ∆ T + ∆ V e + ∆ V g

64,95 = v 2 + 11,25 + 29,43 → v 2 = 24,27 → v = 4,93 m / s

Resposta

v = 4,93 m / s

Exercício Resolvido #6

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 132, 3/151

O êmbolo de 2   k g é liberado a partir do repouso na posição mostrada onde a mola de rigidez k = 500   N / m foi comprimida para a metade do seu comprimento sem deformação de 200   m m . Calcule a altura máxima h acima da posição inicial alcançada pelo âmbolo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos aplicar:

U 1 - 2 ' = ∆ T + ∆ V g + ∆ V e

Porém, não existe força externa aplicada, assim:

U 1 - 2 ' = 0

Então:

∆ T + ∆ V g + ∆ V e = 0

Passo 2

No início e no final o êmbolo se encontra em repouso, assim:

∆ T = 0

Então:

∆ V g + ∆ V e = 0

Passo 3

Assim:

∆ V e = 1 2 500 0,15 - 0,2 2 - 0,1 - 0,2 2

∴  

∆ V e = 1 2 500 0,5 2 - 0,1 2 = - 1,875 J

Só que:

∆ V g = - ∆ V e

m g h = - - 1,875

2 9,81 h = 1,875 → h = 95,6 m m

Resposta

h = 95,6 m m

Exercício Resolvido #7

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 134, 3/165

Um satélite é colocado em uma órbita elíptica em torno da Terra e tem uma velocidade v p na posição do perigeu P . Determine a expressão para a velocidade v a na posição do apogeu A . Os raios para A e P são, respectivamente, r a e r p . Observe que a energia total permanece constante.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como a única força atuante é a força gravitacional, podemos dizer:

T A + V g A = T P + V g P

Passo 2

Assim:

1 2 m v A 2 - m g R 2 r A = 1 2 m v p 2 - m g R 2 r p

∴  

v A 2 = v p 2 - 2 g R 2 1 r p - 1 r A

v A = v p 2 - 2 g R 2 1 r p - 1 r A

Resposta

v A = v p 2 - 2 g R 2 1 r p - 1 r A

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!