Rotação de Corpos Rígidos

Teoria Completa

Introdução

Você certamente já andou de bicicleta ou pelo menos viu alguém andando, né?

Mas você já parou para pensar em como uma bicicleta funciona? Existe uma engrenagem ligada ao pedal e outra engrenagem ligada à primeira por meio de uma corrente.

Quando você pedala, a primeira engrenagem entra em movimento e através da corrente ocorre a transferência de movimento para a segunda engrenagem, que por sua vez está ligada a roda da bicicleta fazendo-a andar.

O movimento de engrenagens é o que faz muitas máquinas funcionarem, por isso é importante sabermos como funciona o movimento dos corpos. É isso que vamos aprender neste capítulo. Partiu?

Movimento do Corpo Rígido

Nós aprendemos até aqui sobre o deslocamento, velocidade e aceleração de pontos que se deslocam em uma reta ou curva.

Para o corpo rígido vamos usar essas mesmas relações, mas temos que levar em conta o movimento rotacional do corpo. Ou seja, para analisar o movimento de um corpo rígido, temos que considerar também o deslocamento, a velocidade e a aceleração que vamos chamar de angulares.

Rotação

O nosso corpo rígido vai ter rotação quando ele girar em torno de um ponto fixo. Quando isto acontece, dizemos que qualquer ponto desse corpo tem movimento circular.

Imagine este disco girando em torno do ponto fixo O em seu centro:

Repare que o ponto A , que pertence ao corpo, realiza um movimento circular. Mas para entender o movimento do ponto A temos que entender primeiro o movimento que o corpo, neste caso o nosso disco, faz em torno do ponto em que está girando.

O nome do movimento que o corpo faz é movimento angular. Uma partícula não apresenta movimento angular, pois consideramos que ela não tem dimensões. Já linhas e corpos rígidos podem apresentar este movimento. Então, vamos entender esse tal de movimento angular direitinho.

  • Posição Angular: para localizar um ponto com relação a um referencial usávamos vetores. Agora, vamos usar um ângulo θ medido a partir de uma linha de referência fixa:
  • Deslocamento Angular: é a mudança da posição que ocorre por causa da rotação do corpo. Ou seja, o nosso disco gira e o ponto A passa para outra posição A ' . Vamos medir esta grandeza como um vetor infinitesimal d θ .
  • Para determinar o sentido do vetor d θ , vamos utilizar a regra da mão direita. Para isso, colocamos os dedos da mão direita no sentido em que o disco está rodando e vemos se o polegar vai apontar para cima ou para baixo.

    Se o disco estivesse girando no sentido horário teríamos:

    Vamos arbitrar como positivo quando o polegar apontar para cima, ou seja, quando o disco estiver girando no sentido anti-horário. Beleza?

  • Velocidade Angular: esta grandeza mede o quanto a posição angular varia no tempo. Como a variação da posição angular d θ é bem pequenininha, temos que pegar intervalos de tempo bem pequenos também ( d t ). Então, a nossa velocidade angular, que chamaremos de ω , será:
  • ω =   d θ d t

    A velocidade angular é um vetor que terá a mesma direção que o vetor d θ . A sua unidade mais usual é em r a d / s . O sentido da velocidade angular também é determinado pela regra da mão direita, do mesmo jeito que anteriormente. Então, o sentido positivo que escolhemos será:

  • Aceleração Angular: esta grandeza mede o quanto a velocidade varia no tempo. Para isso, vamos considerar variações de velocidade angular bem pequenas ( d ω ) e intervalas de tempo igualmente pequenos ( d t ). Então, a aceleração angular, que chamaremos de α , será:

    α =   d ω d t

    Podemos dizer também que a aceleração angular α é a derivada segunda do deslocamento angular com relação ao tempo:

    α =   d 2 θ d t 2

    A direção da aceleração angular α é a mesma direção da velocidade angular ω . Maaas, o seu sentido depende se a velocidade angular aumenta ou diminui:

    • Se a velocidade angular ω cresce, então a aceleração angular α tem o mesmo sentido de ω ;
    • Se a velocidade angular ω diminui, então a aceleração angular α tem sentido oposto de ω e é chamada de desaceleração angular.
  • Relação entre aceleração angular, velocidade angular e deslocamento angular: se isolar a variação de tempo nas equações da velocidade angular ω e da aceleração angular α , teremos:

d t =   d θ ω         e           d t =   d ω α

Agora vamos igualar estas equações e separar as variáveis:

d θ ω =   d ω α  

α   d θ =   ω   d ω

Guarde esta equação, ela é muito semelhante com aquela que tínhamos para movimento retilíneo!

Aceleração Angular Constante

Se a aceleração angular do corpo for constante e integrarmos a equação da aceleração angular, teremos:

∫ ω 0 ω d ω = ∫ t 0 t α   d t

( ω ) | ω 0 ω = α   ( t ) | t 0 t

Se considerar o tempo inicial como zero, vamos obter a seguinte equação:

ω =   ω 0 +   α t

Ou seja, quando a aceleração angular é constante, as equações que vimos até agora, quando integradas, resultam em um conjunto de equações que nos será muito útil.

θ =   θ 0 + ω 0 t +   α t 2 2

ω 2 =   ω 0 2 +   2 α ( θ - θ 0 )

Onde, ω 0 é a velocidade angular inicial e θ 0 é o deslocamento angular inicial.

Movimento de um Ponto pertencente ao Corpo

Conforme o corpo rígido gira, qualquer ponto que pertence ao corpo vai girar junto, não é? Então, o ponto A que pertence ao disco se desloca fazendo uma trajetória circular de raio r e centro no ponto O .

  • Posição: a posição de qualquer ponto que pertence ao corpo é determinada por um vetor que tem origem no ponto em torno do qual o corpo gira (no nosso caso, o ponto O ) e chega até o ponto que estamos analisando:
  • Velocidade: se analisarmos a velocidade usando coordenadas polares, ela terá uma componente radial v r e uma componente tangencial v θ :
  • v r =   d r d t           e             v θ =   r d θ d t  

    Repare que o raio r não varia com o passar do tempo, então a componente radial é zero ( v r = 0 ). Repare também que:

    ω =   d θ d t

    Então, vamos substituir d θ d t por ω na componente tangencial da velocidade:

    v θ =   r d θ d t →   v θ =   r ω

    Dessa maneira, a velocidade de um ponto que pertence ao corpo será:

    v   =   ω r

    Repare que o vetor v → é sempre tangente à trajetória.

    Podemos determinar o vetor velocidade v → usando produto vetorial:

    v → =   ω →   × r →  

    O sentido do vetor v pode ser determinado pela regra da mão direita também:

  • Aceleração: a aceleração terá uma componente tangencial a t e outra perpendicular à trajetória que é a aceleração normal a n :

a t =   α r

a n =   ω 2 r

A aceleração tangencial   a t indica o quanto a velocidade v varia no tempo. E quanto ao seu sentido?

  • Se a velocidade está diminuindo, o vetor aceleração tangencial terá sentido contrário ao vetor v → ;
  • E se a velocidade está aumentando, o vetor aceleração tangencial terá o mesmo sentido do vetor v → .

Podemos calcular a aceleração tangencial por produto vetorial também:

a → t =   α →   × r →

A aceleração normal a n   indica o quanto a velocidade muda de direção ao longo do tempo. O vetor aceleração normal sempre aponta para o ponto em torno do qual o corpo está girando.

Desse modo, a aceleração será:

a =   a n 2 +   a t 2

Transmissão de Movimento

Imagine duas polias unidas por uma corda:

A polia A tem um raio r A e a polia B tem um raio r B . Se a polia A   começar a girar, a polia B também irá se movimentar, pois tem uma corda unindo as duas. Mas qual a relação entre o movimento que elas realizam?

Imagine que antes de começar o movimento, pegamos uma canetinha e marcamos um ponto A na primeira polia e um ponto B na segunda.

Após um intervalo de tempo de tempo esses pontos vão mudar de posição, não é mesmo? O ponto A vai passar para uma posição A ’ e o ponto B vai para uma posição B ’ :

Repare que se considerarmos que a corda não escorrega, o tanto que a corda andou na polia A é o mesmo tanto que ela andou na polia B , ou seja, o deslocamento angular é o mesmo. Lembra como se calcula o comprimento de um arco de círculo?

l =   θ r

Agora vamos aplicar esta relação na nossa polia:

Vamos ter que o deslocamento do ponto A é:

s A =   θ A r A

Para o ponto B :

s B =   θ B r B

Mas como vimos, o quanto o ponto A andou para chegar até A ’ é o igual ao valor do deslocamento do ponto B até chegar em B ’ , então:

s A = s B

θ A r A =   θ B r B

Seguindo este mesmo raciocínio, a corda tem a mesma velocidade quando passa pela polia A e pela polia B :

v A =   v B

ω A r A =   ω B r B

A componente tangencial da aceleração também não muda na corda esteja ela passando pela polia A ou pela polia   B :

a t A =   a t B

α A r A =   α B r B