Movimento Absoluto de Corpos Rígidos

Teoria Completa

Introdução

Você já jogou boliche? Já reparou no movimento que a bola faz?

Quando você joga a bola de boliche, ela rola até atingir os pinos. Para isso, ela tem que se deslocar na horizontal e ao mesmo tempo gira em torno do seu centro.

É este tipo de movimento que vamos estudar aqui. Quando um corpo realiza o movimento de rotação e de translação simultaneamente. Então vamos lá!

Movimento Absoluto

Agora vamos analisar o movimento de translação ocorrendo simultaneamente com a rotação. Ou seja, vamos trabalhar com as variáveis do movimento retilíneo junto com as variáveis angulares do movimento rotacional. Beleza?

Para começar, vamos pensar no movimento de translação e de rotação separadamente para facilitar nossa vida e depois arranjar um jeito de relacionar os dois.

Pense em um disco rolando pela superfície de uma mesa:

Vamos escolher duas referências que caracterizem o movimento do disco. Para isso, imagine que vamos pegar uma canetinha e marcar neste disco uma reta. Como o disco é um círculo é mais fácil escolhermos o seu raio. Vamos marcar o raio a partir do ponto A de contato do disco com a mesa:

Quando o disco se mover, o que acontecerá com esta reta r ?

Repare que a reta r girou conforme o disco foi rolando para a direita. Desse modo, podemos marcar a posição angular θ desta reta:

Ou seja, para analisar o movimento de rotação de um corpo vamos sempre marcar uma reta que pertença ao corpo.

E para o movimento de translação? Vamos pegar nossa canetinha e marcar um ponto no corpo. Como o disco é um círculo vamos escolher o seu centro:

Quando o disco rolar, o que vai acontecer com o ponto O ?

Repare que o ponto O somente se deslocou em linha reta, ou seja, realizou um movimento de translação. Então, sempre que quisermos analisar o movimento de translação temos que marcar um ponto do corpo. Beleza?

Agora vem a sacada de mestre. Para resolver esse tipo de problema temos que arranjar um jeito de relacionar esses dois movimentos. E como vamos fazer isso? Usando trigonometria!!!

Vamos juntar os dois movimentos na mesma figura e tentar achar uma relação trigonométrica entre eles:

A medida que o disco rola para a direita, ele se desloca uma distância x da sua posição inicial. Repare que a distância x que ele deslocou na horizontal vai ser igual a quanto o disco rolou, ou seja, o comprimento do arco l :

x = l

Mas sabemos que o comprimento do arco é calculado multiplicando o raio r pelo ângulo θ :

l = r θ

Então, vamos ter que:

x =   r θ

Esta equação nos dá a posição. Então, é só derivarmos com relação ao tempo para saber a velocidade:

d x d t =   d ( r θ ) d t

Como o raio r é constante, teremos que a velocidade v é:

v = r   d θ d t

Mas lembra que a velocidade angular é:

ω = d θ d t

Então, vamos substituir isso na equação da velocidade:

v = r ω

E a aceleração? É só derivarmos a equação da velocidade com relação ao tempo:

d v d t = a = d ( r ω ) d t

Aqui é só lembrar que a aceleração angular α é:

α = d ω d t

Então, nossa aceleração a será:

a =   r α

Ou seja, se pedirem a velocidade do disco é só usarmos essa equação aqui:

v = r ω

E se pedirem a aceleração vamos usar:

a =   r α

Beleza?

Mas essas equações só valem se o disco rolar sem deslizar, tá bom? Geralmente vai ter essa informação no enunciado.

Resumindo... Sempre que você tiver um corpo realizando rotação e translação ao mesmo tempo, é só seguir esse passo a passo:

  1. Marque uma linha no corpo para analisar o movimento de rotação;
  2. Marque um ponto no corpo para ver o que acontece na translação;
  3. Ache uma relação trigonométrica que relacione o ângulo θ de rotação com o deslocamento na horizontal;
  4. Derive a equação da posição para achar uma equação para a velocidade;
  5. Derive a velocidade para achar a equação da aceleração.

Então é isso aí. O mais difícil neste tópico é achar uma relação trigonométrica que relacione os dois movimentos. Só praticando exercícios mesmo para pegar o jeito. Partiu?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 252-5/27

O cursor A se desloca na ranhura horizontal com uma velocidade constante v por um curto intervalo de movimento. Determine a velocidade angular ω da barra A B em termos do deslocamento x A .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nosso primeiro passo neste tipo de questão é achar uma relação trigonométrica que relacione a posição x A com a posição angular da barra A B .

Repare que temos um triângulo formado dentro da figura:

Vamos usar a lei dos senos para relacionar essas coisas:

x A s e n   θ = L s e n o   60 °

Então a posição x A será:

x A = L 3 2 s e n   θ  

x A = 2 L s e n   θ 3

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade da barra A B . Para isso, é só derivarmos a equação da posição que acabamos de achar:

d x A d t = 2 L 3 d ( s e n   θ ) d t

Repare que deixei tudo que é constante 2 L 3 fora da derivada. Então, como o ângulo θ varia no tempo temos que aplicar a regra da cadeia:

d x A d t = v A = 2 L 3   c o s   θ d θ d t

Sabendo que

ω = d θ d t

Então, teremos:

v A = 2 3 L ω c o s   θ

A barra A B está se movendo com uma velocidade constante e que foi chamada de v , então:

v A = v

A nossa equação da velocidade vai ficar:

v = 2 3 L ω c o s   θ

Mas essa velocidade v é dada no enunciado. O que queremos saber é a velocidade angular ω da barra A B . Então, vamos isolar ω na nossa equação:

ω =   3 v 2 L c o s   θ

Beleza?

Passo 3

Maaaas.... O enunciado pede a velocidade angular da barra A B em função de x A , ou seja, temos que arranjar um jeito de sumir com o ângulo θ e fazer surgir x A .

Lembra da lei dos senos que usamos lá no início do exercício? Vamos pegar aquela equação de volta:

x A = 2 L s e n   θ 3

Só que agora vamos isolar o s e n   θ e deixar tudo em função de x A :

s e n   θ = x A 3 2 L

Agora é só substituir isso na nossa equação da velocidade angular? Bem que poderia, mas lá não tem s e n   θ :

ω =   3 v 2 L c o s   θ

Tem apenas c o s   θ !!! Então, vamos pensar em uma relação trigonométrica que relacione seno e cosseno...

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Agora sim!!! Vamos isolar o c o s   θ nessa relação aí:

c o s   θ =   1 - s e n 2 θ  

Mas sabemos que o nosso s e n   θ é:

s e n   θ = x A 3 2 L

Então, vamos substituir esse valor de s e n   θ na nossa relação que acabamos de montar:

c o s   θ =   1 - x A 3 2 L 2

Vamos ter que:

c o s   θ =   1 - 3 x A 2 4 L 2

Agora sim podemos substituir o c o s   θ na equação da velocidade angular:

ω =   3 v 2 L c o s   θ       →           ω = 3 v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

Então, nossa equação da velocidade angular da barra A B é:

ω = 3 v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

Resposta

ω = 3 v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2

Exercício Resolvido #2

R. C. Hibbeler, Dinâmica: Mecânica para Engenharia, 10º ed. SP: Prentice Hall, 2005, pp. 260-16.33

A barra D C gira uniformemente em torno do eixo em D com velocidade angular constante ω . Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração da barra A B que é obrigada pelas guias a se mover verticalmente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro vamos entender o que está acontecendo: a barra D C está girando em torno do ponto D e conforme o ângulo θ aumenta a barra A B sobe.

A questão pede a velocidade e aceleração do movimento vertical da barra A B . Ou seja, temos que arranjar um jeito de relacionar o ângulo θ com a posição vertical y da barra A B .

Repare que temos o seguinte triângulo retângulo:

Para relacionar y com o ângulo θ é só usarmos o seno:

y = l s e n θ

Essa é a equação da posição y da barra A B . Beleza?

Passo 2

Passo 3

Mas queremos saber a velocidade, não é mesmo? Então vamos derivar essa equação que achamos:

d y d t = v A B = d ( l s e n θ ) d t

Como o comprimento l da barra A B é constante, então:

v A B = l d ( s e n θ ) d t

Como o ângulo θ varia no tempo, para resolver esta derivada temos que aplicar a regra da cadeia:

v A B = l c o s θ d θ d t

Mas lembra que a velocidade angular é:

ω =   d θ d t

Então:

v A B = l ω c o s θ

Passo 4

Agora falta a aceleração. Vamos derivar a equação da velocidade:

d v A B d t = a A B = d ( l ω c o s θ ) d t

Vamos ter que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia:

a A B = l ω d ( c o s θ ) d t +   c o s θ d ω d t

a A B = l ω - s e n θ d θ d t +   c o s θ d ω d t

Temos que lembrar que:

ω =   d θ d t

E:

α =   d ω d t

Vamos substituir na nossa equação:

a A B = l ω - s e n θ ω +   c o s θ α

Vamos dar uma ajeitada nisso:

a A B = l α c o s θ - ω 2 s e n θ

Mas repare que no enunciado foi dito que a barra D C gira uniformemente em torno do ponto D , ou seja, seu velocidade angular é constante. Portanto, a aceleração angular é zero:

α =   d ω d t = 0

Então, a nossa equação fica:        

a A B = - l ω 2 s e n θ

É isso aí!

Resposta

a )   v A B = l ω c o s θ

b )   a A B = - l ω 2 s e n θ

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 252-5/29.

O ponto A recebe uma aceleração constante a para a direita a partir do repouso com x essencialmente nulo. Determine a velocidade angular ω da barra A B em termos de x e a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nosso primeiro passo é arranjar um jeito de relacionar a posição x da barra A B com o ângulo θ .

Para isso, repare nos dois triângulos retângulos que as barras formam:

Usando trigonometria obtemos a seguinte relação:

x 2 = b c o s θ

Então:

x = 2 b c o s θ

Pronto, temos a equação da posição da barra A B .

Passo 2

Vamos derivar a equação da posição para obtermos a velocidade:

d x d t = v A B = d ( 2 b c o s θ ) d t

O comprimento b das barras é constante e o ângulo θ depende do tempo, então vamos aplicar a regra da cadeia:

v A B = 2 b d ( c o s θ ) d t       →         v A B = - 2 b s e n θ d θ d t

Não esqueça que a velocidade angular é:

ω = d θ d t

Então, vamos ter:

v A B = - 2 b ω A B s e n θ

A questão pede a velocidade angular ω da barra A B , então vamos isolar ela na equação:

ω A B = - v A B 2 b s e n θ

Passo 3

Repare que a questão pede a velocidade angular da barra A B em função de x e da aceleração a . Veja que o enunciado disse que a aceleração a é constante, então podemos usar uma daquelas equações de movimento retilíneo para aceleração constante.

Mas tem que ser uma equação que relacione a velocidade, a aceleração e a posição. Vamos usar essa aqui:

v 2 = v 0 2 + 2 a ( x -   x 0 )

Sabemos que as barrinhas partem do repouso e que a velocidade inicial é nula, então:

v 2 = 2 a x

Então:

v A B = 2 a x

Opa, agora vamos substituir isso na equação da velocidade angular ω A B :

ω A B = - v A B 2 b s e n   θ         →             ω A B = - 2 a x 2 b s e n   θ

Agora só falta retirarmos a variável θ da equação e fazer aparecer o x . Nesta parte vamos ter aquela sacada de mestre. Sabemos da trigonometria que:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Isolando o s e n θ vamos ter:

s e n   θ = 1 - c o s 2 θ

Vamos substituir isso na nossa equação:

ω A B = - 2 a x 2 b s e n   θ         →         ω A B = - 2 a x 2 b 1 - c o s 2 θ

Por que fizemos isso? Porque a equação que aparece o x é a primeira que achamos:

x = 2 b cos ⁡ θ

E nessa equação também aparece o cos ⁡ θ , por isso tínhamos que fazer aparecer o cos ⁡ θ na nossa equação de velocidade angular.

Está quase terminando...

Vamos isolar o cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = x 2 b

E agora substituir na equação da velocidade angular:

ω A B = - 2 a x 2 b 1 - c o s 2 θ         →         ω A B = - 2 a x 2 b 1 - ( x 2 b ) 2    

ω A B = - 2 a x 2 b 1 - x 2 4 b 2

Pronto? Teoricamente sim, mas podemos deixar nossa equação mais bonitinha. Para isso, vamos passar o 2 b para dentro da raiz:

ω A B = - 2 a x 4 b 2 ( 1 - x 2 4 b 2 )

E é só alegria:

ω A B = - 2 a x 4 b 2 - x 2 )

Esse sinal negativo indica que a velocidade angular está no sentido horário, então podemos escrever:

ω A B = 2 a x 4 b 2 - x 2 )   s e n t i d o   h o r á r i o

Resposta

ω A B = 2 a x 4 b 2 - x 2 )   ( s e n t i d o   h o r á r i o )

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 252-5/31

O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado. Se os pontos A e B têm velocidades de 0,4   m / s e 0,2   m / s , respectivamente, calcule a )   a velocidade de P , b ) a velocidade do ponto C para o instante representado, e c )   a velocidade angular da polia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A velocidade do ponto B é igual a velocidade onde o cabo do lado esquerdo encontra a polia central. E a mesma coisa ocorre no ponto onde o cabo do lado direito encontra a polia do meio. Então, vou chamar esses pontos também de A e B por terem a mesma velocidade: