Movimento Absoluto de Corpos Rígidos

Teoria Completa

Introdução

Você já jogou boliche? Já reparou no movimento que a bola faz?

Quando você joga a bola de boliche, ela rola até atingir os pinos. Para isso, ela tem que se deslocar na horizontal e ao mesmo tempo gira em torno do seu centro.

É este tipo de movimento que vamos estudar aqui. Quando um corpo realiza o movimento de rotação e de translação simultaneamente. Então vamos lá!

Movimento Absoluto

Agora vamos analisar o movimento de translação ocorrendo simultaneamente com a rotação. Ou seja, vamos trabalhar com as variáveis do movimento retilíneo junto com as variáveis angulares do movimento rotacional. Beleza?

Para começar, vamos pensar no movimento de translação e de rotação separadamente para facilitar nossa vida e depois arranjar um jeito de relacionar os dois.

Pense em um disco rolando pela superfície de uma mesa:

Vamos escolher duas referências que caracterizem o movimento do disco. Para isso, imagine que vamos pegar uma canetinha e marcar neste disco uma reta. Como o disco é um círculo é mais fácil escolhermos o seu raio. Vamos marcar o raio a partir do ponto A de contato do disco com a mesa:

Quando o disco se mover, o que acontecerá com esta reta r ?

Repare que a reta r girou conforme o disco foi rolando para a direita. Desse modo, podemos marcar a posição angular θ desta reta:

Ou seja, para analisar o movimento de rotação de um corpo vamos sempre marcar uma reta que pertença ao corpo.

E para o movimento de translação? Vamos pegar nossa canetinha e marcar um ponto no corpo. Como o disco é um círculo vamos escolher o seu centro:

Quando o disco rolar, o que vai acontecer com o ponto O ?

Repare que o ponto O somente se deslocou em linha reta, ou seja, realizou um movimento de translação. Então, sempre que quisermos analisar o movimento de translação temos que marcar um ponto do corpo. Beleza?

Agora vem a sacada de mestre. Para resolver esse tipo de problema temos que arranjar um jeito de relacionar esses dois movimentos. E como vamos fazer isso? Usando trigonometria!!!

Vamos juntar os dois movimentos na mesma figura e tentar achar uma relação trigonométrica entre eles:

A medida que o disco rola para a direita, ele se desloca uma distância x da sua posição inicial. Repare que a distância x que ele deslocou na horizontal vai ser igual a quanto o disco rolou, ou seja, o comprimento do arco l :

x = l

Mas sabemos que o comprimento do arco é calculado multiplicando o raio r pelo ângulo θ :

l = r θ

Então, vamos ter que:

x =   r θ

Esta equação nos dá a posição. Então, é só derivarmos com relação ao tempo para saber a velocidade:

d x d t =   d ( r θ ) d t

Como o raio r é constante, teremos que a velocidade v é:

v = r   d θ d t

Mas lembra que a velocidade angular é:

ω = d θ d t

Então, vamos substituir isso na equação da velocidade:

v = r ω

E a aceleração? É só derivarmos a equação da velocidade com relação ao tempo:

d v d t = a = d ( r ω ) d t

Aqui é só lembrar que a aceleração angular α é:

α = d ω d t

Então, nossa aceleração a será:

a =   r α

Ou seja, se pedirem a velocidade do disco é só usarmos essa equação aqui:

v = r ω

E se pedirem a aceleração vamos usar:

a =   r α

Beleza?

Mas essas equações só valem se o disco rolar sem deslizar, tá bom? Geralmente vai ter essa informação no enunciado.

Resumindo... Sempre que você tiver um corpo realizando rotação e translação ao mesmo tempo, é só seguir esse passo a passo:

  1. Marque uma linha no corpo para analisar o movimento de rotação;
  2. Marque um ponto no corpo para ver o que acontece na translação;
  3. Ache uma relação trigonométrica que relacione o ângulo θ de rotação com o deslocamento na horizontal;
  4. Derive a equação da posição para achar uma equação para a velocidade;
  5. Derive a velocidade para achar a equação da aceleração.

Então é isso aí. O mais difícil neste tópico é achar uma relação trigonométrica que relacione os dois movimentos. Só praticando exercícios mesmo para pegar o jeito. Partiu?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 252-5/27

O cursor A se desloca na ranhura horizontal com uma velocidade constante v por um curto intervalo de movimento. Determine a velocidade angular ω da barra A B em termos do deslocamento x A .

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Passo 1

Nosso primeiro passo neste tipo de questão é achar uma relação trigonométrica que relacione a posição x A com a posição angular da barra A B .

Repare que temos um triângulo formado dentro da figura:

Vamos usar a lei dos senos para relacionar essas coisas:

x A s e n   θ = L s e n o   60 °

Então a posição x A será:

x A = L 3 2 s e n   θ  

x A = 2 L s e n   θ 3

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade da barra A B . Para isso, é só derivarmos a equação da posição que acabamos de achar:

d x A d t = 2 L 3 d ( s e n   θ ) d t

Repare que deixei tudo que é constante 2 L 3 fora da derivada. Então, como o ângulo θ varia no tempo temos que aplicar a regra da cadeia:

d x A d t = v A = 2 L 3   c o s   θ d θ d t

Sabendo que

ω = d θ d t

Então, teremos:

v A = 2 3 L ω c o s   θ

A barra A B está se movendo com uma velocidade constante e que foi chamada de v , então:

v A = v

A nossa equação da velocidade vai ficar:

v = 2 3 L ω c o s   θ

Mas essa velocidade v é dada no enunciado. O que queremos saber é a velocidade angular ω da barra A B . Então, vamos isolar ω na nossa equação:

ω =   3 v 2 L c o s   θ

Beleza?

Passo 3

Maaaas.... O enunciado pede a velocidade angular da barra A B em função de x A , ou seja, temos que arranjar um jeito de sumir com o ângulo θ e fazer surgir x A .

Lembra da lei dos senos que usamos lá no início do exercício? Vamos pegar aquela equação de volta:

x A = 2 L s e n   θ 3

Só que agora vamos isolar o s e n   θ e deixar tudo em função de x A :

s e n   θ = x A 3 2 L

Agora é só substituir isso na nossa equação da velocidade angular? Bem que poderia, mas lá não tem s e n   θ :

ω =   3 v 2 L c o s   θ

Tem apenas c o s   θ !!! Então, vamos pensar em uma relação trigonométrica que relacione seno e cosseno...

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Agora sim!!! Vamos isolar o c o s   θ nessa relação aí:

c o s   θ =   1 - s e n 2 θ  

Mas sabemos que o nosso s e n   θ é:

s e n   θ = x A 3 2 L

Então, vamos substituir esse valor de s e n   θ na nossa relação que acabamos de montar:

c o s   θ =   1 - x A 3 2 L 2

Vamos ter que:

c o s   θ =   1 - 3 x A 2 4 L 2

Agora sim podemos substituir o c o s   θ na equação da velocidade angular:

ω =   3 v 2 L c o s   θ       →           ω = 3 v 2 L 1 - 3 x A 2 4 L 2