Apoios Elásticos em estruturas com deslocabilidade externa

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Teoria

Introdução

Já aprendemos como resolver um exemplo de apoio elástico em estruturas com desocabilidade interna, e vimos que a estrutura que deveríamos usar era uma chapa no lugar da mola do tipo engaste elástico.

No caso de molas verticais e horizontais, ao invés de pormos chapas, iremos por o nosso velo amigo apoio do primeiro gênero, e será esse apoio que ira nos ajudar, sendo assim vamos ver um exemplo e um passo a passo pra resolver esse exemplo.

Exemplo

Imagine que a barra abaixo tenha E J = 10 3   k N m 2 e que a rigidez da mola seja de K = 0,5 × 10 3 k N / m . Sabendo disso determine o deslocamento vertical na mola.

E agora vamos usar tudo que aprendemos até aqui, para compor o nosso passo a passo.

Passo 1 – simplificação da estrutura

Perceba que já vimos isso antes, a nossa estrutura possui um balanço, e podemos sumir com ele usando um momento concentrado em C que represente ele, ou seja, se a carga que vemos traciona as fibras da parte de cima, podemos simplificar ele com um momento que signifique o mesmo. Dessa maneira teremos que:

Passo 2 – Travamentos das deslocabilidades

Até aqui já vimos muitas e muitas vezes como determinar as nossas deslocabilidades. Por isso podemos passar bem rápido por isso. A única coisa de diferente é que vamos substituir a nossa mola por uma poio do primeiro gênero, fizemos a mesma coisa na aula que falava de apoios elásticos em estruturas com deslocabilidade interna, e lá trocávamos a mola por uma chapa, aqui é o mesmo princípio. O que é importante é que sempre devemos lembrar que esse apoio é uma mola, isso vai ser importante para os cálculos. Sendo assim nosso travamento será.

Passo 3 – Cálculo dos efeitos no sistema 0 ( β 10   e   β 2 0 )  

Sabemos que para determinar esses caras precisamos usar a nossa tabela de momentos recíprocos e analisar o nosso carregamento, fazendo isso a fórmula que devemos usar é:

Usando isso na nossa estrutura, e lembrando que todo momento aplicado na estrutura transfere metade do momento dele para outra extremidade mantendo o sinal, teremos que:

Assim fica fácil determinar o β 10 que seria os momentos que agem na chapa 1, sendo assim teremos que:

β 10 = - 4 + 6 - 3 = - 1

E para determinar β 2 0 precisamos definir as reações de apoio, sendo assim teremos que:

Como já sabemos que a reação de apoio mantém o mesmo sentido do calculado, e que ainda consideramos de baixo pra cima positivo, teremos que:

β 20 = 11,25

Passo 4 – Cálculo dos efeitos no sistema 1 ( β 1 1   e   β 2 1 )  

Esse aqui já estamos até cansado de ver, basta rotacionarmos a chapa e determinarmos os momentos que aparecem nela e a reação que aparece no apoio. Como temos de um lado um engaste e do outro um apoio, e no meio uma chapa, usaremos pra uma metade uma fórmula e para outra a outra fórmula, que sigam os critérios determinados, sendo assim teremos que:

Lembrando que usamos 1 E J como fator redutor, teremos que:

β 11 = 1,0 + 0,75 = 1 , 7 5

E para o outro sabemos que devemos determinar a reação de apoio, sendo assim teremos que:

β 21 = - 0,1875

Passo 5 – Cálculo dos efeitos no sistema 2 ( β 22   e   β 12 )  

É aqui que entra o nosso diferencial, sabemos que temos que mover o apoio em 2 em uma unidade, mas lembre-se que ele representa uma mola, ou seja, sabemos que a fórmula para determinar a deformação em uma mola é dada por:

F = k   .   δ

No nosso caso podemos determinar a força na mola porque ela irá se deformar a 1 unidade que iremos aplicar, sendo assim teremos que:

F = 0,5 × 10 3   .   1 = 500

Mas ainda temos as forças devido aos momentos da deformação, e essas encontraremos usando as seguintes fórmulas:

Lembrando que usamos 1 E J como fator redutor, teremos que:

β 1 2 = - 0,375 + 0,1875 = - 0,1875

E para o outro sabemos que devemos determinar a reação de apoio, sendo assim teremos que:

β 2 2 = 0,234375

Porém, não podemos esquecer de somar o valor referente ao deslocamento na mola, tomando o seguinte cuidado, pois, se dividimos tudo por EJ, também devemos fazer o mesmo com a carga na mola.

E por fim, devemos analisar o sinal, E ISSO É MUITO IMPORTANTE. Pois iremos arbitrar que o sentido da reação de apoio da mola é no mesmo sentido da deformação imposta, ou seja, se deformamos a estrutura pra cima, a mola terá uma reação pra cima, se deformacemos a mola pra baixo, ela nos daria uma reação pra baixo, sendo assim teremos que:

β 22 = 0,234375 + 500 E J = 0,234375 + 500 10 3 = + 0,734

Isso é muito importante pois estamos arbitrando esse sinal para facilitar, ou seja, sempre iremos considerar a força da mola no sentido da deformação imposta.

Passo 6 – solução do sistema  

Agora vem a parte mais simples, que e resolver o sisteminha, sendo assim teremos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo:

- 1 + 1,75 ∆ 1 - 0,1875 ∆ 2 = 0

11,25 - 0,1875 ∆ 1 + 0,734 ∆ 2 = 0

Assim teremos que:

∆ 1 = - 2,55

∆ 2 = - 15,61

Lembre-se que o objetivo era a deformação na mola, certo? Ou seja, precisamos de ∆ 2 , mas precisamos multiplicar ele pelo nosso fator de rigidez:

∆ 2 = - 15,61   . 1 E J = - 15,61   . 1 10 3 = - 0,0156 m = - 1,56 c m = - 15,6 m m

Como deu negativo, significa que o sentido que arbitramos de deformação é invertido, ou seja, ao invés de deformar pra cima, a mola deforma pra baixo.

Ufa, enfim terminamos, agora bora fazer exercício pra ficar craque !!!!

Passo 2 – Travamentos das deslocabilidades

Passo 3 – Cálculo dos efeitos no sistema 0 ( β 10   e   β 2 0 )  

Passo 4 – Cálculo dos efeitos no sistema 1 ( β 1 1   e   β 2 1 )  

Passo 5 – Cálculo dos efeitos no sistema 2 ( β 22   e   β 12 )  

Passo 6 – solução do sistema  

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Para a viga abaixo com uma mola vertical em B, determine a deformação vertical na mola.

u s e   E J = 3   .   10 5   k N m 2

K = 2   .   10 4 k N / m

Passo 1

Pela nossa teoria temos que lembrar que o travamento da estrutura é feito levando em conta as deslocabilidades.

  • Deslocabilidade Interna
    • Temos um engaste em A e C logo nesses pontos não precisamos por chapas de travamento da nossa estrutura.
    • No ponto B temos uma rótula, e sabemos que todo nó com rótula não precisa de chapa também.
    • Com isso não temos deslocabilidades internas
  • Deslocabilidade Externa
    • Os pontos A e C são engastes, logo, também não tem deslocabilidade externa
    • O ponto B é uma mola, logo, consideramos ela como um ponto propício a se deslocar, e com isso precisamos travar ele.
    • E pra fazermos isso precisamos trocar a nossa mola por um apoio do primeiro gênero (lembrando ainda que se trata de uma mola e por isso teremos que fazer um acréscimo em algum momento)

Com isso teremos que:

Passo 2

Determinando a deslocabilidade e o que ela é precisamos determinar o que é β 10 , e sabemos que como se trata de um apoio do primeiro gênero, iremos precisar da reação de apoio.

Para definirmos a reação de apoio precisamos do passo a passo completo.

  • Primeiro determinamos a fórmula
  • E isso é bem simples, a barra AB possui um engaste em A e um apoio em B, logo, engaste e apoio. E para a barra BC acontece a mesma coisa. E como em ambas temos uma carga concentrada no meio das vigas, a nossa fórmula será.

  • Segundo definimos os momentos na nossa estrutura
  • Aplicando na nossa estrutura teremos que:

  • Determinando as reações de apoio
  • Lembre-se que como temos um apoio do primeiro gênero, precisamos determinar a reação de apoio, dessa maneira teremos que:

    Perceba que a reação deu de baixo pra cima, que é o nosso sentido positivo. E também podemos ver que temos 2 reações de apoio V B na mesma direção, sendo assim teremos que:

    β 10 = 2 V B = 2   .   6,25 = 12,5

    Passo 3

    Agora só precisamos do valor de β 1 1 . Como se trata de um apoio do primeiro gênero só precisamos deslocar ele de uma unidade no sentido que definimos como positivo.

    Lembre-se que quando usamos deslocamentos impostos usamos a seguinte fórmula:

    Deslocando a nossa viga teremos que:

    Podemos também dividir tudo por EJ, e lembrar que estamos usando ρ = 1 , assim a nossa estrutura passa a ser:

    Como o nosso objetivo são as reações de apoio, vamos determinar elas:

    Como temos duas reações de apoio, pra cima, que é o sentido positivo, podemos determinar muito facilmente o valor de β 11 , sendo assim teremos que:

    β 1 1 = 2 V B = 2   .   0,375 = 0,75

    MAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAS, não se esqueça que temos uma mola, que também segue algumas regrinhas que temos que ficar bem atentos na hora de resolver elas.

  • Primeiro sabemos que a força na mola fica no mesmo sentido da deformação, ou seja, pra cima.
  • Também sabemos que o valor dessa força segue a seguinte fórmula:

F = k δ

E esses dois valores nos temos, pois sabemos que:

k = 2   .   10 4   k N / m

δ = 1

F = 2   .   10 4 . 1 = 20000

Mas uma coisa muito importante que devemos lembrar é que dividimos todos os termos da nossa estrutura por EJ, ou seja, a nossa amiga mola não pode fugir a essa regra.

Dessa maneira teremos que:

F = 20000 E J = 20000 3 .   10 5 = 0,067

Essa contribuição devemos somar ao nosso fator β 11

β 11 = 0,75 + 0,067 = 0,817

Passo 3

Resolvendo o nosso sisteminha, teremos que:

β 10 + β 1 1 ∆ 1 = 0

12,5 + 0,817 ∆ 1 = 0

∆ 1 = - 15,3

Mas lembre-se que a gente dividiu todos os termos por EJ, ou seja, se quisermos definir a deformação final na mola, precisamos dividir o nosso ∆ 1 por EJ

∆ m o l a = ∆ 1 E J = - 15,3 3 .   10 5 = - 5,1   .   10 - 5 m = 0,0 51 m m

Resposta

∆ m o l a = 0,051 m m

Exercício Resolvido #2

Para a viga abaixo com uma mola vertical em B, determine a deformação vertical na mola.

u s e   E J = 3   .   10 5   k N m 2

K = 2   .   10 4 k N / m

Passo 1

Pela nossa teoria temos que lembrar que o travamento da estrutura é feito levando em conta as deslocabilidades.

  • Deslocabilidade Interna
    • Temos um engaste em A e C logo nesses pontos não precisamos por chapas de travamento da nossa estrutura.
    • No ponto B temos uma rótula, e sabemos que todo nó com rótula não precisa de chapa também.
    • Com isso não temos deslocabilidades internas
  • Deslocabilidade Externa
    • Os pontos A e C são engastes, logo, também não tem deslocabilidade externa
    • O ponto B é uma mola, logo, consideramos ela como um ponto propício a se deslocar, e com isso precisamos travar ele.
    • E pra fazermos isso precisamos trocar a nossa mola por um apoio do primeiro gênero (lembrando ainda que se trata de uma mola e por isso teremos que fazer um acréscimo em algum momento)

Com isso teremos que:

Passo 2

Determinando a deslocabilidade e o que ela é precisamos determinar o que é β 10 , e sabemos que como se trata de um apoio do primeiro gênero, iremos precisar da reação de apoio.

Para definirmos a reação de apoio precisamos do passo a passo completo.

  • Primeiro determinamos a fórmula
  • E isso é bem simples, a barra AB possui um engaste em A e um apoio em B, logo, engaste e apoio. E para a barra BC acontece a mesma coisa. E como em ambas temos uma carga distribuída por toda viga, a nossa fórmula será.

  • Segundo definimos os momentos na nossa estrutura
  • Aplicando na nossa estrutura teremos que:

  • Determinando as reações de apoio
  • Lembre-se que como temos um apoio do primeiro gênero, precisamos determinar a reação de apoio, dessa maneira teremos que:

    Perceba que a reação deu de baixo pra cima, que é o nosso sentido positivo. E também podemos ver que temos 2 reações de apoio V B na mesma direção, sendo assim teremos que:

    β 10 = 2 V B = 2   .   12 = 24

    Passo 3

    Agora só precisamos do valor de β 1 1 . Como se trata de um apoio do primeiro gênero só precisamos deslocar ele de uma unidade no sentido que definimos como positivo.

    Lembre-se que quando usamos deslocamentos impostos usamos a seguinte fórmula:

    Deslocando a nossa viga teremos que:

    Podemos também dividir tudo por EJ, e lembrar que estamos usando ρ = 1 , assim a nossa estrutura passa a ser:

    Como o nosso objetivo são as reações de apoio, vamos determinar elas:

    Como temos duas reações de apoio, pra cima, que é o sentido positivo, podemos determinar muito facilmente o valor de β 11 , sendo assim teremos que:

    β 1 1 = 2 V B = 2   .   0 , 046875 = 0,09375

    MAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAS, não se esqueça que temos uma mola, que também segue algumas regrinhas que temos que ficar bem atentos na hora de resolver elas.

  • Primeiro sabemos que a força na mola fica no mesmo sentido da deformação, ou seja, pra cima.
  • Também sabemos que o valor dessa força segue a seguinte fórmula:

F = k δ

E esses dois valores nos temos, pois sabemos que:

k = 2   .   10 4   k N / m

δ = 1

F = 2   .   10 4 . 1 = 20000

Mas uma coisa muito importante que devemos lembrar é que dividimos todos os termos da nossa estrutura por EJ, ou seja, a nossa amiga mola não pode fugir a essa regra.

Dessa maneira teremos que:

F = 20000 E J = 20000 3 .   10 5 = 0,067

Essa contribuição devemos somar ao nosso fator β 11

β 11 = 0,09375 + 0,067 = 0,161

Passo 3

Resolvendo o nosso sisteminha, teremos que:

β 10 + β 1 1 ∆ 1 = 0

24 + 0 , 161 ∆ 1 = 0

∆ 1 = - 149 , 3

Mas lembre-se que a gente dividiu todos os termos por EJ, ou seja, se quisermos definir a deformação final na mola, precisamos dividir o nosso ∆ 1 por EJ

∆ m o l a = ∆ 1 E J = - 149 , 3 3 .   10 5 = - 4,9 8   .   10 - 4 m = - 0 , 49 8 m m

Resposta

∆ m o l a = - 0 , 49 8 m m

Exercício Resolvido #3

Para a viga abaixo com uma mola vertical em B, determine a deformação vertical na mola.

u s e   E J = 3   .   10 5   k N m 2

K = 2   .   10 4 k N / m

Passo 1

Pela nossa teoria temos que lembrar que o travamento da estrutura é feito levando em conta as deslocabilidades.

  • Deslocabilidade Interna
    • Temos um engaste em A e C logo nesses pontos não precisamos por chapas de travamento da nossa estrutura.
    • No ponto B temos uma rótula, e sabemos que todo nó com rótula não precisa de chapa também.
    • Com isso não temos deslocabilidades internas
  • Deslocabilidade Externa
    • Os pontos A e C são engastes, logo, também não tem deslocabilidade externa
    • O ponto B é uma mola, logo, consideramos ela como um ponto propício a se deslocar, e com isso precisamos travar ele.
    • E pra fazermos isso precisamos trocar a nossa mola por um apoio do primeiro gênero (lembrando ainda que se trata de uma mola e por isso teremos que fazer um acréscimo em algum momento)

Com isso teremos que:

Passo 2

Determinando a deslocabilidade e o que ela é precisamos determinar o que é β 10 , e sabemos que como se trata de um apoio do primeiro gênero, iremos precisar da reação de apoio.

Para definirmos a reação de apoio precisamos do passo a passo completo.

  • Primeiro determinamos a fórmula
  • E isso é bem simples, a barra AB possui um engaste em A e um apoio em B, logo, engaste e apoio. E para a barra BC acontece a mesma coisa. E como em ambas temos uma carga distribuída por toda viga, a nossa fórmula será.

  • Segundo definimos os momentos na nossa estrutura
  • Aplicando na nossa estrutura teremos que:

  • Determinando as reações de apoio
  • Lembre-se que como temos um apoio do primeiro gênero, precisamos determinar a reação de apoio, dessa maneira teremos que:

    Perceba que a reação deu de baixo pra cima, que é o nosso sentido positivo. E também podemos ver que temos 2 reações de apoio V B na mesma direção, sendo assim teremos que:

    β 10 = 15 + 62,5 = 77,5

    Passo 3

    Agora só precisamos do valor de β 1 1 . Como se trata de um apoio do primeiro gênero só precisamos deslocar ele de uma unidade no sentido que definimos como positivo.

    Lembre-se que quando usamos deslocamentos impostos usamos a seguinte fórmula:

    Deslocando a nossa viga teremos que:

    Podemos também dividir tudo por EJ, e lembrar que estamos usando ρ = 1 , assim a nossa estrutura passa a ser:

    Como o nosso objetivo são as reações de apoio, vamos determinar elas:

    Como temos duas reações de apoio, pra cima, que é o sentido positivo, podemos determinar muito facilmente o valor de β 11 , sendo assim teremos que:

    β 1 1 = 2 V B = 2   .   0 , 046875 = 0,09375

    MAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAS, não se esqueça que temos uma mola, que também segue algumas regrinhas que temos que ficar bem atentos na hora de resolver elas.

  • Primeiro sabemos que a força na mola fica no mesmo sentido da deformação, ou seja, pra cima.
  • Também sabemos que o valor dessa força segue a seguinte fórmula:

F = k δ

E esses dois valores nos temos, pois sabemos que:

k = 2   .   10 4   k N / m

δ = 1

F = 2   .   10 4 . 1 = 20000

Mas uma coisa muito importante que devemos lembrar é que dividimos todos os termos da nossa estrutura por EJ, ou seja, a nossa amiga mola não pode fugir a essa regra.

Dessa maneira teremos que:

F = 20000 E J = 20000 3 .   10 5 = 0,067

Essa contribuição devemos somar ao nosso fator β 11

β 11 = 0,09375 + 0,067 = 0,161

Passo 3

Resolvendo o nosso sisteminha, teremos que:

β 10 + β 1 1 ∆ 1 = 0

77,5 + 0 , 161 ∆ 1 = 0

∆ 1 = - 481,4

Mas lembre-se que a gente dividiu todos os termos por EJ, ou seja, se quisermos definir a deformação final na mola, precisamos dividir o nosso ∆ 1 por EJ

∆ m o l a = ∆ 1 E J = - 481,4 3 .   10 5 = - 1,60   .   10 3 m = - 1,60 m m

Resposta

∆ m o l a = - 1,60 m m

Exercício Resolvido #4

Para a estrutura abaixo, determine o deslocamento horizontal do ponto B do pórtico dado.

u s e   E J = 10 5

u s e   K = 4   .   10 4

Passo 1

Como já sabemos o nosso primeiro passo deve ser obrigatoriamente determinar o número de deslocabilidades da nossa estrutura, fazendo isso teremos que:

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que os pontos B e C são rótulas, logo, também não possuem deslocabilidades internas.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e D são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder subir ou descer devido o engaste em A, pode ir pra frente ou pra trás, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso, com mola, precisamos trocar a nossa mola por uma poio do primeiro gênero , dessa maneira teremos que:
    • Como o ponto B acabou de se tornar indeslocavel, por consequência, o ponto C se torna indeslocavel também, e com isso passamos a ter apenas uma deslocabilidade na nossa estrutura.

Passo 2

Como só temos uma deslocabilidade, e essa deslocabilidade é um apoio do primeiro gênero, precisamos detemirnar a reação que age nele e essa reação será o valor de β 10 . Mas perceba que a carga de 40   k N / m que age na vertical, não irá produzir reações de apoio na horizontal, então não precisamos nos preocupar com ela.

Em contra partida a carga distribuída de 15   k N / m , irá produzir um momento no nosso apoio em A, e perceba que essa barra é engastada em A mas rotulada em B, ou seja, é do tipo engastada e rotulada, e sendo assim, a nossa equação será:

Aplicando ela na nossa estrutura teremos que:

Mas lembre-se que o que importa pra gente é a reação de apoio, e não necessariamente o momento, apesar de usarmos ele para determinação da reação de apoio. Dessa maneira teremos que:

Perceba que como quem age no nosso apoio fictício do primeiro gênero em 1 é o H B iremos usar ele para determinar a reação do nosso apoio.

Um macete legal para lembrarmos é que o que definimos para H B (modulo, sentido e direção) já vai valer para a reação que age em 1. Isso é para não precisar ficar transferindo carga, ou ficar pensando se tem que inverter a direção ou o sinal.

Absolutamente não, se H B der pra frente a reação é pra frente. Se der negativo, a reação será negativa, gravando assim fica mais fácil de lembrar, e com isso o nosso cálculo será:

6 H B + 15   .   6   .     3 - 67,5 = 0

H B = - 33,75   k N

Ou seja, o nosso valor de β 10 será negativo, mas se você fizer o passo completo vai ver que faz sentido. Porque imagine se invertermos as reações, teríamos o seguinte:

Perceba que se invertermos os vetores, o sinal volta a ser positivo, porém veja que o sentido é para trás, e como vimos na teoria, para determinação de rigidez, consideramos pra frente positivo e pra trás negativo, com isso, o nosso valor de β 10 será:

β 10 = - 33,75

Passo 3

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2   e   3 l 3 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 6 2 = 0,083

3 l 3 2 = 3 3 2 = 0,333

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações horizontais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

6 H B - 0,083 = 0

H B = 0,0138

Para H c teremos que:

3 H C - 0,333 = 0

H C = 0,111

β 11 = H B + H c = 0,0138 + 0,111 = 0,1248

MAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAS, não se esqueça que temos uma mola, que também segue algumas regrinhas que temos que ficar bem atentos na hora de resolver elas.

  • Primeiro sabemos que a força na mola fica no mesmo sentido da deformação, ou seja, pra cima.
  • Também sabemos que o valor dessa força segue a seguinte fórmula:

F = k δ

E esses dois valores nos temos, pois sabemos que:

k = 4   .   10 4   k N / m

δ = 1

F = 4   .   10 4 . 1 = 4 0000

Mas uma coisa muito importante que devemos lembrar é que dividimos todos os termos da nossa estrutura por EJ, ou seja, a nossa amiga mola não pode fugir a essa regra.

Dessa maneira teremos que:

F = 4 0000 E J = 4 0000 10 5 = 0 , 4

Essa contribuição devemos somar ao nosso fator β 11

β 11 = 0,1248 + 0 , 4 = 0,5248

Passo 4

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

- 33,75 + 0 , 5 248 ∆ 1 = 0

∆ 1 = 64,31

Mas calma, não se assuste, esse ainda não é o deslocamento horizontal do nosso ponto B. lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ 1 = ∆ 1 . 1 E J = 64,31   . 1 10 5 = 6,431   .   10 - 4 m = 0,6431   m m

Resposta

∆ 1 = ∆ B = 0,6431   m m

Exercício Resolvido #5

Para a estrutura abaixo, determine o deslocamento horizontal do ponto B do pórtico dado.

u s e   E J = 10 5

u s e   K = 5   .   10 4

Passo 1

Como já sabemos o nosso primeiro passo deve ser obrigatoriamente determinar o número de deslocabilidades da nossa estrutura, fazendo isso teremos que:

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que os pontos B e C são rótulas, logo, também não possuem deslocabilidades internas.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e D são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder subir ou descer devido o engaste em A, pode ir pra frente ou pra trás, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso, por se tratar de uma mola precisamos travar esse movimento , especificamente, devemos por no lugar da mola um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:
    • Como o ponto B acabou de se tornar indeslocavel, por consequência, o ponto C se torna indeslocavel também, e com isso passamos a ter apenas uma deslocabilidade na nossa estrutura.

Passo 2

Como só temos uma deslocabilidade, e essa deslocabilidade é um apoio do primeiro gênero, precisamos detemirnar a reação que age nele e essa reação será o valor de β 10 . Mas perceba que a carga de 20   k N / m que age na vertical, não irá produzir reações de apoio na horizontal, então não precisamos nos preocupar com ela.

Em contra partida a carga concentrada de 10kN, irá produzir um momento no nosso apoio em A, e perceba que essa barra é engastada em A mas rotulada em B, ou seja, é do tipo engastada e rotulada, e sendo assim, a nossa equação será:

Aplicando ela na nossa estrutura teremos que:

Mas lembre-se que o que importa pra gente é a reação de apoio, e não necessariamente o momento, apesar de usarmos ele para determinação da reação de apoio. Dessa maneira teremos que:

Perceba que como quem age no nosso apoio fictício do primeiro gênero em 1 é o H B iremos usar ele para determinar a reação do nosso apoio.

Um macete legal para lembrarmos é que o que definimos para H B (modulo, sentido e direção) já vai valer para a reação que age em 1. Isso é para não precisar ficar transferindo carga, ou ficar pensando se tem que inverter a direção ou o sinal.

Absolutamente não, se H B der pra frente a reação é pra frente. Se der negativo, a reação será negativa, gravando assim fica mais fácil de lembrar, e com isso o nosso cálculo será:

8 H B + 10   .   4 - 15 = 0

H B = - 3,125   k N

Ou seja, o nosso valor de β 10 será negativo, mas se você fizer o passo completo vai ver que faz sentido. Porque imagine se invertermos as reações, teríamos o seguinte:

Perceba que se invertermos os vetores, o sinal volta a ser positivo, porém veja que o sentido é para trás, e como vimos na teoria, para determinação de rigidez, consideramos pra frente positivo e pra trás negativo, com isso, o nosso valor de β 10 será:

β 10 = - 3,125

Passo 3

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 8 2 = 0,046875

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações horizontais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

8 H B - 0,046875 = 0

H B = 5,86   .   10 - 3

Mas lembre-se que H B = H c = 5,86   .   10 - 3 . Sendo assim teremos que:

β 11 = H B + H c = 0,01172

MAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAS, não se esqueça que temos uma mola, que também segue algumas regrinhas que temos que ficar bem atentos na hora de resolver elas.

  • Primeiro sabemos que a força na mola fica no mesmo sentido da deformação, ou seja, pra cima.
  • Também sabemos que o valor dessa força segue a seguinte fórmula:

F = k δ

E esses dois valores nos temos, pois sabemos que:

k = 5   .   10 4   k N / m

δ = 1

F = 5   .   10 4 . 1 = 5 0000

Mas uma coisa muito importante que devemos lembrar é que dividimos todos os termos da nossa estrutura por EJ, ou seja, a nossa amiga mola não pode fugir a essa regra.

Dessa maneira teremos que:

F = 5 0000 E J = 5 0000 10 5 = 0,5

Essa contribuição devemos somar ao nosso fator β 11

β 11 = 0,01172 + 0,5 = 0,51172

Passo 4

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

- 3,125 + 0,51172 ∆ 1 = 0

∆ 1 = 6,11

Mas calma, não se assuste, esse ainda não é o deslocamento horizontal do nosso ponto B. lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ 1 = ∆ 1 . 1 E J = 6,11   . 1 10 5 = 6,11   .   10 - 5 m = 0,0611 m m

Resposta

∆ 1 = ∆ B = 0,0611 m m