Variação de temperatura em Estruturas com Deslocabilidade Externa

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Teoria

Introdução

A ideia dessa aula é ser algo bem rápido, é como se fosse um resumão. A variação de temperatura em estruturas com deslocabilidade externa, é idêntica a variação de temperatura em estruturas com deslocabilidade interna.

O que significa dizer isso? Significa que tudo é exatamente igual? Não, vamos com calma, o que é idêntico é a parte inicial, ou seja, a determinação das deformações devido a variação de temperatura, ou seja, vamos fazer um resuminho bem rápido de tudo que continua igual.

Resumo – O que usamos para determinação de β 10 , β 20 , β 30 …  

  • A primeira coisa que precisamos lembrar é que se a temperatura no centro de gravidade ( T g ) for igual a zero, devemos usar as seguintes fórmulas:
    • Caso Bi-engastado
    • M A = - M B = E J α t i - t e h

    • Caso Engastado e apoiado
  • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

  • Quando temos T g ≠ 0   e igual a constante, aí sabemos que temos que seguir outro método, que é o método de Williot, e ele basicamente segue o seguinte passo a passo:
    • Passo 1
    • Definimos a origem onde os indeslocaveis também ficam, e vale lembrar que indeslocavel são pontos que não se movem de maneira alguma, tipo os engastes, então se tivéssemos por exemplo um ponto B e um ponto C que fossem engastes, representariamos eles assim.

    • Passo 2
    • A partir desses indeslocaveis, vamos querer definir um ponto que tenha ambos como predecessores, e fazemos o calculo do deslocamento das barras na direção desse ponto, mas vale lembrar que esses deslocamentos não darão o ponto direto, primeiro darão o número da barra, e só depois achamos o ponto. Por exemplo, suponha que a gente tenha um ponto E que tenha os pontos B e C (na origem) como predecessores, baste então determinar o deslocamento dessas barras com a fórmula ∆ L = α t g L . Assim teremos que:

      Perceba que com isso não definimos o ponto E mas sim, ou ponto 5 e 6, que representam as barras 5 e 6.

    • Passo 3
  • Agora é simples, traçamos retas perpendiculares as barras 5 e 6, e desenhamos essas retas nos pontos 5 e 6 do williot, e com isso, o ponto de encontro será o nosso ponto E:

    Se fizermos isso para todos os pontos da nossa barra, iremos determinar o que chamamos de williot da nossa estrutura, e com ele, podemos definir as deformações.

    Resumo – Regras para determinar as deformações do Williot  

    Por fim a ultima parte da regra é para saber como determinar a deformação no williot, e é muito simples.

    Primeiro devemos renomear as barras de acordo com a ordem de solução dos pontos, por exemplo, no exemplinho ali de cima determinamos primeiro os pontos B e C e só depois determinamos o ponto E, ou seja, a nossa ordem de solução dos pontos é:

    B   ,   C   e   E

    Logo o nome das barras seriam: BE (porque achamos o ponto B antes do E) e CE (pelo mesmo motivo dito antes.

    Mas porque renomeamos assim? É ai que entram os números do nosso williot.

    Por exemplo, se eu quero saber a deformação da barra 6 (que é a barra CE). Primeiro buscamos o numero da barra do nosso williot, que no nosso caso é o ponto 6.

    e depois usamos o nome da barra, ou seja, determinamos o segundo termos que compõe o nome da barra no williot, ou seja, o ponto E da barra CE. No nosso williot teremos que:

    e assim o deslocamento será do número da barra até o segundo termo do nome dela, ou seja, o deslocamento da barra 6 que se chama CE será:

    E o que eu quis mostrar com esse exemplinho? Que o williot independe das deslocabilidades, ou seja, se a estrutura tiver deslocabilidades internas ou externas, o cálculo do williot permanece igual.

    E a parte nova?

    Na verdade a parte nova é a parte velha. Ué, como assim?

    O que temos de novo é a deslocabilidade externa, certo? Quando temos deslocabilidade externa o que precisamos?

  • Passo 1
  • Precisamos determinar que tipo de coisa ela vai determinar no nosso sistema, se já definimos nos resumos os valores de β 10 ,   β 20 , β 30 … com as deslocabilidades externas iremos definir β 11 , β 22 ,   β 33 , β 12 …  

  • Passo 2
  • Deslocabilidades externas serão as reações de apoio que tivermos nos nossos apoios de primeiro gênero usados para travamento da estrutura.

    O que vale lembrar é que o sentido que definirmos para as reações de apoio, será o mesmo sentido da reação de apoio.

    Ou seja, se eu determino uma reação na direção do apoio do primeiro gênero, e essa reação é pra frente, consideramos que a reação no apoio fictício também será pra frente, é bem importante lembrar isso.

    Perceba que no nosso exemplo definimos uma reação de apoio na direção do apoio do primeiro gênero, e ela é pra frente, ou seja, sendo assim iremos definir que a reação no apoio 2 também será pra frente, e vale lembrar que esse sentido é o que definimos como positivo, se desse o contrário, passaríamos para negativo.

  • Passo 3

O terceiro e ultimo passo é o mais legal, que é basicamente saber qual fórmulas usar para as nossas estruturas com deslocabilidade externa.

Sabemos que sempre que quisermos aplicar uma rotação imposta, que aplicamos em estruturas com deslocabilidade interna, rotacionamos a chapa e usamos as seguintes fórmulas:

Lembrando que podemos usar 1/EJ para simplificar.

Porém quando temos deslocabilidades externas, não aplicaremos mais rotações impostas, pelo contrário, iremos usar deformações impostas.

Nesse caso a fórmula para o caso de deformações impostas será:

Que é basicamente a fórmula que a gente já ta cansado de usar nas ultimas aulas sobre deslocabilidade externa, tanto pra recalque de apoio, quanto pra carga externa e ainda para apoios elásticos.

Ufa, em fim acabamos essa aula, e você pode ver que essa aula nada mais é que a junção de muitas aulas passadas.

Pegamos um pouquinho da aula de williot, um pouquinho da aula de deslocabilidades externas, e juntamos tudo aqui. Bora fazer exercício então pra gente ficar craque nessa matéria, vamos nessa?

Resumo – Regras para determinar as deformações do Williot  

E a parte nova?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 40 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 40 ° C , determine o diagrama de momentos fletores da mesma.

α = 1   .   10 - 5

h = 50   c m

b = 50   c m

E = 5   .   10 6   k N / m 2

E J = 26042   k N m 2

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

Mas ainda tem uma observação muito importante:

Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

Passo 2

Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que os pontos B e C são rótulas, logo, também não possuem deslocabilidades internas.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e D são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder subir ou descer devido o engaste em A, pode ir pra frente ou pra trás, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso precisamos travar esse movimento , especificamente com um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:
    • Como o ponto B acabou de se tornar indeslocavel, por consequência, o ponto C se torna indeslocavel também, e com isso passamos a ter apenas uma deslocabilidade na nossa estrutura.

Passo 3

Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

Para isso temos que olhar o que acontece com a nossa barra.

Sabendo que a barra AB e CD apresentam o mesmo comportamento estrutural, podemos ver que de um lado temos o engaste e do outro temos um apoio (representado pela rótula e pelo apoio do primeiro gênero, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Perceba que a barra BC não possui nenhum tipo de momento, isso porque ela representa uma barra biapoiada, logo, não possui momentos de rigidez.

Substituindo os valores teremos que:

E assim teremos que determinar a reação de apoio que será feito por:

β 10 = V B + V C = 7,8125 - 7,8125 = 0

Passo 4

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 8 2 = 0,046875

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações horizontais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

8 H B - 0,046875 = 0

H B = 5,86   .   10 - 3

Mas lembre-se que H B = H c = 5,86   .   10 - 3 . Sendo assim teremos que:

β 11 = H B + H c = 0,01172

Passo 5

Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

0 + 0,01172 ∆ 1 = 0

Resolvendo esse sistema teremos que:

∆ 1 = 0

Para determinação dos momentos fletores, precisamos do momento fletor de todos os nós em todas as barras em todos os sistemas, dessa forma a primeira coisa que devemos fazer é analisar cada sistema.

  • Sistema 0
  • Sistema 1

Uma coisa mega importante é lembrar de usar o fator de rigidez relativa EM TODOS OS CASOS que temos para o sistema 1, se não vamos errar, como já fizemos isso:

E usando a nossa fórmula para cada nó teremos que:

M A   ( b a r r a 1 ) = M 0 A ( b a r r a   1 ) + M 1 A ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M A   ( b a r r a 1 ) = 62,5 + 0,046875   .     0 = 62,5   k N m

M B   ( b a r r a 1 ) = M 0 B ( b a r r a   1 ) + M 1 B ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 1 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M B   ( b a r r a 2 ) = M 0 B ( b a r r a   2 ) + M 1 B ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M C   ( b a r r a 2 ) = M 0 C ( b a r r a   2 ) + M 1 C ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M C   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M C   ( b a r r a 3 ) = M 0 C ( b a r r a   3 ) + M 1 C ( b a r r a   3 ) ∆ 1

M C   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M D   ( b a r r a 3 ) = M 0 D ( b a r r a   3 ) + M 1 D ( b a r r a   3 ) ∆ 1

M D   ( b a r r a 3 ) = - 62,5 + 0 , 046875   .     0 = - 62,5

Perceba que já temos os momentos de cada nó da nossa estrutura, e para cada barra, sendo assim se desenharmos isso na nossa estrutura teremos que:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 10 0 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 10 0 ° C , determine o diagrama de momentos fletores da mesma.

α = 1   .   10 - 5

h = 50   c m

b = 50   c m

E = 5   .   10 6   k N / m 2

E J = 26042   k N m 2

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

Mas ainda tem uma observação muito importante:

Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

Passo 2

Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que os pontos B e C são rótulas, logo, também não possuem deslocabilidades internas.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e D são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder subir ou descer devido o engaste em A, pode ir pra frente ou pra trás, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso precisamos travar esse movimento , especificamente com um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:
    • Como o ponto B acabou de se tornar indeslocavel, por consequência, o ponto C se torna indeslocavel também, e com isso passamos a ter apenas uma deslocabilidade na nossa estrutura.

Passo 3

Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

Para isso temos que olhar o que acontece com a nossa barra.

Sabendo que a barra AB e CD apresentam o mesmo comportamento estrutural, podemos ver que de um lado temos o engaste e do outro temos um apoio (representado pela rótula e pelo apoio do primeiro gênero, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Perceba que a barra BC não possui nenhum tipo de momento, isso porque ela representa uma barra biapoiada, logo, não possui momentos de rigidez.

Substituindo os valores teremos que:

E assim teremos que determinar a reação de apoio que será feito por:

β 10 = V B + V C = 26,042 - 52,084 = - 26,042

Passo 4

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2   e   3 l 3 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 6 2 = 0,083

3 l 3 2 = 3 3 2 = 0,333

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações horizontais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

6 H B - 0,083 = 0

H B = 0,0138

Para H c teremos que:

3 H C - 0,333 = 0

H C = 0,111

β 11 = H B + H c = 0,0138 + 0,111 = 0,1248

Passo 5

Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

- 26,042 + 0,1248 ∆ 1 = 0

Resolvendo esse sistema teremos que:

∆ 1 = 208,67

Para determinação dos momentos fletores, precisamos do momento fletor de todos os nós em todas as barras em todos os sistemas, dessa forma a primeira coisa que devemos fazer é analisar cada sistema.

  • Sistema 0
  • Sistema 1

Uma coisa mega importante é lembrar de usar o fator de rigidez relativa EM TODOS OS CASOS que temos para o sistema 1, se não vamos errar, como já fizemos isso:

E usando a nossa fórmula para cada nó teremos que:

M A   ( b a r r a 1 ) = M 0 A ( b a r r a   1 ) + M 1 A ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M A   ( b a r r a 1 ) = 156,252 + 0,083   .     208,67 = 173,85   k N m

M B   ( b a r r a 1 ) = M 0 B ( b a r r a   1 ) + M 1 B ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 1 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M B   ( b a r r a 2 ) = M 0 B ( b a r r a   2 ) + M 1 B ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M C   ( b a r r a 2 ) = M 0 C ( b a r r a   2 ) + M 1 C ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M C   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M C   ( b a r r a 3 ) = M 0 C ( b a r r a   3 ) + M 1 C ( b a r r a   3 ) ∆ 1

M C   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M D   ( b a r r a 3 ) = M 0 D ( b a r r a   3 ) + M 1 D ( b a r r a   3 ) ∆ 1

M D   ( b a r r a 3 ) = - 156,252 + 0,333   .     208,67 = - 86,76

Perceba que já temos os momentos de cada nó da nossa estrutura, e para cada barra, sendo assim se desenharmos isso na nossa estrutura teremos que:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 50 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 5 0 ° C , determine o diagrama de momentos fletores da mesma. Além disso determine a deformação vertical do ponto B.

α = 1   .   10 - 5

h = 50   c m

b = 50   c m

E = 5   .   10 6   k N / m 2

E J = 26042   k N m 2

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

Mas ainda tem uma observação muito importante:

Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

Passo 2

Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e C são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que o ponto B é uma rótula, logo, também não possui deslocabilidade interna.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura
  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e C são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder ir para esquerda ou direita devido o engaste em A e B, pode ir pra cima ou para baixo, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso precisamos travar esse movimento , especificamente com um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:

Passo 3

Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

Para isso temos que olhar o que acontece com a nossa barra.

Sabendo que a barra AB e BC apresentam o mesmo comportamento estrutural, podemos ver que de um lado temos o engaste e do outro temos um apoio (representado pela rótula e pelo apoio do primeiro gênero, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Perceba que a barra BC não possui nenhum tipo de momento, isso porque ela representa uma barra biapoiada, logo, não possui momentos de rigidez.

Substituindo os valores teremos que:

E assim teremos que determinar a reação de apoio que será feito por:

Perceba que temos duas reações de apoio, e que elas deram pra baixo (que é o nosso sentido negativo), dessa maneira teremos que:

β 10 = 2 V B = 2   .   ( - 26,042 ) = - 52,084

Passo 4

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2 =   3 l 2 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 l 2 2 = 3 3 2 = 0,333

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações verticais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

3 H B - 0,333 = 0

H B = 0,111

Como temos dois H B e eles são para baixo, significa que na nossa escolha de sinais eles serão negativos:

β 11 = 2 H B = - 0,222

Passo 5

Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

- 52,084 - 0,222 ∆ 1 = 0

Resolvendo esse sistema teremos que:

∆ 1 = - 234,6

Para determinação dos momentos fletores, precisamos do momento fletor de todos os nós em todas as barras em todos os sistemas, dessa forma a primeira coisa que devemos fazer é analisar cada sistema.

  • Sistema 0
  • Sistema 1

Uma coisa mega importante é lembrar de usar o fator de rigidez relativa EM TODOS OS CASOS que temos para o sistema 1, se não vamos errar, como já fizemos isso:

E usando a nossa fórmula para cada nó teremos que:

M A   ( b a r r a 1 ) = M 0 A ( b a r r a   1 ) + M 1 A ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M A   ( b a r r a 1 ) = 78,126 + 0,333   .     - 234,6 = 0   k N m

M B   ( b a r r a 1 ) = M 0 B ( b a r r a   1 ) + M 1 B ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 1 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M B   ( b a r r a 2 ) = M 0 B ( b a r r a   2 ) + M 1 B ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M C   ( b a r r a 2 ) = M 0 C ( b a r r a   2 ) + M 1 C ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M C   ( b a r r a 2 ) = - 78,126 - 0,333   .     - 234,6 = 0

Perceba que já temos os momentos de cada nó da nossa estrutura, e para cada barra, sendo assim se desenharmos isso na nossa estrutura teremos que:

Lembre-se que dividimos todos os fatores por EJ, ou seja, se quisermos saber o valor real do deslocamento vertical, precisamos repor isso que tirarmos, dessa forma teremos que:

∆ B = ∆ 1 . 1 E J = - 234,6   . 1 26042 = - 9   .   10 - 3 m = 9   m m

Resposta

∆ B = 9   m m

Exercício Resolvido #4

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 20 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 20 ° C , determine a deformação horizontal do ponto B.

α = 1   .   10 - 5

h = 50   c m

b = 50   c m

E = 5   .   10 6   k N / m 2

E J = 26042   k N m 2

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado
  • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

    Mas ainda tem uma observação muito importante:

    Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

    E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

    Passo 2

    Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

    • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

      • Sabemos que os pontos E e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
      • O ponto C não é nem rótula e nem apoio extremo, logo possuirá uma deslocabilidade interna. E sabemos que se possuímos deslocabilidade interna, temos obrigatoriamente que travar ela com uma chapa, sendo assim teremos que:
      • Agora que vem o diferencial. Os pontos A e B estão nas extremidades da barra com inércia infinita. SEMPRE que tivermos uma barra com inércia infinita, ela obrigatoriamente tornará os nós da sua extremidade indeslocaveis com relação a rotação. Ou seja, os nós A e B não podem rotacionar porque a barra AB possui uma inércia taõ grande que já vai impedir isso. Ou seja, só temos 1 deslocabilidade interna.
    • Analisando agora as deslocabilidades externas:

      • Os pontos E e D são engastes, logo são considerados indeslocaveis.
      • O ponto C também pode ser considerado assim, além do mais, não pode nem se deslocar pra baixo e pra cima, e nem da esquerda para direita ou vice versa.
      • O ponto B também não pode se deslocar na vertical, porém pode claramente se deslocar na horizontal, por isso devemos travar ele nesse sentido, com o nosso velho amigo apoio do primeiro gênero.
      • Com o ponto B travado podemos ver que passamos a ter o ponto A indeslocavel, logo teremos apenas 1 deslocabilidade externa mesmo.

    Passo 3

    Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 e β 20 .

    Perceba que todas as barras ou possuem na sua extremidade, ou uma chapa, ou um engaste ou uma barra de inércia infinita que sabemos que impede rotação. Dessa maneira a nossa estrutura pode ser definida como um tipo de estrutura Bi-engastada.

  • Caso Bi-engastado

M A = - M B = E J α t i - t e h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Substituindo os valores teremos que:

M A = - M B = 26042   .     1   .   10 - 5   . 20 - - 20 0,5 = 20,8336

Com esse valor conseguimos determinar o valor de β 10

β 10 = - 20,8336 + 20,8336 + 20,8336 = 20,8336

E para determinarmos β 20 teremos que determinar a reação de apoio que receberá contribuição apenas das barras AC e BD.

Perceba que temos duas reações de apoio, e que elas deram pra baixo (que é o nosso sentido negativo), dessa maneira teremos que:

β 20 = V A + V B = 0

Passo 2

Agora que definimos as rigidezes do sistema zero, precisamos determinar nos sistemas com a deformação de cada um dos travamentos, sendo assim teremos que:

  • β 11   e   β 21
  • Sabemos que para definir β 11 é muito simples, como se trata de uma chapa, basta rotacionarmos ela em 1 grau, que sempre rotacionamos no sentido anti-horário para sempre termos esse valor positivo.

    Como todas as extremidades são engastadas, e até mesmo os pontos A e B representam engastes, então teremos que a fórmula a ser usada é:

    Fazendo isso na nossa estrutura teremos que:

    Sendo assim o valor de β 11 será:

    β 11 = 4 E J L A C + 4 E J L E C + 4 E J L C D

    Sabemos que podemos usar rigidez relativa para facilitar as nossas contas, que podemos usar:

    1 E J

    Sendo assim teremos que:

    β 11 = 4 E J L A C + 4 E J L E C + 4 E J L C D 1 E J = 4 L A C + 4 L E C + 4 L C D = 4 6 + 4 6 + 4 6 = 2

    Para determinar o valor β 21 é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 2.

    Veja que somente as barras EC e CA produziram reações na horizontal. Porém apenas a barra CA irá interferir no nosso apoio em 2, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a ela, sendo assim teremos que:

    Marcando as reações teremos que:

    - 6 H A + 2 6 + 4 6 = 0

    H A = 1 6

    E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se H A está pra frente, e na mesma direção do apoio 2, então a reação em 2 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de   H A . Sendo assim teremos que:

    β 21 = H A = 1 6

    Passo 4

    Agora que definimos as rigidezes do sistema 1, precisamos determinar no sistema 2. Como o sistema 2 é um apoio iremos precisar usar o conceito de deformação e não amis de rotação.

  • β 22   e   β 12

Sabemos que para definir β 12 é muito simples, como se trata de uma chapa, basta analisarmos o momento que aparecerá nela após a deformação de 1 unidade.

Como todas as extremidades são engastadas, e até mesmo os pontos A e B representam engastes, então teremos que a fórmula a ser usada é:

Fazendo o deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Sendo assim o valor de β 12 será:

β 12 = 6 E J ρ L A C 2

Sabemos que podemos usar rigidez relativa para facilitar as nossas contas, que podemos usar:

1 E J

E também podemos usar que:

ρ = 1

Sendo assim teremos que:

β 12 = 6 E J ρ L A C 2 1 E J = 6 L A C 2 = 6 6 2 = 1 6

Para determinar o valor β 22 é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 2.

Veja que somente as barras CA e DB produziram reações na horizontal, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a elas, sendo assim teremos que:

- 6 H A + 1 6 + 1 6 = 0

H A = 1 18

- 6 H B + 1 6 + 1 6 = 0

H B = 1 18

E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se H A e H B   estão pra frente, e na mesma direção do apoio 2, então a reação em 2 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de   H A + H B . Sendo assim teremos que:

β 22 = H A + H B = 1 18 + 1 18 = 2 18 = 1 9

Passo 3

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo teremos que:

20,8336 + 2 ∆ 1 + 1 6 ∆ 2 = 0

0 + 1 6 ∆ 1 + 1 9 ∆ 2 = 0

∆ 1 = - 11,90  

∆ 2 = 17,86

Nosso objetivo era determinar a deformação horizontal do ponto B, que é exatamente o ponto que colocamos o apoio do primeiro gênero 2, que nós da o ∆ 2 .

Vale lembrar que também dividimos tudo por EJ, ou seja, precisamos dividir aqui para termos o resultado real.

∆ B = ∆ 1 . 1 E J = 17,86   . 1 26042 = 6,86   .   10 - 4 m = 0,686   m m

Resposta

∆ B = 0,686   m m

Exercício Resolvido #5

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 2 0 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 2 0 ° C , determine a deformação horizontal do ponto C.

α = 1   .   10 - 5

h = 50   c m

b = 50   c m

E = 5   .   10 6   k N / m 2

E J = 26042   k N m 2

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado
  • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

    Mas ainda tem uma observação muito importante:

    Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

    E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

    Passo 2

    Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

    • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

      • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
      • Agora que vem o diferencial. Os pontos C e B estão nas extremidades da barra com inércia infinita. SEMPRE que tivermos uma barra com inércia infinita, ela obrigatoriamente tornará os nós da sua extremidade indeslocaveis com relação a rotação. Ou seja, os nós C e B não podem rotacionar porque a barra CB possui uma inércia tão grande que já vai impedir isso. Ou seja, não temos deslocabilidade interna.
    • Analisando agora as deslocabilidades externas:

      • Os pontos A e D são engastes, logo são considerados indeslocaveis.
      • O ponto C também não pode se deslocar na vertical, porém pode claramente se deslocar na horizontal, por isso devemos travar ele nesse sentido, com o nosso velho amigo apoio do primeiro gênero.
      • Com o ponto C travado podemos ver que passamos a ter o ponto B indeslocavel, logo teremos apenas 1 deslocabilidade externa mesmo.

    Passo 3

    Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

    Perceba que todas as barras ou possuem na sua extremidade, ou um engaste ou uma barra de inércia infinita que sabemos que impede rotação. Dessa maneira a nossa estrutura pode ser definida como um tipo de estrutura Bi-engastada.

  • Caso Bi-engastado

M A = - M B = E J α t i - t e h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Substituindo os valores teremos que:

M A = - M B = 26042   .     1   .   10 - 5   . 20 - - 20 0,5 = 20,8336

E para determinarmos β 1 0 teremos que determinar a reação de apoio que receberá contribuição apenas das barras AB e CD.

Calculando as reações teremos que:

Perceba que temos duas reações de apoio, e que elas deram pra baixo (que é o nosso sentido negativo), dessa maneira teremos que:

β 1 0 = V C + V B = 0

Passo 2

Agora que definimos as rigidezes do sistema zero, precisamos determinar nos sistemas com a deformação de cada um dos travamentos, sendo assim teremos que:

  • β 11  

Para determinar o valor β 11 é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 1.

Como temos que deslocar o nosso apoio em 1, e sabemos que todos os nossos nós são engastes, usaremos a seguinte fórmula:

Colocando o deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Usando o fator de rigidez relativa teremos que:

1 E J   e   ρ = 1

Como todos os comprimentos são iguais teremos que:

6 L 2 = 6 10 2 = 0,06

Veja que somente as barras AB e DC produziram reações na horizontal, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a elas, sendo assim teremos que:

- 10 H B + 0,06 + 0,06 = 0

H B = 0,012

- 10 H C + 0,06 + 0,06 = 0

H C = 0,012

E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se H C e H B   estão pra frente, e na mesma direção do apoio 1, então a reação em 1 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de   H C + H B . Sendo assim teremos que:

β 11 = H A + H B = 0,012 + 0,012 = 0,024

Passo 3

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

Substituindo teremos que:

0 + 0,024 ∆ 1 = 0

∆ 1 = 0  

Nosso objetivo era determinar a deformação horizontal do ponto B, que é exatamente o ponto que colocamos o apoio do primeiro gênero 1, que nós da o ∆ 1 .

Vale lembrar que também dividimos tudo por EJ, ou seja, precisamos dividir aqui para termos o resultado real.

∆ B = 0 . 1 E J = 0   . 1 26042 = 0

Ou seja, pela simetria da estrutura e do carregamento de temperatura, o ponto B não sofre deslocamentos.

Resposta

∆ B = 0   m m