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Deformações em estruturas com inércia variando aleatoriamente (Regra de Simpson)

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Teoria

Introdução

Imagine um problema em que a inércia da nossa estrutura varie aleatoriamente, e por todo o comprimento da nossa estrutura. Como no exemplo que temos aqui em baixo:

Regra de Simpson na estrutura isostática

Perceba que vamos começar por uma estrutura isostática para ficar fácil calcular a nossa fórmula.

E para isso suponha que o enunciado seja: Determine a rotação a elástica no apoio da esquerda sabendo que a seção possui base de 40 cm e altura variando conforme a figura acima. Use o modulo de elasticidade igual E = 2,1   .   10 7 k N / m 2 .

Para sabermos como e o que calcular precisamos da nossa fórmula, e nesse caso a fórmula que Simpson pensou foi a seguinte:

E J c δ = ∫ M M ¯ J c J d x

Em que J c é o momento de inércia de referencia e J é o momento de inércia para cada seção:

Podemos simplificar essa fórmula chamando toda a parte interna da integral de η , sendo assim teremos que:

η = M M ¯ J c J

Podemos então simplificar a nossa integral como:

E J c δ = ∫ η d x

E o que Simpson fez foi facilitar a nossa vida com a seguinte solução para a integral:

E J c δ = ∫ η d x = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Em que precisamos primeiro saber que obrigatoriamente precisamos dividir a nossa estrutura em um número par de intervalos, em que o tamanho dos intervalos definimos como ∆ x . Também precisamos saber que iremos numerar as seções começando pela seção mais extrema (que chamaremos de 0) indo até a seção da outra extremidade. Todas as seções numeradas com valores impares, serão multiplicadas pelo coeficiente k = 4 . Todas as seções pares com k = 2 e todas as extremas com k = 1 .

Resolvendo o exemplo

Ou seja, no nosso exemplo teremos que.

Também definimos no nosso exemplo que o valor de ∆ x é de 2m, além do mais dividimos a nossa estrutura em 6 seções (um número par de seções) com tamanhos iguais.

Agora só falta determinarmos o valor de: η í m p a r e s , η p a r e s e η d a s   e x t r e m i d a d e s .

Sabemos que η nada mais é que uma simplificação da seguinte conta:

M M ¯ J c J

Em que:

M = m o m e n t o s   f l e t o r e s   e m   c a d a   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l  

M ¯ = m o m e n t o   e m   c a d a   s e ç ã o   d e v i d o   a   c a r g a   u n i t á r i a

J = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d a   s e ç ã o   a n a l i s a d a  

J c = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d e   r e f e r e n c i a ,   q u e   g e r a l m e n t e   u s a m o s   a   s e ç ã o   c o m   m e n o r   a l t u r a  

Determinando os diagramas

No nosso exemplo isostático queremos saber a rotação no apoio esquerdo, sendo assim podemos dizer que:

  • Diagrama de momentos fletores para o carregamento externo para cada uma das seções

  • Diagrama de momentos fletores devido a carga unitária no ponto e na direção que queremos saber o deslocamento, que nesse caso é rotação:

E agora por fim só precisamos relacionar os J e J c .

Se para o calculo de J podemos fazer:

J = b h v a r i a v e l 3 12

J c = b h r e f e r e n c i a 3 12

Se substituirmos na fórmula teremos que:

M M ¯ J c J

M M ¯ b h r e f e r e n c i a 3 12 b h v a r i a v e l 3 12 = M M ¯ h r e f e r e n c i a 3 h v a r i a v e l 3 = M M ¯ h r e f e r e n c i a h v a r i a v e l 3    

E como vimos, costumamos usar a menor seção como referência, sendo assim sabemos que:

h r e f e r e n c i a = 1

Como você pode ver, temos muitos valores para trabalhar, ao invés de fazer um a um de maneira desorganizada, podemos fazer essa tabelinha aqui pra ajudar a gente.

No fim basta fazer:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E assim determinar as deformações no nosso sistema. No nosso exemplo teremos que:

Substituindo na fórmula teremos que:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E = 2,1   .   10 7 k N / m 2

J c = b h r e f e r e n c i a 3 12 = 0,4   . 1 3 12 = 0,03333

∑ K η = 3855,6

∆ x = 2

2,1   .   10 7   .     0,03333   .     δ = 2 3 . 3855,6

δ = 3,672   .   10 - 3   r a d

Estrutura hiperestática

Na estrutura hiperestática precisamos lembrar da nossa formulazinha, ou seja, se por exemplo, tivermos apenas um hiperestático, devemos fazer a seguinte equação:

E J c δ 10 + E J c δ 11 X 1 = 0

Já tendo o nosso conhecimento da regra de Simpson, vamos dar uma modificada na nossa tabela, mas o princípio permanece igual:

Em que:

M 1 = m o m e n t o   p o r   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   i s o s t á t i c o   c o m   o   h i p e r e s t á t i c o   c o m   v a l o r   u n i t á r i o

M 0 = m o m e n t o   p o r   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   i s o s t á t i c o   c o m   o   c a r r e g a m e n t o   e x t e r n o

Lembrando que o sistema isostático aqui é o sistema obtido a partir da quebra dos vínculos hiperestáticos do sistema principal hiperestático.

Se substituirmos na nossa fórmula teremos que:

E J c δ 10 + E J c δ 11 X 1 = 0

∆ x 3 ∑ K η 10 + ∆ x 3 ∑ K η 11 X 1 = 0

X 1 = ∆ x 3 ∑ K η 10 ∆ x 3 ∑ K η 11 = ∑ K η 10 ∑ K η 11

E como já sabemos, tendo o valor de X 1 obtemos qualquer esforço na nossa estrutura pelas relações.

M = M 0 + M 1 X 1

V = V 0 + V 1 X 1

R = R 0 + R 1 X 1

Resolvendo o exemplo

Determinando os diagramas

Estrutura hiperestática

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Origem do Exercício

Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga dada abaixo;

Passo 1

A primeira coisa que devemos notar é que nossa estrutura é uma estrutura isostática, logo, não precisaremos quebrar nenhum vínculo para determinação de hiperestáticos:

A segunda coisa que devemos fazer é dividir a nossa seção em uma quantidade para de seções, pois lembre-se que para usarmos essa fórmula:

E J c δ = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Precisamos de uma quantidade par de seções, e que podemos determinar os coeficientes das seções seguindo a seguinte regra:

Todas as seções numeradas com valores impares, serão multiplicadas pelo coeficiente k = 4 . Todas as seções pares com k = 2 e todas as extremas com k = 1 .

Sendo assim teremos que:

Também definimos no nosso exemplo que o valor de ∆ x é de 3m, além do mais dividimos a nossa estrutura em 4 seções (um número par de seções) com tamanhos iguais.

Agora só falta determinarmos o valor de: η í m p a r e s , η p a r e s e η d a s   e x t r e m i d a d e s .

Sabemos que η nada mais é que uma simplificação da seguinte conta:

M M ¯ J c J

Em que:

M = m o m e n t o s   f l e t o r e s   e m   c a d a   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l  

M ¯ = m o m e n t o   e m   c a d a   s e ç ã o   d e v i d o   a   c a r g a   u n i t á r i a

J = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d a   s e ç ã o   a n a l i s a d a  

J c = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d e   r e f e r e n c i a ,   q u e   g e r a l m e n t e   u s a m o s   a   s e ç ã o   c o m   m e n o r   a l t u r a  

Passo 2

No nosso exemplo isostático queremos saber o deslocamento vertical do ponto C no meio da viga, sendo assim podemos dizer que:

  • Diagrama de momentos fletores para o carregamento externo para cada uma das seções será

  • Diagrama de momentos fletores devido a carga unitária no ponto e na direção que queremos saber o deslocamento, que nesse caso é deslocamento vertical:

E agora por fim só precisamos relacionar os J e J c .

No caos temos para nossa seção duas possibilidades, que seria o caso de J c e 4 J c , e nesse caso usaremos como referência o menor.

Se substituirmos na fórmula teremos que:

M M ¯ J c J

Como você pode ver, temos muitos valores para trabalhar, ao invés de fazer um a um de maneira desorganizada, podemos fazer essa tabelinha aqui pra ajudar a gente.

No fim basta fazer:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E assim determinar as deformações no nosso sistema. No nosso exemplo teremos que:

Perceba que nas seções 1 e 3, que são intermediarias, usamos a média entre as seções para determinar a inércia relativa entre as seções.

Substituindo na fórmula teremos que:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E J c = 2,1   .   10 7 k N m 2

∑ K η = 720 + 900 + 720 = 2340

∆ x = 3

2,1   .   10 7 .   δ = 3 3 . 2340

δ = 0,000111   m

δ = 0,111   m m

Resposta

δ = 0,111   m m

Exercício Resolvido #2

Origem do Exercício

Determine o deslocamento vertical do ponto D da viga dada abaixo;

Passo 1

A primeira coisa que devemos notar é que nossa estrutura é uma estrutura isostática, logo, não precisaremos quebrar nenhum vínculo para determinação de hiperestáticos:

A segunda coisa que devemos fazer é dividir a nossa seção em uma quantidade par de seções, pois lembre-se que para usarmos essa fórmula:

E J c δ = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Precisamos de uma quantidade par de seções, e que podemos determinar os coeficientes das seções seguindo a seguinte regra:

Todas as seções numeradas com valores impares, serão multiplicadas pelo coeficiente k = 4 . Todas as seções pares com k = 2 e todas as extremas com k = 1 .

Sendo assim teremos que:

Também definimos no nosso exemplo que o valor de ∆ x é de 2m, além do mais dividimos a nossa estrutura em 6 seções (um número par de seções) com tamanhos iguais.

Agora só falta determinarmos o valor de: η í m p a r e s , η p a r e s e η d a s   e x t r e m i d a d e s .

Sabemos que η nada mais é que uma simplificação da seguinte conta:

M M ¯ J c J

Em que:

M = m o m e n t o s   f l e t o r e s   e m   c a d a   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l  

M ¯ = m o m e n t o   e m   c a d a   s e ç ã o   d e v i d o   a   c a r g a   u n i t á r i a

J = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d a   s e ç ã o   a n a l i s a d a  

J c = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d e   r e f e r e n c i a ,   q u e   g e r a l m e n t e   u s a m o s   a   s e ç ã o   c o m   m e n o r   a l t u r a  

Passo 2

No nosso exemplo isostático queremos saber o deslocamento vertical do ponto D, sendo assim podemos dizer que:

  • Diagrama de momentos fletores para o carregamento externo para cada uma das seções será

  • Diagrama de momentos fletores devido a carga unitária no ponto e na direção que queremos saber o deslocamento, que nesse caso é deslocamento vertical:

E agora por fim só precisamos relacionar os J e J c .

No caos temos para nossa seção duas possibilidades, que seria o caso de J c e 3 J c , e nesse caso usaremos como referência o menor.

Se substituirmos na fórmula teremos que:

M M ¯ J c J

Como você pode ver, temos muitos valores para trabalhar, ao invés de fazer um a um de maneira desorganizada, podemos fazer essa tabelinha aqui pra ajudar a gente.

No fim basta fazer:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E assim determinar as deformações no nosso sistema. No nosso exemplo teremos que:

Perceba que nas seções 1 e 5, que são intermediarias, usamos a média entre as seções para determinar a inércia relativa entre as seções.

Substituindo na fórmula teremos que:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E J c = 3   .   10 6 k N m 2

∑ K η = 4400 3

∆ x = 2

3   .   10 6 .   δ = 2 3 . 4400 3

δ = 0,000326   m

δ = 0,326   m m

Resposta

δ = 0,326   m m

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine o deslocamento angular na extremidade da viga dada abaixo. Dado: E J c = 2,1   .   10 7 k N m 2

Passo 1

Temos aqui um problema em que há uma viga engastada sujeita a um carregamento uniforme de 50   k N / m e essa viga tem inércia variável. O fato dela ter inércia variável que justifica a utilização do método de Simpson.

Para resolver esse problema a gente vai ter que utilizar a equação do método de Simpson:

E J c δ = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Vamos vendo cada termo conforme formos resolvendo o problema, o mais importante é lembrar que devemos separar as seções, numerá-las e calcular a inércia relativa. Ao fim desse processo a gente aplica o momento de inércia e descobre o deslocamento, beleza? Então vamos seguir!

Passo 2

A primeira coisa que devemos notar é que nossa estrutura é uma estrutura isostática, logo, não precisaremos quebrar nenhum vínculo para determinação de hiperestáticos:

A segunda coisa que devemos fazer é dividir a nossa seção em uma quantidade para de seções, pois lembre-se que para usarmos essa fórmula:

E J c δ = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Precisamos de uma quantidade par de seções, e que podemos determinar os coeficientes das seções seguindo a seguinte regra:

Todas as seções numeradas com valores impares, serão multiplicadas pelo coeficiente k = 4 . Todas as seções pares com k = 2 e todas as extremas com k = 1 .

Sendo assim teremos que:

Também definimos no nosso exemplo que o valor Δ x = 2 m , além do mais dividimos a nossa estrutura em 4 seções (um número par de seções) com tamanhos iguais.

Agora só falta determinarmos o valor de: η í m p a r e s , η p a r e s e η d a s   e x t r e m i d a d e s .

Sabemos que η nada mais é que uma simplificação da seguinte conta:

M M ¯ J c J

Em que:

M = m o m e n t o s   f l e t o r e s   e m   c a d a   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l  

M ¯ = m o m e n t o   e m   c a d a   s e ç ã o   d e v i d o   a   c a r g a   u n i t á r i a

J = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d a   s e ç ã o   a n a l i s a d a  

J c = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d e   r e f e r e n c i a ,   q u e   g e r a l m e n t e   u s a m o s   a   s e ç ã o   c o m   m e n o r   a l t u r a  

Passo 3

No nosso exemplo isostático queremos saber o deslocamento angular da extremidade da viga, sendo assim podemos dizer que:

  • Diagrama de momentos fletores para o carregamento externo para cada uma das seções será

  • Diagrama de momentos fletores devido a carga unitária no ponto e na direção que queremos saber o deslocamento, que nesse caso é o deslocamento angular:

E agora por fim só precisamos relacionar os J e J c .

No caso temos para nossa seção duas possibilidades, que seria o caso de J c e 4 J c , e nesse caso usaremos como referência o menor.

Se substituirmos na fórmula teremos que:

M M ¯ J c J

Passo 4

Como você pode ver, temos muitos valores para trabalhar, ao invés de fazer um a um de maneira desorganizada, podemos fazer essa tabelinha aqui pra ajudar a gente.

No fim basta fazer:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E assim determinar as deformações no nosso sistema.

Perceba que nas seções 1 e 3, que são intermediarias, usamos a média entre as seções para determinar a inércia relativa entre as seções.

Substituindo na fórmula teremos que:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η

E J c δ = 2 3 320 + 1152 + 640 + 128 = 2240

E J c = 2,1   .   10 7 k N m 2

2,1   .   10 7 .   δ = 2240

δ = 0,107   r a d

Resposta

δ = 0,107   r a d

Exercício Resolvido #4

Origem do Exercício

Para a viga abaixo com inércia constante, determine o deslocamento vertical do ponto C usando a regra de Simpson;

Passo 1

A primeira coisa que devemos notar é que nossa estrutura é uma estrutura isostática, logo, não precisaremos quebrar nenhum vínculo para determinação de hiperestáticos:

A segunda coisa que devemos fazer é dividir a nossa seção em uma quantidade par de seções, pois lembre-se que para usarmos essa fórmula:

E J c δ = ∆ x 3   4 ∑ η í m p a r e s + 2 ∑ η p a r e s + 1 ∑ η d a s   e x t r e m i d a d e s

Precisamos de uma quantidade par de seções, e que podemos determinar os coeficientes das seções seguindo a seguinte regra:

Todas as seções numeradas com valores impares, serão multiplicadas pelo coeficiente k = 4 . Todas as seções pares com k = 2 e todas as extremas com k = 1 .

Sendo assim, como a inércia é constante, vamos dividir em 10 seções afim de ficarmos o mais próximo possível do valor real, teremos assim que:

Também definimos no nosso exemplo que o valor de ∆ x é de 0,5m, além do mais dividimos a nossa estrutura em 10 seções (um número par de seções) com tamanhos iguais.

Agora só falta determinarmos o valor de: η í m p a r e s , η p a r e s e η d a s   e x t r e m i d a d e s .

Sabemos que η nada mais é que uma simplificação da seguinte conta:

M M ¯ J c J

Em que:

M = m o m e n t o s   f l e t o r e s   e m   c a d a   s e ç ã o   n o   s i s t e m a   c o m   a   c a r g a   r e a l  

M ¯ = m o m e n t o   e m   c a d a   s e ç ã o   d e v i d o   a   c a r g a   u n i t á r i a

J = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d a   s e ç ã o   a n a l i s a d a  

J c = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   d e   r e f e r e n c i a ,   q u e   g e r a l m e n t e   u s a m o s   a   s e ç ã o   c o m   m e n o r   a l t u r a  

Passo 2

No nosso exemplo isostático queremos saber o deslocamento vertical do ponto C, sendo assim podemos dizer que:

  • Diagrama de momentos fletores para o carregamento externo para cada uma das seções será

  • Diagrama de momentos fletores devido a carga unitária no ponto e na direção que queremos saber o deslocamento, que nesse caso é deslocamento vertical:

E agora por fim só precisamos relacionar os J e J c .

no nosso caso a seção é constante, ou seja, a relação entre J será constante e igual a 1, sendo assim teremos que se substituirmos na fórmula teremos que:

M M ¯ J c J = M M ¯

Como você pode ver, temos muitos valores para trabalhar, ao invés de fazer um a um de maneira desorganizada, podemos fazer essa tabelinha aqui pra ajudar a gente.

No fim basta fazer:

E J c δ = ∆ x 3 ∑ K η