Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

Teoria Completa

Atenção: Esse assunto não é cobrado por muitos professores.

Agora, se você já tiver visto em sala algum exercício em que momentos foram aplicados em mais de uma direção, ou se você já viu a fórmula...

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

...ou alguma outra fórmula parecida, então vale a pena estudar esse tópico. 😉

Introdução

Vamos dizer que você tem a viga da imagem abaixo e aplica uma força P de compressão bem no canto dela:

Essa força P é excêntrica: ela está atuando fora do centro da seção transversal da viga.

Por ser uma força de compressão, ela vai gerar uma força interna normal N = - P na viga.

Mas por ser excêntrica, ela também vai gerar, além dessa força normal, momentos na viga:

  • Por estar 15   c m à esquerda do eixo vertical y , ela vai gerar um momento fletor M y (ou “ M F l y ”) em relação a esse eixo, flexionando a viga para a esquerda;
  • E por estar 10   c m abaixo do eixo horizontal z , ela vai gerar um momento fletor M z (ou “ M F l z ”) em relação a esse outro eixo, flexionando a viga para baixo,

Como mostra a imagem abaixo:

Mas aí lá no tópico passado...

Nós vimos como calcular as tensões normais σ em uma peça devido a um momento fletor M F l aplicado em volta do eixo horizontal z , usando a fórmula da flexão:

Mas agora...

Nós temos um caso de flexão assimétrica, em que existem momentos em duas direções, sendo que esses dois momentos vão gerar tensões normais σ na peça.

(A “assimetria” vem do fato de que se juntarmos os momentos M y e M z , o momento fletor resultante não vai estar em volta de um eixo de simetria.)

Além disso, ainda temos um força normal N nessa viga, que também vai gerar tensões normais σ nela, de acordo com a fórmula σ = N / A .

Então, nesse caso...

Como devemos calcular as tensões normais σ na peça??

Regra da Mão Direita

O primeiro passo para calcular as tensões normais σ na peça vai ser definir bem os esforços internos nela ( N , M y e M z ).

Quanto à força normal N ... lembra aí!

Nós podemos definir ela como N = + P caso P seja uma força de tração ou N = - P caso P seja uma força de compressão.

Agora...

Quanto aos momentos M y e M z , nós sabemos que eles são calculados multiplicando a força P pelos seus braços em relação aos eixos y e z , respectivamente.

Mas para saber se esses momentos tem valores positivos ( + ) ou negativos ( - ), nós temos que recorrer à regra da mão direita:

Usando essa regra, é possível trocar as setas curvas que representam os momentos por setas duplas.

Caso essas setas duplas estejam no mesmo sentido dos eixos y e z , então elas são positivas ( + ). Caso elas estejam no sentido contrário, elas são negativas ( - ).

Por exemplo: fazendo essa troca para os momentos gerados pela nossa força P excêntrica, vemos que os dois momentos, M y e M z , vão ter valores negativos naquele caso:

Método da Superposição

Depois que os esforços internos N , M y e M z estiverem bem definidos, o segredo para resolver esses exercícios de cargas excêntricas ou flexão assimétrica está em usar o método da superposição.

Ou seja, devemos determinar o efeito de cada esforço na peça, e depois somar esses efeitos.

Quanto à força normal N , sabemos que ela vai gerar uma tensão:

σ = N A

E quanto ao momento fletor M z em relação à horizontal, já sabemos que vale para ele a fórmula da flexão, que fica assim:

σ = - M z y I z z

Mas ainda falta a gente saber como é a tensão gerada por M y .

Então vamos pensar...

Dá para imaginar que a fórmula que descreve a tensão gerada por M y é semelhante à que descreve a tensão gerada por M z , mas com algumas diferenças.

Primeiro, a flexão causada por M y é em volta da vertical y , então:

  • A posição y da fórmula da flexão tradicional relativa à linha neutra horizontal em z deve ser trocada por uma posição z relativa à linha neutra vertical em y ;
  • E o momento de inércia da área I z z em relação ao eixo z deve ser trocado por um em relação ao eixo y , I y y .

Sendo que, para o cálculo de I y y , valem as dicas abaixo:

Segundo, o sinal de negativo da fórmula da flexão tradicional não se aplica à flexão em volta do eixo y .

Olha só:

Para um momento M y positivo ( + ), ocorre tração ( + ) para valores positivos ( + ) de z e compressão ( - ) para valores negativos ( - ) de z , como mostra a imagem abaixo:

Daí que, tendo tudo isso em mente...

Concluímos que a tensão gerada por M y vai ser descrita pela fórmula:

σ = M y z I y y

Fórmula Geral da Tensão Normal

Aí, fazendo a superposição dos efeitos de N ( σ = N / A ), de M z ( σ = - M z y / I z z ) e de M y ( σ = M y z / I y y ), encontramos que a tensão normal em uma peça em um caso geral vai ser descrita por:

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

Essa fórmula pode ser usada no exemplo do início dessa teoria, ou para qualquer outro exercício de cargas excêntricas ou flexão assimétrica.

A única condição é que os eixos y e z devem ser desenhados do jeito que desenhamos desde o começo, que é o padrão dos livros e exercícios. 👍

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Exercício Resolvido #1

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 300-4.126.

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no ( a ) ponto A , ( b ) ponto B e ( c ) ponto D .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O momento M = 250   N * m pode ser decomposto em uma componente horizontal M z e uma componente vertical M y de acordo com o ângulo de 30 ° indicado pelo exercício, como mostra a imagem abaixo:

Daí que, calculando essas componentes, vamos poder descrever as tensões σ nessa seção transversal através da fórmula:

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

Sendo que nesse caso, como não temos uma força interna normal N (temos só os momentos M z e M y ), essa fórmula fica assim:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões σ :

( a ) No ponto A , de posição y A = 50   m m e z A = 40   m m ;

( b ) No ponto B , de posição y B = - 50   m m e z B = 40   m m ;

& c No ponto D , de posição y D = - 50   m m e z D = - 40   m m .

Então, para resolver o exercício, temos que:

1. Calcular as componentes M z e M y do momento M = 250   N * m aplicado.

2. Calcular os momentos de inércia da área em relação ao eixo z , I z z , e em relação ao eixo y , I y y .

& 3. Aplicar a fórmula σ = - M z y / I z z + M y z / I y y para os pontos A , B e D .

Passo 2

Então primeiro, vamos calcular as componentes de M .

Observando a imagem abaixo:

...conseguimos ver que:

M z = 250   N * m cos ⁡ 30 ° = 250 * 3 2   N * m = 216,51   N * m

E que:

M y = - 250   N * m s e n   30 ° = - 250 * 1 2   N * m = - 125   N * m

Passo 3

Agora, para calcular os momentos de inércia da área I z z e I y y , observamos as dimensões da seção transversal:

Da imagem, temos que a seção tem dimensões de 80   m m   ×   100   m m