Cargas Excêntricas e Flexão Assimétrica

Teoria Completa

Atenção: Esse assunto não é cobrado por muitos professores.

Agora, se você já tiver visto em sala algum exercício em que momentos foram aplicados em mais de uma direção, ou se você já viu a fórmula...

σ = N A + M z y I z z + M y z I y y

...ou alguma outra fórmula parecida, então vale a pena estudar esse tópico. 😉

Introdução

Vamos dizer que você tem a viga da imagem abaixo e aplica uma força P = 10   k N de compressão bem no canto dela:

Essa força P é excêntrica: ela está atuando fora do centro da seção transversal da viga.

Por ser uma força de compressão, ela vai gerar uma força interna normal N = - P na viga.

Mas por ser excêntrica, ela também vai gerar, além dessa força normal, momentos na viga:

  • Por estar 15   c m à esquerda do eixo vertical y , ela vai gerar um momento fletor M y (ou “ M F l y ”) em relação a esse eixo y , flexionando a viga para a esquerda;
  • E por estar 10   c m abaixo do eixo horizontal z , ela vai gerar um momento fletor M z (ou “ M F l z ”) em relação a esse eixo z , flexionando a viga para baixo.

Como mostra a imagem abaixo:

Perceba que a carga é excêntrica, mas os momentos M y e M z atuam sobre o eixo de simetria!

Lembrete de tensão normal

Para calcular as tensões normais σ , num ponto P , em uma peça devido a um momento fletor M F l aplicado em volta do eixo horizontal z , utiliza-se a fórmula da flexão:

Onde:

  • M F l é o momento atuante no eixo z .
  • y é a distância entre o eixo z e o ponto P .
  • I z z é o momento de inércia da seção com relação ao eixo z .

Tensão normal para o caso assimétrico

Mas agora, nós temos um caso de flexão assimétrica, em que existem momentos em duas direções, sendo que esses dois momentos vão gerar tensões normais σ na peça.

(A “assimetria” vem do fato de que se juntarmos os momentos M y e M z , o momento fletor resultante não vai estar em volta de um eixo de simetria.)

Além disso, ainda temos um força normal N nessa viga, que também vai gerar tensões normais σ nela, de acordo com a fórmula σ = - N / A (o sinal negativo existe porque estamos falando de uma compressão).

Então nesse caso, como devemos calcular as tensões normais σ na peça??

Nós vamos somar esses três termos relativos: à força compressiva P e aos dois momentos fletores M y e M z . Mas para isso vamos precisar da regrinha da mão direita.

Regra da Mão Direita

O primeiro passo para calcular as tensões normais σ na peça vai ser definir bem os esforços internos nela ( N , M y e M z ).

Quanto à força normal N ... lembra aí!

Nós podemos definir ela como N = + P caso P seja uma força de tração ou N = - P caso P seja uma força de compressão.

Agora...

Quanto aos momentos M y e M z , nós sabemos que eles são calculados multiplicando a força P pelos seus braços em relação aos eixos y e z , respectivamente.

Mas para saber se esses momentos tem valores positivos ( + ) ou negativos ( - ), nós temos que recorrer à regra da mão direita:

Usando essa regra, é possível trocar as setas curvas que representam os momentos por setas duplas.

Caso essas setas duplas estejam no mesmo sentido dos eixos y e z , então elas são positivas ( + ). Caso elas estejam no sentido contrário, elas são negativas ( - ).

Por exemplo: fazendo essa troca para os momentos gerados pela nossa força P excêntrica, vemos que os dois momentos, M y e M z , vão ter valores negativos naquele caso:

Método da Superposição

Depois que os esforços internos N , M y e M z estiverem bem definidos, o segredo para resolver esses exercícios de cargas excêntricas ou flexão assimétrica está em usar o método da superposição.

Ou seja, devemos determinar o efeito de cada esforço na peça, e depois somar esses efeitos.

Quanto à força normal N , sabemos que ela vai gerar uma tensão:

σ = N A

E quanto ao momento fletor M z em relação à horizontal, já sabemos que vale para ele a fórmula da flexão, que fica assim:

σ = - M z y I z z

E como ficaria então a tensão normal no ponto P do nosso exemplo por causa do momento em z ?

Primeiro temos de achar o momento em z , que é dado pela força vezes a distância em y :

M z = - ( P × 10   c m )

Como P = 10   k N , vamos ter:

M z = - 10.10 3 × 0,1 = - 1   k N . m

Negativo porque já víamos que esse momento é negativo.

Agora vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z , assim, vamos ter:

I z z = b h 3 12

Como estamos no eixo z a nossa base vale 30   c m e a nossa altura 20   c m . Sendo assim:

I z z = 0,30 0,20 3 12

I z z = 2.10 - 4   m 4

Substituindo na equação nós vamos ter:

σ = M z y I z z

Como estamos calculando o valor da tensão normal exatamente no ponto P e aplicação, então:

y = - 10   c m = - 0,10   m

σ = ( - 10 3 ) ( - 0,10 ) ( 2.10 - 4 )

σ = 0,5   M P a

Perceba que temos um sinal positivo, logo temos uma tensão normal trativa nesse ponto.

Mas ainda falta a gente saber como é a tensão gerada por M y .

Então vamos pensar...

Dá para imaginar que a fórmula que descreve a tensão gerada por M y é semelhante à que descreve a tensão gerada por M z , mas com algumas diferenças.

Primeiro, a flexão causada por M y é em volta da vertical y , então:

  • A posição y da fórmula da flexão tradicional relativa à linha neutra horizontal em z deve ser trocada por uma posição z relativa à linha neutra vertical em y ;
  • E o momento de inércia da área I z z em relação ao eixo z deve ser trocado por um em relação ao eixo y , I y y .

Sendo que, para o cálculo de I y y , valem as dicas abaixo:

Concluímos que a tensão gerada por M y vai ser descrita pela fórmula:

σ = M y z I y y

Então vamos fazer esse cálculo para o nosso exemplinho:

Primeiro vamos calcular o momento M y , lembrando que temos de utilizar a distância em z :

M y = - ( P × 15   c m )

Como P = 10   k N :

M y = - 10.10 3 0,15 = - 1,5   k N . m

Lembre-se que temos um momento negativo, por causa da regra da mão direita.

Agora vamos calcular o momento de inércia em torno do eixo y , lembrando agora que a base é a medida de 20   c m e a altura a medida de 30   c m .

I = b h 3 12

I y y = 0,20 0,30 3 12

I y y = 4,5.10 - 4   m 4

Agora é só substituir:

σ = M y z I y y

Lembrando que o ponto P está localizado em:

z = 15   c m = 0,10   m

σ = - 1,5.10 3 0,15 4,5.10 - 4

σ = - 0,5   M P a

Então no ponto P vamos ter uma tensão compressiva devido ao momento M y .

Para entender um pouco melhor vamos olhar o exemplo abaixo:

Para um momento M y positivo ( + ), ocorre tração ( + ) para valores positivos ( + ) de z e compressão ( - ) para valores negativos ( - ) de z , como mostra a imagem abaixo:

Mas no nosso exemplo M y é negativo certo? Então num ponto em que temos z positivo vamos ter compressão ao invés de tração.

Fórmula Geral da Tensão Normal

Aí, fazendo a superposição dos efeitos de N ( σ = N / A ), de M z ( σ = - M z y / I z z ) e de M y ( σ = M y z / I y y ), encontramos que a tensão normal em uma peça em um caso geral vai ser descrita por:

σ = | N | A + | M z y | I z z + | M y z | I y y

Essa fórmula pode ser usada no exemplo do início dessa teoria, ou para qualquer outro exercício de cargas excêntricas ou flexão assimétrica.

Galera, percebam que eu coloquei tudo em módulo porque não é necessário ficar decorando os sinais. A gente já calculou os valores e vimos se é compressão ou tração. Pra resolver é só colcoar um valor negativo na compressão e positivo na tração.

Então para o nosso exemplo vamos ter:

M z y I z z = + 0,5   M P a   ( t r a ç ã o )

| M y z | I y y = - 0,5   M P a   ( c o m p r e s s ã o )

σ = | N | A + 0,5 - 0,5

σ = N A

Então basta achar o valor da normal sobre a área, como a normal é igual a própria força P = 10   k N vamos ter

σ = - 10.10 3 0,20 0,30

σ = - 166,67   M P a   ( c o m p r e s s ã o )

Então resolvemos nosso exercício inicial, mas aqui vale ressaltar uma parada! Por acaso as duas tensões relativas aos momentos se anularam, isso nem sempre vai acontecer ok?

Então vamos partir para os exercícios e praticar um pouco mais!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 300-4.126.

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no ( a ) ponto A , ( b ) ponto B e ( c ) ponto D .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O momento M = 250   N * m pode ser decomposto em uma componente horizontal M z e uma componente vertical M y de acordo com o ângulo de 30 ° indicado pelo exercício, como mostra a imagem abaixo:

Daí que, calculando essas componentes, vamos poder descrever as tensões σ nessa seção transversal através da fórmula:

σ = N A - M z y I z z + M y z I y y

Sendo que nesse caso, como não temos uma força interna normal N (temos só os momentos M z e M y ), essa fórmula fica assim:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões σ :

( a ) No ponto A , de posição y A = 50   m m e z A = 40   m m ;

( b ) No ponto B , de posição y B = - 50   m m e z B = 40   m m ;

& c No ponto D , de posição y D = - 50   m m e z D = - 40   m m .

Então, para resolver o exercício, temos que:

1. Calcular as componentes M z e M y do momento M = 250   N * m aplicado.

2. Calcular os momentos de inércia da área em relação ao eixo z , I z z , e em relação ao eixo y , I y y .

& 3. Aplicar a fórmula σ = - M z y / I z z + M y z / I y y para os pontos A , B e D .

Passo 2

Então primeiro, vamos calcular as componentes de M .

Observando a imagem abaixo:

...conseguimos ver que:

M z = 250   N * m cos ⁡ 30 ° = 250 * 3 2   N * m = 216,51   N * m

E que:

M y = - 250   N * m s e n   30 ° = - 250 * 1 2   N * m = - 125   N * m

Passo 3

Agora, para calcular os momentos de inércia da área I z z e I y y , observamos as dimensões da seção transversal:

Da imagem, temos que a seção tem dimensões de 80   m m   ×   100   m m .

Aqui, a fórmula do momento de inércia da área de um retângulo I = b h 3 / 12 vale tanto para I z z quanto para I y y .

Além disso, nessa fórmula, a base b e a altura h correspondem, respectivamente, à dimensão paralela e à dimensão perpendicular ao eixo em relação ao qual se está calculando o momento de inércia da área.

Dessa forma, o momento de inércia da área em relação ao eixo z vai ser:

I z z = b h 3 12 = 80 100 3 12 = 6,667 * 10 6   m m 4

Enquanto que o momento de inércia da área em relação ao eixo y vai ser:

I y y = b h 3 12 = 100 80 3 12 = 4,267 * 10 6   m m 4

Passo 4

Por fim, podemos calcular a tensão σ em cada ponto:

σ A = - M z y A I z z + M y z A I y y

σ B = - M z y B I z z + M y z B I y y

&

σ D = - M z y D I z z + M y z D I y y

Substituindo, nessas equações:

  • M z = 216,51   N * m = 261,51 * 10 3   N * m m ;
  • M y = - 125   N * m = - 125 * 10 3   N * m m ;
  • I z z = 6,667 * 10 6   m m 4 ;
  • I y y = 4,267 * 10 6   m m 4 ;
  • E as posições de A , B e D apontadas lá no passo 1 , todas em m m ,

Vamos ter que:

σ A = - 216,51 * 10 3 50   m m 6,667 * 10 6 + - 125 * 10 3 40   m m 4,267 * 10 6   N / m m 2

σ B = - 216,51 * 10 3 - 50   m m 6,667 * 10 6 + - 125 * 10 3 40   m m 4,267 * 10 6   N / m m 2

&

σ D = - 216,51 * 10 3 - 50   m m 6,667 * 10 6 + - 125 * 10 3 - 40   m m 4,267 * 10 6   N / m m 2

Finalmente, calculando tudo para cada uma dessas tensões e sabendo que N / m m 2 é o mesmo que M P a , encontramos as nossas respostas:

Resposta

σ A ≅ - 2,80   M P a

σ B ≅ 0,452   M P a

&

σ D ≅ 2,80   M P a

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Uma força P = 10   k N é aplicada na plataforma da figura abaixo, que é sustentada por uma coluna retangular (em azul na figura) com uma seção transversal de 60   c m   ×   30   c m . A posição da força P em relação ao centro da plataforma e da coluna está indicada na figura.

Determine a tensão normal σ máxima nessa coluna.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

A carga excêntrica P = 10   k N vai gerar, no centro da coluna:

  • Um momento M z em relação ao eixo z ;
  • Um momento M y em relação ao eixo y ;
  • E uma força axial P ,

Como mostra a figura abaixo:

Todos esses três carregamentos vão gerar tensões normais σ nessa coluna:

Primeiro, o momento M z em relação ao eixo z vai gerar uma tensão normal de flexão σ de acordo com a fórmula da flexão de sempre:

σ = - M z y I z z

Onde:

  • M z é o momento em relação ao eixo z , positivo no sentido que está desenhado na figura acima, que já é também o sentido do momento M z gerado pela força P ;
  • y é a posição do ponto em que se quer avaliar a tensão σ em relação à linha neutra, localizada no eixo z ;
  • & I z z é o momento de inércia da área da seção transversal dessa coluna em relação ao eixo z .

Lembrando que I z z pode ser calculado para um retângulo usando a fórmula:

I z z = b h 3 12