Vigas Compostas

Teoria Completa

Introdução

Um belo dia, munido com seus conhecimentos de resistência dos materiais, você decide reformar os móveis da sua casa.

Você encontra um banco de madeira que deve resistir a um certo momento fletor M F l e decide reforça-lo com uma placa de aço:

Ao fazer isso, você criou uma viga composta por dois materiais.

E aí aqui surge uma dúvida:

Como que vão ficar as tensões σ em cada material devido ao momento fletor M F l aplicado nessa viga composta?

Método da Seção Transformada

Para descobrir como vão ficar essas tensões σ , o caminho é usar o método da seção transformada.

Esse método consiste em transformar a seção transversal composta pelos dois materiais em uma seção equivalente feita de um único material.

Podemos, por exemplo, pegar a parte da seção que é de madeira e transformá-la em uma parte equivalente de aço. (Ou vice-versa!)

E como fazemos essa transformação?

Fazemos ela definindo um fator de transformação n , que é uma razão entre o módulo de elasticidade E da parte que está sendo “transformada” e o módulo de elasticidade parte que vai permanecer intacta:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a E p a r t e   i n t a c t a

Escolhendo transformar, por exemplo, a parte de madeira em uma parte equivalente de aço, teríamos que:

n = E m a d e i r a E a ç o

Nesse caso, como o aço tem um módulo de elasticidade E maior que a madeira, o fator n será menor do que 1 .

Mas caso a gente escolhesse por transformar aço em madeira, teríamos o inverso e n seria maior do que 1 .

Definido esse fator, nós devemos identificar a largura original b da parte que será transformada, para, em seguida, calcularmos a nova largura b ' dessa parte:

b ' = n b

Assim, completamos a transformação da seção antiga composta em uma seção equivalente/transformada feita de um único material:

Cálculo das Propriedades Geométricas

Depois que a seção equivalente tiver sido definida, nós podemos calcular normalmente para ela:

  • A posição y - da sua linha neutra;
  • & e o seu momento de inércia da área I z z (ou só “ I ” para alguns professores),

Usando os métodos que vimos lá quando estudamos a fórmula da flexão, resumidos na figura abaixo:

Lembrando que o momento de inércia da área de um elemento é dado pela fórmula I i = b h 3 / 12 para elementos retangulares e I i = π r 4 / 4 para elementos circulares.

Cálculo das Tensões nos Materiais

Calculadas as propriedades geométricas para a seção equivalente, vamos estar prontos para descrever as tensões σ nos materiais.

Como?

Usando a fórmula da flexão, mas com uma diferença MUITO IMPORTANTE!

Para o cálculo das tensões nas partes que ficaram intactas, vamos usar a fórmula da flexão de sempre:

σ p a r t e s   i n t a c t a s = - M F l y I z z

...que para alguns professores é escrita como só - M y / I .

Mas para o cálculo das tensões nas partes que foram transformadas, vamos multiplicar a fórmula da flexão pelo fator de transformação n :

σ p a r t e s   t r a n s f o r m a d a s = - n M F l y I z z

Como no exemplo abaixo:

Distribuição de tensões

Por fim, alguns exercícios podem pedir que você desenhe a distribuição das tensões σ de flexão em uma seção transversal de uma viga composta.

Nesse caso, você deve não só calcular as tensões σ máximas em cada material, como também calcular as tensões σ em cada material no ponto de junção entre os materiais.

Aí, marcando as tensões calculadas em um gráfico posição × tensão e ligando os pontos por retas, vamos ter a distribuição de tensões na seção da viga composta, como mostra a imagem abaixo:

Sendo que nesse gráfico, dá para observar como sempre vai haver um salto (aumento OU redução) de tensão nos pontos de junção entre materiais.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 239&240-6.125.

A viga composta é feita de aço A-36 ( A ) e latão vermelho C83400 ( B ) e tem a seção transversal mostrada na figura. Se for submetida a um momento M = 6,5   k N * m , determine a tensão máxima no latão e no aço. Determine também a tensão em cada material na junção entre eles.

Dados: E a ç o = 200   G P a , E l a t = 101   G P a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

Nesse exercício, nós temos uma viga composta por uma parte superior de aço (com módulo de elasticidade E a ç o = 200   G P a ) e uma parte inferior de latão (com módulo de elasticidade E l a t = 101   G P a ).

Além disso, tanto a parte de aço quanto a parte de latão possuem uma altura h = 100   m m e uma largura ou base b = 125   m m .

A viga é submetida a um momento M = 6,5   k N * m , que vai gerar tensões normais de flexão σ nela.

Mas como ela é composta, não podemos usar diretamente a fórmula da flexão nela.

Precisamos primeiro usar o método da seção transformada (que também pode ter infinitos outros nomes como método da área equivalente ou método da largura equivalente).

De acordo com esse método, se escolhermos transformar a parte de latão em uma parte equivalente de aço, por exemplo, devemos definir um fator de transformação n :

n = E l a t E a ç o

Para depois calcular a largura b ' da parte de aço equivalente à parte de latão:

b ' = n b

Dessa forma, vamos conseguir definir uma seção transformada ou equivalente feita toda de aço:

Assim, para essa seção transformada, será possível calcular as tensões normais de flexão σ normalmente, através dos passos que já conhecemos:

  • Determinação da posição y - da linha neutra;
  • Determinação do momento de inércia da área I para a seção;
  • E finalmente, aplicação da fórmula da flexão σ = - M y / I .

Aí, ao final, as tensões σ no aço podem ser calculadas diretamente pela fórmula da flexão, enquanto que as tensões σ no latão, que teve sua largura transformada, devem ser multiplicadas por n .

Ou seja:

σ l a t = - n M y I

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão σ máxima no latão e no aço, que vão ocorrer nas bordas inferior e superior da seção.

Além disso, ele também que a gente determine as tensões σ no latão e no aço no ponto em que há a interface entre esses materiais.

Então, para resolver o exercício, vamos:

  • Transformar a seção composta em uma seção transformada feita toda de aço;
  • Calcular as propriedades geométricas ( y - e I ) para essa seção transformada;
  • Identificar as posições y em relação à linha neutra das bordas inferior e superior da seção, além da posição y da borda entre os materiais;
  • E, finalmente, aplicar a fórmula σ a ç o = - M y / I para determinar as tensões no aço e a fórmula σ l a t = - n ( M y / I ) para determinar as tensões no latão, uma vez que o latão teve sua largura transformada anteriormente.

Passo 2

Então vamos lá!

Primeiro, vamos fazer a:

Para tanto, começamos definindo o fator de transformação:

n = E l a t E a ç o

Substituindo os valores desses módulos de elasticidade E de acordo com os dados fornecidos pelo exercício, vamos ter que:

n = ( 101   G P a ) ( 200   G P a ) = 0,505

Agora, podemos calcular o valor da largura b ' da parte de aço equivalente à parte de latão:

b ' = n b

Substituindo n = 0,505 e a largura original da parte de latão, b = 125   m m , temos:

b ' = 0,505 125   m m = 63,125   m m

Dessa forma, a nossa seção transformada fica assim:

Passo 3

Agora, podemos determinas as:

Primeiro, determinamos a posição y - da linha neutra.

Para tanto, começamos numerando os elementos da seção transformada e estabelecendo a base da seção como a posição 0 :

Com isso, podemos preencher uma tabela com os valores das áreas A i e das posições dos centros y - i de cada elemento: