Fórmula da Flexão

Teoria Completa

Introdução

Agora, vamos dizer que uma questão da sua prova pede que você determine a tensão máxima devido à flexão na viga em “T” abaixo:

Como você resolve esse exercício?

Bom...

O primeiro passo pode ser aplicar os métodos da estática (DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos e diagramas de esforços internos) para essa viga.

Fazendo isso, você vai encontrar esforços internos nessa viga na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Você pode encontrar, por exemplo, que na seção transversal crítica dessa viga, bem no meio dela, ela está submetida a uma força cortante V = 5   k N e a um momento fletor máximo M F l = 10   k N * m :

E aí aqui a coisa complica...

Porque a gente até já viu:

  • Lá em “cargas axiais”, como descrever as tensões σ = N / A causadas pela tração ou compressão de uma força normal N ;
  • E lá em “torção”, como descrever as tensões τ = T c / J geradas pela torção de um torque interno T (ou momento torsor M T , para alguns professores);

E, depois, a gente até vai ver:

  • No próximo assunto, de “cisalhamento”, como calcular as tensões devido à força cortante V numa peça.

Mas aqui e agora, nós precisamos saber como é a tensão que é gerada pela flexão de um momento fletor M F l :

E a gente realmente precisa saber descrever essa tensão!!

Isso porque (spoiler!) a falha da maioria das estruturas em Resistência dos Materiais e na vida real acontece por causa da tensão de flexão de um momento fletor.

Então... fica a pergunta:

Como é & como calculamos a tensão criada por um momento fletor?

Fórmula da Flexão

A primeira coisa que podemos observar é que um momento fletor aplicado em um elemento de uma peça comprime algumas “fibras” desse elemento e estica/traciona outras:

Então, como tração e compressão estão reclacionados à existência de tensões normais σ , isso significa que o momento fletor gera tensões normais σ em uma peça!

Aí uma galera estudou essa tração/compressão devido ao momento e descobriu que a tensão normal σ gerada pelo momento fletor M F l é descrita pela fórmula:

σ = - M F l y I z z

Que é chamada de fórmula da flexão, onde:

  • M F l (ou só “ M ” para alguns professores) é o momento fletor em uma seção da peça;
  • y é a posição do ponto em que se quer calcular a tensão σ em relação à centroide/linha neutra da seção transversal da peça;
  • & I z z (ou só “ I ”) é uma propriedade geométrica da seção transversal, chamada de momento de inércia da área.

Beleza...

Mas o que é que essa fórmula significa?

Olhando para ela e considerando um momento fletor M F l positivo ( + ), vemos que:

1. Para valores positivos ( + ) de y (ou seja, em pontos acima da centroide/linha neutra da seção transversal da peça), a tensão normal σ = - M F l y / I z z vai ter valores negativos ( - ), de compressão;

Enquanto que...

2. Para valores negativos ( - ) de y (ou seja, em pontos abaixo da centroide/linha neutra), a tensão σ = - M F l y / I z z vai ter valores positivos ( + ), de tração.

Além disso...

Olhando para ela, também vemos que:

3. A tensão σ cresce linearmente a medida que a posição y relativa à linha neutra aumenta;

& 4. A tensão σ é nula quando y = 0 , ou seja, a tensão é nula na linha neutra.

Tudo isso significa que se fossemos visualizar as tensões σ devido à flexão em uma seção transversal da nossa viga em “T”, veríamos algo assim:

Sendo que, caso o momento fletor M F l fosse negativo ( - ), o contrario aconteceria: teríamos uma tração nas partes da seção acima da linha neutra e uma compressão nas partes abaixo.

E como é que eu uso essa fórmula?

Para usar ela para descobrir as tensões σ em uma seção a partir do momento fletor M F l nela, nós precisamos fazer algumas coisas primeiro, que são:

A. Determinar a posição da linha neutra na sua seção transversal;

& B. Calcular o momento de inércia da área I z z da seção;

Aí, depois de fazer esses dois passos, nós vamos poder definir os pontos y da seção nos quais queremos calcular as tensões σ e fazer esse cálculo.

Então vamos aprender como fazer essas duas coisas!

A. Posição da Linha Neutra

Aqui, existem duas possibilidades.

A primeira é que a seção transversal da sua viga seja simétrica em relação à horizontal, como nos exemplos abaixo:

Nesses casos, a sua linha neutra vai ser essa linha de simetria.

Ou seja, você pode determinar a posição da linha neutra simplesmente dividindo por 2 a altura da sua seção.

A segunda é que a sua seção não seja simétrica em relação à horizontal.

Nesses casos, você terá que separar a viga em elementos numerados (normalmente retângulos ou círculos) e definir uma posição “ 0 ” na base da viga:

Feito isso, você deve usar as dimensões que o exercício forneceu para calcular:

  • As áreas ( A 1 , A 2 , etc.) de cada elemento;
  • E as posições dos centros ( y - 1 , y - 2 , etc.) de cada elemento, contadas a partir da posição “ 0 ” definida.

Feito isso, você pode aplicar a fórmula abaixo:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Que é tipo uma média das posições dos centros y - i de cada elemento ponderada com as áreas A i de cada um.

Assim, através dessa fórmula, você consegue determinar a posição da sua linha neutra, representada por y - (“y barra”):

B. Momento de Inércia da Área

Aqui, mais uma vez, existem duas possibilidades.

A primeira é que a forma da sua seção seja uma forma simples, como um retângulo ou um círculo.

Nesse caso, você pode calcular o momento e inércia da área I z z (ou só “ I ”) usando as fórmulas:

A segunda é que a forma da sua seção seja mais complexa e você tenha que separar ela em elementos numerados retangulares ou circulares, como já fizemos um pouco acima para a nossa viga em “T”.

Nesse caso, você deve:

  • Usando as fórmulas acima, calcular os momentos de inércia da área ( I 1 , I 2 , etc.) de cada elemento;
  • Caso você ainda não tenha feito isso, calcular as áreas ( A 1 , A 2 , etc.) de cada elemento;
  • E, usando a posição da linha neutra que você encontrou anteriormente, calcular as distâncias ( d 1 , d 2 , etc.) do centro de cada elemento até a linha neutra:

Feito tudo isso, você pode determinar o momento de inércia da área I z z da sua seção transversal como um todo aplicando a fórmula abaixo:

I z z = ∑ I i + A i d i 2

Que é um somatório dos momento de inércia da área I i de cada elemento, mas levando também em consideração o teorema dos eixos paralelos.

Cálculo das Tensões

Finalmente, depois de determinar y - e I z z , podemos calcular as tensões σ na nossa seção.

Nesse momento, normalmente o maior interesse está em calcular as tensões máximas de tração e compressão em uma seção.

Então, como queremos determinar as tensões normais de flexão:

σ = - M F l y I z z

...máximas positiva ( + , de tração) e negativa ( - , de compressão), devemos usar os valores máximos positivo e negativo da posição “ y ” em relação à linha neutra.

Sendo que esses valores máximos de y ocorrem sempre para o topo e para a base de uma seção.

Por exemplo:

Caso a gente tenha uma seção com altura total de 80   m m e altura da linha neutra y - = 50   m m , os valores máximos positivo e negativo de y vão ser:

E pronto!

Substituindo na fórmula da flexão os valores de M F l , I z z e y = y t o p o ou y = y b a s e , vamos encontrar as tensões máximas de flexão na nossa viga!

Agora, você já está preparado para fazer uns exercícios resolvidos de flexão aqui, para depois mandar bem na sua prova.

Vamos lá? 👯

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 211-6.56. (Adaptado)

A viga é composta por três tábuas de madeira pregadas como mostra a figura. Se o momento que age na seção transversal for M = 1,5   k N * m , determine a tensão de flexão máxima na viga. Faça um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal.

Dica do Expert: Determine a posição da linha neutra da viga, depois calcule o momento de inércia da área I da viga, e, por último, aplique a fórmula da flexão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O momento M = 150   k N * m aplicado vai gerar na seção transversal da viga uma tensão normal de flexão σ que é descrita pela fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • M (ou M F l ) é o momento fletor aplicado na seção transversal;
  • y é a posição ponto onde se quer calcular a tensão de flexão σ em relação à linha neutra (ou eixo neutro) da viga;
  • & I (ou I z z ) é o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação à sua linha neutra.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine a tensão de flexão σ = - M y / I máxima nessa viga.

Então...

Para resolver o exercício, nós vamos ter que:

1. Determinar a posição y - da linha neutra.

Para fazer isso, podemos fazer uma média das posições y - i dos centros de cada tábua de madeira ponderadas de acordo com as áreas A i de cada tábua:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Sendo que uma das formas de identificar os termos A i e y - i dessa equação consiste em numerar cada tábua da viga e preencher uma tabela como a da figura abaixo:

Feito isso, podemos seguir para os próximos passos, que são:

2. Calcular o momento de inércia da área I para essa viga.

Para fazer isso, vamos ter que nos lembrar:

  • Que o momento de inércia da área I i de cada tábua retangular é I i = ( b h 3 / 12 ) , onde b é a base da tábua (paralela à linha neutra) e h é a sua altura (perpendicular à linha neutra);
  • E que, devido ao teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia da área I da viga vai ser:

I = ∑ I i + A i d i 2

Onde d i é a distância do centro y - i de cada tábua até a linha neutra y - .

& 3. Indicar o valor máximo absoluto de y e calcular a tensão de flexão σ = - M y / I máxima absoluta, resolvendo assim o exercício.

Sendo que o valor máximo de y vai ocorrer sempre ou para o topo ou para a base da viga.

Ao final de tudo, o exercício ainda quer que a gente faça um rascunho da distribuição de tensão que ocorre na seção transversal da viga.

Então sim... Eu sei... Parece muita coisa.

Mas segura aí que você consegue! 👊

Passo 2

Então vamos começar determinando a posição y - da linha neutra.

Para tanto, temos que olhar para a figura original do exercício:

Numerar as 3 tábuas da viga e identificar a base da viga como a posição 0 :

E preencher, em uma tabela, o valor das áreas A i e das posições dos centros y - i de cada tábua, além do produto desses valores para cada tábua: