Teoria

Faaala, galerinha!! No tópico passado a gente abordou o conteúdo relativo à carga crítica e dessa vez vamos aprofundar mais nesse assunto. Antes a gente tinha visto vários exemplos de estruturas com molas e achamos uma tabela para a carga crítica. Ambos estão aqui embaixo:

Mas e se não tiver uma mola no nosso sistema eu ainda posso falar de estabilidade e flambagem?

É claro que sim. Na verdade na maior parte das vezes não vai haver mola mesmo. Agora vamos aprender a resolver problemas de flambagem de estruturas “normais” sem a tal da mola.

Linha elástica aplicada à flambagem

Pessoal, o estuda da linha elástica é muito importante quando a gente fala de flambagem. Isso porque a flambagem é trata da deflexão de uma coluna por causa da instabilidade e a linha elástica é a linha que define essa deflexão. Tudo a ver né?

Caso você tenha esquecido, a equação da linha elástica é a seguinte:

1 E I d 2 y d x 2 = M

Onde y é a deflexão, M o momento fletor, E o coeficiente de elasticidade do material e I o momento de inércia.

A partir dessa equação a gente vai chegar num novo conceito de carga crítica que vai englobar os aspectos da nossa coluna como o módulo de elasticidade E e o momento de inércia I .

Vamos considerar uma coluna, com as extremidades livres para girar, sujeita a compressão por uma força P e ao lado vamos mostrar também um corte nessa coluna afim de conhecer o momento fletor M .

O momento fletor M pode ser achado como a força P vezes a deflexão no ponto y .

M = P . y

Com isso vamos poder substituir esse momento na nossa equação da linha elástica:

1 E I d 2 y d x 2 = P y

Bom, aqui o nosso objetivo não é resolver equações diferenciais então já vou trazer para você o resultado disso aí:

P = n 2 π 2 E I L 2       n = 1,2 , 3 …

Esse n é o número de “barrigas” da nossa barra flambada. Mas aqui é importante perceber que a gente quer achar a carga crítica, correto? Essa carga vai ser a menor possível, logo vamos substituir n = 1 (sempre vamos usar n = 1 para calcular a carga crítica) e obter:

Onde:

  • L é o comprimento
  • E o coeficiente de elasticidade
  • I que é o momento de inércia.

Pessoal, a gente tem que lembrar que esse resultado é para uma coluna com as extremidades livres para girar, ou seja, apoiada em pinos, por exemplo.

Uhulll!! Achamos então uma equação para achar a carga crítica atuando numa coluna a partir de grandezas intrínsecas à própria coluna e a um tipo específico de apoio.

Tensão crítica

Já que temos uma carga crítica gente pode definir uma tensão crítica também. É só lembrar que a tensão é a carga sobre a área:

σ = P A

Substituindo na equação vamos obter:

σ c r = P c r A

σ c r = π 2 E I A L 2

Agora a gente ainda pode utilizar mais um macete! O momento de inércia pode ser dado como a área vezes o raio de giração ao quadrado, lembram disso?

I = A   .   r g i r 2

Sendo assim a gente pode substituir na equação e obter:

σ c r = π 2 E A   .   r g i r 2 A L 2

Simplificando o termo da área:

σ c r = π 2 E   .   r g i r 2 L 2

Essa equação muitas vezes é escrita da forma:

Mas não faz diferença nenhuma! É a mesma coisa só com uma carinha diferente. O legal é que o termo L / r g i r é definido como índice de esbeltez.

Eixo de flambagem

Pra terminar esse conteúdo bacana a gente só precisa saber de mais uma coisinha. A flambagem sempre vai ocorrer no eixo que tem o menor momento de inércia. Por isso não é lá muito inteligente fazer uma coluna retangular por exemplo. Colunas com perfis quadrados e circulares resistem melhor à flambagem.

Por exemplo, a nossa coluna representada abaixo irá fletir entorno do eixo y y , que possui o menor momento de inércia.

Ficamos por aqui e que tal fazer uns exercícios pra amaciar o nosso cerebelo?

Tensão crítica

Eixo de flambagem

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma engenheira deve projetar uma coluna para suportar uma carga total P . Sabendo que o projeto admite apenas dois tipos de colunas do mesmo material, área e comprimento mas uma retangular e outra circular. Qual coluna a projetista deve utilizar se estiver interessado exclusivamente na maior estabilidade possível?

Passo 1

Faaala aí pessoal!! Vamos começar bem de leve e entender o que esse problema quer. A nossa amiga engenheira está interessada na estabilidade, logo a gente está olhando para as equações de flambagem.

Lembre-se também que a flambagem não pode ocorrer!! Isso seria um problema estrutural de instabilidade.

A nossa coleguinha tem duas opções e queremos a que fornece a maior estabilidade:

E aí, qual você escolheria para se equilibrar em cima? É basicamente essa a questão!

Passo 2

Para responder essa questão da maneira mais correta possível a gente tem que lembrar da equação da flambagem com relação à carga crítica:

P c r = π 2 E I L 2

O problema nos fala que as colunas tem o mesmo comprimento e são feitas do mesmo material logo E e L são irrelevantes na análise deste problema, π também é.

Logo a carga crítica vai ser proporcional ao momento de inércia da coluna

P c r ∝ I  

Ou seja, devemos escolher aquela que nos fornece o maior momento de inércia porque assim a coluna consegue suportar uma carga crítica maior.

Passo 3

Vamos olhar novamente as nossas colunas, agora com dois eixos apontados:

Não acho que seja necessário ficar calculando o momento de inércia de cada eixo, mas para refrescar sua memória o momento de inércia é calculado como:

I c í r c u l o = π D 4 64

I r e t â n g u l o = b h 3 12

Pessoal, pouco me interessam esses valores, sabe por quê? Como ambas tem a mesma área então o momento de inércia de um dos eixos da coluna retangular vai ser maior do que o do círculo e o outro menor. Podemos escrever como:

I y y r e t â n g u l o < I c í r c u l o < I x x r e t â n g u l o

Correto? O momento de inércia do círculo é igual em qualquer direção, só pra lembrar.

Agora a gente só precisa lembrar que a flambagem é uma danada e sempre vai ocorrer em torno do menor momento de inércia.

Sendo assim, não interessa que a coluna retangular tem um eixo com o momento de inércia maior, porque vamos analisar sempre o menor momento de inércia.

Logo, a coluna circular é mais estável que a retangular =D

Colunas quadradas também são boas já que possuem o mesmo momento de inércia em ambas as direções. No quesito estabilidade, quanto mais homogênea for a distribuição dos momentos de inércia melhor!

Passo 4

A coluna circular é mais estável que a retangular.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Num projeto mecânico uma carga deve ser elevada por um pistão de aço no formato tubular com diâmetro externo de 50   m m e espessura de 3   m m . Sabendo que podemos considerar as extremidades desse pistão apoiadas por pinos calcule a máxima carga que esse pistão pode suportar sem sofrer flambagem. Dados: E a ç o = 200   G P a , comprimento do pistão L = 3   m .

Passo 1

Olá, pessoas!! Vamos resolver mais uma questãozinha de flambagem. Essa questão é bem direta e nos pede a máxima carga que o pistão pode suportar, aqui o pistão vai agir como se fosse uma coluna e queremos achar o P c r .

Dessa forma vamos utilizar a equação:

P c r = π 2 E I L 2

Aí só precisamos calcular o momento de inércia e substituir na equação =)

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia então. Lembrando que para um círculo vamos ter:

I = π D 4 64

Mas o pistão é um tubo vazado, então vamos ter o seguinte:

Assim,

D e x t = 50   m m

d i n t = 50 - 6 = 44   m m

Para achar o momento de inércia vamos fazer:

I = π D e x t 4 64 - π d i n t 4 64

I = π 64 ( D e x t 4 - d i n t 4 )

Substituindo os valores em metros vamos ter:

I = π 64 ( 0,050 4 - 0,044 4 )

I = 1,23 × 10 - 7   m 4

Passo 3

Agora é só substituir na equação

P c r = π 2 ( 200 × 10 9 ) ( 1,23 × 10 - 7 ) 3 2

P c r = 26,94   k N

Passo 4

P c r = 26,94   k N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Uma coluna retangular de área transversal ( 30 × 50   c m ) e comprimento de 7   m é utilizada para suportar uma carga de 50 00   k N . Sabendo que a coluna é feita de concreto com módulo de elasticidade de 30   G P a . Determine se a coluna irá sofrer flambagem. Dado: Considere apoios por pinos.

Passo 1

Oii, galera!! Mais uma questão aqui que pede basicamente a aplicação da fórmula de flambagem. Lembre-se que essa equação vale quando os apoios são livres para se mexer, como o problema fala de pinos então podemos utilizá-la.

P c r = π 2 E I L 2

A única coisa que a gente tem que prestar mais atenção é que devemos utilizar o menor momento de inércia da nossa coluna, beleza? Lembrem-se que a flambagem é uma danada e sempre vai acontecer no eixo do menor momento de inércia.

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia então. Lembrando que para um retângulo vamos ter:

I = b h 3 12

Para achar o menor momento de inércia é só utilizar o menor termo no lugar do h , já que esse termo é que vai ser elvado ao cubo:

I = 0,50 0,30 3 12 = 1,125 × 10 - 3   m 4

Passo 3

Agora é só substituir na equação

P c r = π 2 E I L 2

P c r = π 2 ( 30 × 10 9 ) ( 1,125 × 10 - 3 ) 7 2

P c r = 6797   k N

Logo a nossa coluna suporta a carga de 5000   k N sem sofrer flambagem.

Passo 4

P c r = 6797   k N

Logo a nossa coluna suporta a carga de 5000   k N sem sofrer flambagem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Uma estrutura mecânica está apoiada com liberdade de giro sobre colunas de aço ( E = 200   G P a ) com comprimento de 10   m . Sabendo que nessa coluna é utilizado o perfil de abas largas W 460 × 158 , qual o valor máximo da carga que pode ser aplicada sobre a coluna de modo a não haver falha nem por escoamento nem por instabilidade. Considere σ e = 250   M P a .

Passo 1

Meus amigos e minhas amigas, essa questão está falando sobre falha por escoamento e por instabilidade (flambagem). Logo vamos ter que fazer as duas análises para ter certeza que não vai dar ruim na nossa coluna.

Então vamos fazer primeiramente a análise de estabilidade e achar a carga crítica P c r por meio da nossa equação da flambagem para colunas apoiadas em pinos (por causa da liberdade de giro):

P c r = π 2 E I L 2

depois vamos utilizar essa carga crítica para ver se não vai ocorrer escoamento:

σ c o m p r e s s ã o = P c r A

Passo 2

Como o problema nos forneceu o perfil da barra a gente não precisa calcular o momento de inércia é só ir numa tabela de perfis de abas largas e achar W 460 × 158 . Aqui eu acho interessante você mesmo olhar numa tabelinha dessas para se acostumar com esse tipo de tabela, mas de qualquer forma vou fornecer os dados importantes aqui:

I x x = 795 × 10 6   m m 4

I y y = 91,6 × 10 6   m m 4

A = 20100   m m 2

Gente, eu coloquei os dois momentos de inércia mas a gente só vai precisar de um, você lembra qual é?

O menor né!! Lembra que a flambagem é uma desgraçada e sempre vai atacar no pronto fraco da nossa coluna que é o menor momento de inércia. Dessa forma o momento de inércia que vamos utilizar é:

I = 91,6 × 10 6   m m 4

I = 91,6 × 10 - 6   m 4

Passo 3

Agora é só substituir na equação da flambagem e achar a carga crítica:

P c r = π 2 E I L 2

P c r = π 2 ( 200 × 10 9 ) ( 91,6 × 10 - 6 ) 10 2

P c r = 1 808   k N

Logo a máxima carga que a coluna consegue suportar sem sofrer flambagem é de 1 808   k N .

Mas essa pode não ser a carga máxima porque essa coluna pode sofrer escoamento por compressão a uma carga de 10   k N por exemplo...

Vamos conferir!

Passo 4

Para calcular a tensão de compressão vamos fazer:

σ c o m p r e s s ã o = P c r A

Substituindo os valores vamos ter:

σ c o m p r e s s ã o = 1 808 × 10 3 20100 × 10 - 3 2

σ c o m p r e s s ã o = 90   M P a

perceba que essa tensão é muito inferior à tensão de escoamento que é de σ e = 250   M P a .

Sendo assim a falha nessa estrutura ocorrerá primeiramente por flambagem. Isso talvez se explique pelo elevado comprimento da coluna (10 metros).

Passo 5

A maior carga admitida nessa configuração é de

P c r = 1 808   k N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

Uma força de 50   k N é aplicada ao sistema mecânica mostrado. Sabendo que todas as hastes são de aço E = 200   G P a . Determine se a coluna vertical sofrerá flambagem. Dado: As hastes possuem índice de esbeltez igual a 100 e área igual a 1000   m m 2 .

Passo 1

Pessoal, esse problema pede para calcularmos a tensão crítica de flambagem σ c r e nos deu o índice de esbeltez, vamos lembrar o que isso significa!

Índice de esbeltez é a relação entre o comprimento e o raio de giração da coluna

í n d i c e   d e   e s b e l t e z = L r g i r

Isso é importante porque podemos calcular a tensão crítica a partir dessa grandeza, já que a tensão crítica pode ser calculada como:

σ c r = π 2 E ( L / r g i r )   2

Dessa forma, para resolver essa questão basta acharmos a tensão crítica a partir da equação da flambagem a cima e comparar com a tensão de compressão da nossa coluna.

Passo 2

Vamos calcular a tensão de compressão da coluna, para isso vamos fazer um diagrama de forças:

Agora percebam que as componentes horizontais não são importantes para o cálculo da flambagem da coluna vertical, por isso iremos queremos apenas R 2 y dessa maneira podemos fazer aplicar o somatório dos momentos em torno da junção das hastes:

∑ M j u n ç ã o = 0

Pessoal, aqui é importante perceber que estamos olhando só para a barra horizontal, logo a força F 2 x não entra nas nossas continhas.

50 0,3 + R 1 y . 0,5 = 0

R 1 y = - 30   k N

Agora é só aplicar o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

- 30 + F 2 y - 50 = 0

F 2 y = 8 0   k N

Passo 3

Para achar a tensão de compressão é só dividir pela área:

σ c o m p r e s s ã o = F 2 y A

Vamos converter a área para metros:

A = 1000   m m 2 = 1000 × 10 - 3 2   m 2 = 10 - 3   m 2

σ c o m p r e s s ã o = 80 . 10 3 10 - 3

σ c o m p r e s s ã o = 8 0   M P a

Beleza, já temos a pressão a qual a nossa haste está submetida. Vamos achar agora a tensão crítica de flambagem

Passo 4

Agora é só substituir na equação da flambagem e achar a carga crítica:

σ c r = π 2 E ( L / r g i r )   2

σ c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 100 )   2

σ c r = 197,4   M P a

Passo 5

Como a tensão de compressão é bem menor do que a tensão crítica de flambagem a nossa haste não sofrerá com a flambagem.

σ c o m p r e s s ã o < σ c r       o k !

Passo 6

σ c o m p r e s s ã o = 80   M P a

σ c r = 197,4   M P a

Como a tensão de compressão é bem menor do que a tensão crítica de flambagem a nossa haste não sofrerá com a flambagem.

σ c o m p r e s s ã o < σ c r       o k !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #6

Uma coluna de aço A - 36 tem comprimento de 4   m e está presa por pinos em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica.

Passo 1

E aííí, meus queridos e minhas queridas, tudo belezinha? Vamos resolver essa questãozinha aí que nos pede a carga crítica. Pra começar é importante frisar que o problema nos diz que a coluna está apoiada em pinos, logo a equação da carga crítica é:

P c r = π 2 E I L 2

O problema nos disse que é um aço A - 36 , que tem E = 200   G P a , e também forneceu o comprimento da coluna de L = 4   m . Então para achar a carga crítica P c r basta a gente calcular o momento de inércia I e substituir na equação!

Passo 2

Antes de sair calculando o momento de inércia igual a uns loucos vamos pensar um pouco...

Uma seção transversal, assim como a fornecida pelo problema, tem diferentes momentos de inércia dependendo do eixo a qual estamos analisando. A flambagem sempre vai acontecer no eixo mais fraco, beleza?

Mas você, que é muito inteligente que eu sei, já percebeu que a figura é simétrica então o momento de inércia em x é igual ao momento de inércia em y . Ahhh, então suave, nesse caso não precisamos nos preocupar muito com a direção, portanto:

I x = I y = I

Agora para calcular a gente tem uma figura composta por duas barras, então vamos calcular cada barra separadamente e somar os momentos resultantes:

I = I 1 + I 2

Aí aqui não tem muito segredo, a base de uma é igual a altura da outra, logo:

I b a r r a = 1 12 b h 3

I 1 = 1 12 0,010 0,060 3 = 1,8.10 - 7   m 4

E

I 2 = 1 12 0,060 0,010 3 = 5.10 - 9   m 4

I = 1,8.10 - 7 + 5.10 - 9  

I = 1,85.10 - 7   m 4

Passo 3

Agora é só substituir na equação da força crítica:

P c r = π 2 E I L 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 1,85.10 - 7 ) 4 2

P c r = 22,82   k N

Passo 4

Pessoal, a gente já até achou a carga crítica mas é importante também saber se não ultrapassamos o limite de escoamento do material também. Como o aço A - 36 tem σ a d m = 250   M P a , então a gente vai fazer:

σ c r = P c r A

A área da seção eu vou calcular como um quadradão ( 60   m m × 60   m m ) menos 4 quadradinhos ( 25   m m × 25   m m ) :

A = 0,060 2 - 4 × 0,025 2 = 1,1.10 - 3   m 2

Então vamos ter:

σ c r = 22,82.10 3 1,1.10 - 3 = 20,75   M P a

Como essa tensão é menor do que 250   M P a então a nossa coluna pode ser utilizada no projeto já que não irá flambar e nem escoar =D

Resposta

P c r = 22,82   k N

Exercício Resolvido #7

Uma barra quadrada é feita de plástico P V C com módulo de elasticidade E = 9   G P a e deformação por escoamento ε = 0,001   m m / m m . Determine as dimensões a de sua menor seção transversal, de modo que não falhe por flambagem elástica. As extremidades estão presas por pinos e seu comprimento é 1250   m m .

Passo 1

Fala aí, meninada marota!

Para começar alguns de vocês podem ter ficados espantados com o termo flambagem elástica, mas não se espantem, isso é exatamente o que temos estudado então não se preocupem!

O que o problema quer é a dimensão a da área da seção transversal, então se fizermos um desenhozinho vamos ter isso aqui:

Correto? O problema disse que é um quadrado né? Show of ball...

A equação da flambagem para extremidades apoiadas em pinos é:

P c r = π 2 E I L 2

O problema até forneceu E , L e de certa forma pede I (que depende da dimensão a ). Mas o problema não forneceu P c r , não é mesmo?

Mas reparem que o problema nos deu esse termo de deformação por escoamento, e se a gente for trazer dos nossos conhecimentos de escoamento vamos lembrar que:

σ e = E ε c

Com esse equação a gente pode achar o tensão de escoamento e pela tensão achar a carga crítica. Então vamos resolver?

Passo 2

Vamos começar então tentando descobrir quem é a nossa força crítica P c r e para isso mas analisar a tensão de escoamento:

σ e = E ε c

Como o problema nos deu E e ε então basta substituir:

σ e = 9   G P a × 0,001 = 9   M P a

Vamos guadar essa informação e analisar a flambagem.

Passo 3

Vamos substituir o que temos na equação da flambagem e ver no que dá:

P c r = π 2 E I ( L ) 2

Sendo que o momento de inércia de um quadrado de lado a é igual a:

I = a 4 12

Subsituindo:

P c r = π 2 ( 9 . 10 9 ) ( a 4 / 12 ) ( 1,250 ) 2

P c r = 4,737.10 9   a 4

Chegamos em algum lugar interessante, mas ainda não dá para resolver o problema. O que fazer então?

Como o problema quer a menor dimensão possível de a , então nós vamos calcular a tensão crítica de flambagem:

σ c r = P c r A

Como a área é:

A = a 2

então:

σ c r = 4,737.10 9 a 4 a 2

σ c r = 4,737.10 9 a 2

Passo 4

Como o problema quer o menor a possível então nós vamos ter que igualar a tensão crítica de flambagem com a tensão de escomento:

9.10 6 = 4,737.10 9 a 2

a = 43,59   m m

Nesse caso a gente nem precisa fazer a verificação do limite de escoamento, porque ao igualar as duas equações a gente já assumiu que a vale para ambas.

Resposta

a = 43,59   m m

Exercício Resolvido #8

Uma coluna de aço A - 36 tem comprimento de 5   m e está apoiada por pinos em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica.

Passo 1

Bom, pessoal, vamos lá resolver mais um exercício! Esse aqui não tem muitos segredos é só lembrar que a equação da flambagem para extremidades apoiadas em pinos é:

P c r = π 2 E I L 2

Aí temos de lembrar também que o coeficiente de elasticidade do aço A - 36 é E = 200   G P a . Além disso o problema forneceu os dados: L = 5   m e nos deu a seção transversal para calcularmos I .

Então basta calcular I e substituir na equação, aí acabou!

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia. Percebam que temos dois eixos:

Como trata-se de um retângulo nós vamos ter que o momento de inércia emc ada eixo é diferente, aí a gente tem que lembrar que a flambagem ocorre no eixo de menor momento de inércia.

A equação do momento de inércia para uma barra retangular é:

I = b h 3 12

Se nos queremos o menor momento de inércia então devemos escolher o menor lado para ser a altura (já que a altura que está sendo elevada ao cubo). Isso faz sentido não faz? Logo, vamos ter que a base vai ser o nosso eixo x mesmo e a altura no eixo y .

I = 0,100 0,050 3 12

Mas a nossa seção é vazada então devemos subtrair o termo de dentro:

I = 0,100 0,050 3 12 - 0,080 0,030 3 12

I = 8,62.10 - 7   m 4

Passo 3

Agora é só substituir na equação da flabagem:

P c r = π 2 E I ( L ) 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 8,62.10 - 7 ) ( 5 ) 2