Carga crítica e análise para diversos tipos de apoio

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Teoria

E aí, abiguinhos!! Como vocês estão? Espero que estejam muitíssimo bem!!!

Hoje vamos falar um pouco mais sobre a carga crítica. A gente já viu que a carga crítica para uma coluna apoiada em pinos, ou qualquer outra forma que possibilite uma angulação é dada por:

Onde:

  • L é o comprimento
  • E o coeficiente de elasticidade
  • I que é o momento de inércia.

Equação geral da carga crítica

Beleza, mas e se a nossa coluna tiver um apoio que não permite rotação?

Antes a gente tinha a equação como:

1 E I d 2 y d x 2 = P y

Onde o termo P y era o momento interno da coluna.

Agora a gente tem que ir adicionar um termo referente ao momento do apoio também:

1 E I d 2 y d x 2 = P ( δ - y )

Ou seja, adicionamos um termo δ relativo ao momento imposto pelo apoio que impede a rotação.

Aí é só resolver essa equação diferencial aí...

Você não precisa resolver essa equação não pô! Sabe por quê? Porque alguém já fez isso pra gente e pra falar a verdade a solução ficaria MUITO parecida com a solução do primeiro caso (do apoio como um pino). Fica assim:

Viu que a única diferença é o termo K ? Esse termo é chamado de fator de comprimento efetivo, e o termo K L é o comprimento efetivo L e .

Comprimento efetivo

Pessoal, comprimento efetivo é o comprimento que vamos utilizar no lugar do comprimento normal na equação, e esse comprimento varia de acordo com cada tipo de apoio.

Por exemplo, se pegarmos um apoio do tipo em pinos o nosso fator de comprimento efetivo K vai ser igual 1. Aí a gente volta para a equação lá do começo, faz sentido né?

L e = K   .     L

Podemos escrever a nossa equação então em função do comprimento efetivo:

E se for outro tipo de apoio a gente tem que olhar o esqueminha aqui embaixo:

Aí é só ver qual o apoio e substituir o valor de K para achar na fórmula!

Perceba que dependendo da configuração a carga crítica pode aumentar ou diminuir, dependendo do valor de K .

Tensão crítica

Pessoal, a gente também pode definir a tensão crítica para diversos apoios também. Só lembrar que:

σ = P A

Substituindo na equação vamos obter:

σ c r = P c r A

σ c r = π 2 E I A ( K L ) 2

Agora a gente ainda pode utilizar mais um macete! O momento de inércia pode ser dado como a área vezes o raio de giração ao quadrado, lembram disso?

I = A   .   r g i r 2

Sendo assim a gente pode substituir na equação e obter:

σ c r = π 2 E A   .   r g i r 2 A ( K L ) 2

Simplificando o termo da área:

σ c r = π 2 E   .   r g i r 2 K L 2

Essa equação muitas vezes é escrita da forma:

Mas não faz diferença nenhuma! É a mesma coisa só com uma carinha diferente. O legal é que o termo K L / r g i r é definido como índice de esbeltez efetivo.

Agora vamos resolver uns exercícios!!!

Comprimento efetivo

Tensão crítica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dadas as colunas abaixo, todas sujeitas aos mesmos carregamentos, com as mesmas dimensões e feitas do mesmo material. Qual delas é a que melhor resiste à flambagem? E qual é a que pior resiste?

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Bom essa questão diz basicamente que tudo é idêntico em cada barra, exceto é claro os apoios. A gente já estudou que apoios diferentes causam reações diferentes na reação da flambagem, modificando o comprimento efetivo da barra.

Lembre-se que a nossa carga crítica pode ser escrita como:

P c r = π 2 E I L e 2

Dessa forma quem possuir o menor comprimento efetivo, possuirá a maior resistência à flambagem.

Passo 2

Show de bola! Mas quem tem o maior comprimento efetivo?

Se a gente lembrar que o comprimento efetivo L e é igual ao produto do fator de comprimento efetivo K vezes o comprimeno da barra L . Então a gente pode notar que queremos o menor K .

L e = K L

Para achar o menor K é só olhar na nossa tabelinha:

Viram que o tipo de engaste que fornece o menor K é o que possui ambas as extremidades engastadas?

Então esse é o mais resistente à flambagem, resposta letra D . Já o pior é um lado engastado e outro livre B

Passo 3

Então esse é o mais resistente à flambagem, resposta letra D . Já o pior é um lado engastado e outro livre B

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

A figura a seguir mostra uma coluna de aço ( E = 200   G P a ) feita com perfil W   360 × 101 . Sabendo que a coluna está engastada na base e presa por um pino no topo calcule a maior força P que pode ser aplicada sobre a coluna para que ela não sofra flambagem.

Passo 1

Pessoal, o problema quer que achemos a maior carga possível, ou seja, a carga crítica de flambagem que é dada pela equação:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

Como nós temos o perfil podemos achar o momente de inércia I por meio da tabela de perfis de abas largas, o módulo de elasticidade E foi dado, o coprimento L também foi dado.

Falta apenas o fator K que podemos achar pela tabela de tipos de apoio. Então partiu resolver.

Passo 2

Vamos começar com o momento de inércia. Como temos um perfil W   360 × 101 então temos:

I = 50,4.10 - 6   m 4

Esse valor pode ser achado em tabelas de perfil de abas largas em qualquer livro de resistência dos materiais =D

Só fique atento porque a tabela fornece valores do momento de inércia em ambos os eixos. Nós devemos escolher o momento de inércia com menor valor, pois aí onde vai acontecer a flambagem.

Passo 3

Agora vamos achar o fator de comprimento efetivo K . Podemos ir lá na teoria e achar o seguinte:

Como se trata de uma extremidade engastada e outra presa por pino vamos ter:

K = 0,7

Passo 4

Agora é só substituir na equação:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 50,4.10 - 6 ) ( 0,7 × 3 ) 2

P c r = 22560   k N

Pessoal, aqui é importante notar que esse valor provavelmente irá ultrapassar os limites de escoamento do aço, devido à pequena área da seção transversal do perfil. Mas como o problema não pediu para fazermos essas análise vamos manter essa resposta.

Passo 5

P c r = 22560   k N

Pessoal, aqui é importante notar que esse valor provavelmente irá ultrapassar os limites de escoamento do aço, devido à pequena área da seção transversal do perfil. Mas como o problema não pediu para fazermos essas análise vamos manter essa resposta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Dois estudantes de engenharia, depois de tomar algumas cervejas, decidem entrar na faculdade e realizar um teste de flambagem utilizando uma máquina de compressão. Sabendo que os dois alunos utilizaram um corpo de prova de aço ( E = 200   G P a ; σ e = 250   M P a ) com 1   m de comprimento e de seção retangular com 50 × 70   m m , sabendo também que eles posicioram o corpo de prova de forma que esteja engastado em ambos as extremidades, diga se eles conseguirão chegar ao ponto de flamgabem ou se o material irá escoar antes.

Passo 1

Que questão doida essa né? kkkk

Enfim, vamos ao que importa. A questão pede para avaliarmos o que acontece primeiro a flambagem ou o escoamento. Para isso a gente vai precisar calcular a tensão crítica de flambagem e comparar com a tensão de escoamento. Faz sentido não faz?

Só para lembrar que o problema deu a tensão de escoamento ( σ e = 250   M P a ) e a tensão crítica de flambagem pode ser encontrada através da seguinte equação:

σ c r = π 2 E I A ( K L ) 2

Ou

σ c r = π 2 E ( K L / r g i r ) 2

obs: É a mesma equação. A única diferença é a consideração do raio de giração

I = A   .     r g i r 2

Passo 2

Bom, partiu então resolver. Vamos calcular a tensão crítica de flambagem, para isso temos que calcular o momento de inércia e área.

Área:

A = 0,050 × 0,070   m 2 = 3,5.10 - 3   m 2

O momento de inércia:

I = 1 12 b h 3

Como o momento de inércia deve ser o menor possível relativo à seção transversal vamos ter:

I = 1 12 ( 0,070 ) ( 0,050 ) 3

I = 7,3.10 - 7   m 4

Só precisamos de mais uma coisinha antes de substituir na equação da tensão crítica, é saber qual o valor do fator de comprimento efetivo K . Pela tabela nós vamos ter que para o caso de ambas as extremidades engastadas K = 0,5

Passo 3

Agora sim é só substituir na equação:

σ c r = π 2 E I A ( K L ) 2

σ c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 7,3.10 - 7 ) ( 3,5.10 - 3   ) ( 0,5 × 1 ) 2

σ c r = 1647   M P a

Percebe que esse valor é bem superior ao valor da tensão máxima de escoamento

σ e = 250   M P a

Logo, os nossos dois estudantes alcoolizados não conseguiram realizar o teste de flabagem, pois o corpo de prova falhou devido à compressão antes.

Passo 4

σ c r = 1647   M P a

Percebe que esse valor é bem superior ao valor da tensão máxima de escoamento

σ e = 250   M P a

Logo, os nossos dois estudantes alcoolizados não conseguiram realizar o teste de flabagem, pois o corpo de prova falhou devido à compressão antes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Uma coluna de aço ( E = 200   G P a ) tem 10 metros de comprimento e é engastada em ambas extremidades, essa coluna utiliza um perfil W 410 × 114 . Como o momento de inércia de um dos eixos do perfil é bem menor do que o outro um reforço foi adicionado, além disso podemos considerar que o reforço está engastado na coluna. Qual a carga crítica suportada pela coluna de forma a não ocorrer flambagem?

Passo 1

Faaala, galera! Nesse problema a questão pede a máxima carga P que pode ser aplicada ao nosso sistema, então precisamos basicamente aplicar a equação da carga crítica:

P c r = π 2 E I K L 2

A gente só precisa prestar atenção com o fato de existir o tal do reforço. Por causa do reforço, a flambagem vai ocorrer diferentemente em cada eixo. Olha só no próximo passo como isso vai acontecer.

obs: O importante é perceber que o reforço segmenta a coluna e isso reduz o comprimento efetivo, o que por sua vez aumenta a carga crítica.

Passo 2

Vamos começar olhando os momentos de inércia do perfil W 410 × 114 , que são tabelados segunda a tabela “perfis de abas largas”:

I x x = 316.10 - 6   m 4

I y y = 17,94 . 10 - 6   m 4

A gente pode perceber que o momento de inércia do eixo x x é bem superior ao do eixo y y . Por esse motivo o reforço é utilizado para a flambagem no eixo y y , não é necessário que se utilize o reforço no eixo x x .

Sendo assim o eixo x x vai suportar a flambagem normalmente com ambas as extremidades engastadas. Vamos ter:

E podemos achar o valor da carga crítica

P c r = π 2 E I x x K L 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 316.10 - 6 ) 0,5 × 10 2

P c r = 24950   k N

Passo 3

Agora vamos partir para a flambagem no eixo y y . Neste caso, por causa do reforço, a coluna irá atuar como duas colunas uma em cima da outra. Dessa forma o comprimento que devemos utilizar é apenas a metade. Como o reforço está engastado na coluna vamos ter algo do tipo:

E podemos aplicar a equação normalmente:

P c r = π 2 E I y y   K L 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 17,94.10 - 6 ) 0,5 × 5 2

P c r = 5666   k N

Perceba que mesmo com o reforço a carga máxima suportada no eixo y y é inferior ao do eixo x x .

Logo a máxima carga para que não ocorra flambagem é de 5666   k N .

Passo 4

A máxima carga para que não ocorra flambagem é de 5666   k N .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

Uma coluna de aço ( E = 200   G P a ) com perfil W 20 0 × 86 é utilizada para suportar uma carga P como mostra a figura. Sabendo que a base esta engastada e o topo com duas cordas impedindo a movimentação na direção x x . Qual a carga crítica suportada pela coluna de forma a não ocorrer flambagem?

Passo 1

Galerinha, o ponto crucial dessa questão é entender que a corda impede a movimentação do topo apenas no eixo x x . Dessa forma vamos ter dois casos de flambagem:

  • Eixo x x – Flambagem com uma extremidade engastada e a outra, que é a das cordas, pode ser considerada apoiada em pinos. Isso acontece porque o movimento de translação é impedido mas o topo ainda é livre para rotacionar.
  • Eixo y y – Onde a corda não faz efeito, sendo assim, teremos uma extremidade engastada e a outra solta.

Aí é só fazer o cálculo separadamente e utilizar a menor carga. É legal a gente ver que essas diferenças de apoios irão influenciar diretamente no comprimento efetivo L e que é dado por

L e = K L

Passo 2

Vamos começar pelo eixo x x . A primeira coisa que vamos fazer é ir na tabela de perfis de abas largas e achar o momento de inércia do perfil W 200 × 86 .

I x x = 94,9.10 - 6   m 4

Depois a gente tem que lembrar que no caso de uma extremidade engastada e outra apoiada em pinos vamos ter:

Dessa forma podemos substituir na equação da flambagem

P c r = π 2 E I x x K L 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 94,9.10 - 6 ) 0,7 × 4 2

P c r = 23818   k N

Passo 3

Agora vamos fazer para o eixo y y . Na mesma tabela vamos achar o momento de inércia em relação ao eixo y y :

I x x = 31,3 . 10 - 6   m 4

Depois a gente tem que lembrar que no caso de uma extremidade engastada e outra livre vamos ter:

Dessa forma podemos substituir na equação da flambagem

P c r = π 2 E I x x K L 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 31,3.10 - 6 ) 2 × 4 2

P c r = 965   k N

Logo a carga crítica é a menor de ambas e será dada por

P c r = 965   k N

Passo 4

Logo a carga crítica é a menor de ambas e será dada por

P c r = 965   k N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #6

Uma coluna de aço A - 36 tem comprimento de 4   m e está engastada na base e presa por pinos no topo. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica.

Passo 1

Olá, meus miguxos!

Essa questão aqui você talvez já até tenha feito uma parecida mas agora temos um ponto que fazer toda a diferença!

O problema nos diz que a coluna está engastada na base e presa por pinos no topo, a equação da carga crítica é:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

E vai ser exatamente essa carga crítica que o problema vai querer!

O problema nos disse que é um aço A - 36 , que tem E = 200   G P a , e também forneceu o comprimento da coluna de L = 4   m . Então para achar a carga crítica P c r a gente precisa calcular o momento de inércia I e descobrir quanto vale esse termo K e substituir na equação!

Passo 2

Primeiro vamos achar o termo K . Esse termo é definido unicamente pelas condições dos apoios e segue sempre o mesmo padrão, e a gente viu na teoria que para o caso engastado na base e topo preso por pino vamos ter K = 7 :

Pronto! Agora é só calcular o momento de inércia e partir pro abraço!

Passo 3

Como a seção é simétrica então não precisamos nos preocupar com qual eixo vamos analisar porque:

I x = I y = I

Agora para calcular a gente tem uma figura composta por duas barras, então vamos calcular cada barra separadamente e somar os momentos resultantes:

I = I 1 + I 2

Aí aqui não tem muito segredo, a base de uma é igual a altura da outra, logo:

I b a r r a = 1 12 b h 3

I 1 = 1 12 0,010 0,060 3 = 1,8.10 - 7   m 4

E

I 2 = 1 12 0,060 0,010 3 = 5.10 - 9   m 4

I = 1,8.10 - 7 + 5.10 - 9  

I = 1,85.10 - 7   m 4

Passo 4

Agora é só substituir na equação da força crítica:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 1,85.10 - 7 ) ( 0,7 × 4 ) 2

P c r = 46,58   k N

Passo 5

Pessoal, a gente já até achou a carga crítica mas é importante também saber se não ultrapassamos o limite de escoamento do material também. Como o aço A - 36 tem σ a d m = 250   M P a , então a gente vai fazer:

σ c r = P c r A

A área da seção eu vou calcular como um quadradão ( 60   m m × 60   m m ) menos 4 quadradinhos ( 25   m m × 25   m m ) :

A = 0,060 2 - 4 × 0,025 2 = 1,1.10 - 3   m 2

Então vamos ter:

σ c r = 46,58   . 10 3 1,1.10 - 3 = 42,34   M P a

Como essa tensão é menor do que 250   M P a então a nossa coluna pode ser utilizada no projeto já que não irá flambar e nem escoar =D

Resposta

P c r = 46,58   k N

Exercício Resolvido #7

Uma coluna de aço A - 36 tem comprimento de 4,5   m e está engastada na base e livre no topo. Se a área da seção transversal river as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica

Passo 1

Bom dia, pessoal!!!

Olhem só como essa questão foi boa com a gente rsrs...

Ela já falou que o aço A - 36 será utilizado, logo E = 200   G P a e σ e = 250   M P a . Além disso forneceu o comprimento L = 4,5   m . Se a gente olhar nossa equação da carga crítica vamos ter:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

Então falta só a gente calcular o momento de inércia I e achar o valor de K . Então partiu achar essas coisitchas.

Passo 2

Primeiro vamos achar o termo K . Esse termo é definido unicamente pelas condições dos apoios e segue sempre o mesmo padrão, e a gente viu na teoria que para o caso engastado na base e livre no topo vamos ter K = 2 :

Pronto! Agora é só calcular o momento de inércia e partir pro abraço!

Passo 3

Pessoal, a flambagem sempre vai ocorrer no eixo de menor momento de inércia, correto? Correto! Isso tem que ter no sangue!!!

Como temos um perfil de abas largas é importante saber que o eixo de menor momento de inércia é o I y aquele que passa exatamente pela alma:

Então o nosso momento de inércia será calculado como a soma de cada uma das três barras, utilizando o eixo y como a base:

I y = I 1 + I 2 + I 3

I y = 0,012 0,200 3 12 + 0,150 0 , 012 3 12 + 0,012 0,200 3 12

I y = 16,02.10 - 6   m 4

Passo 4

Agora é só substituir na equação da força crítica:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 16,02.10 - 6   ) ( 2 × 4 , 5 ) 2

P c r = 390,4   k N

Passo 5

Pessoal, a gente já até achou a carga crítica mas é importante também saber se não ultrapassamos o limite de escoamento do material também. Como o aço A - 36 tem σ a d m = 250   M P a , então a gente vai fazer:

σ c r = P c r A

Calculando a área vamos ter:

A = 0,200 0,012 + 0,150 0,012 + 0,200 0,012

A = 6,6.10 - 3   m 2

Então vamos ter:

σ c r = 390,4   . 10 3 6,6.10 - 3 = 59,15   M P a

Como essa tensão é menor do que 250   M P a então a nossa coluna pode ser utilizada no projeto já que não irá flambar e nem escoar =D

Resposta

P c r = 390,4   k N

Exercício Resolvido #8

O elemento estrutural W 250 × 67 é feito de aço A - 36 e usado como uma coluna de 4,5   m de comprimento. Se as extremidades da coluna estiverem engastadas, a coluna pode suportar a carga crítica sem escoamento?

Passo 1

Falaaa, galerinha!!! Olha essa questão que interessante!! O problema já nos traz o fato de que não podemos analisar apenas a questão da flambagem. Isso porque algumas vezes a nossa coluna resiste à flambagem mas escoa por compressão e isso é muito ruim! Isso acontece quando temos uma coluna muito grossa, pouca esbelta.

Mas voltando ao problema, vamos fazer o basicão: calcular a força crítica e depois ver se essa força gera uma tensão maior ou menor do que a tensão de escoamento do aço.

A questão já falou que o aço A - 36 será utilizado, logo E = 200   G P a e σ e = 250   M P a . Além disso forneceu o comprimento L = 4,5   m . Se a gente olhar nossa equação da carga crítica vamos ter:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

Então falta só a gente calcular o momento de inércia I e achar o valor de K .

Passo 2

Primeiro vamos achar o termo K . Esse termo é definido unicamente pelas condições dos apoios e segue sempre o mesmo padrão, e a gente viu na teoria que para o caso biengastado K = 0,5 :

Pronto! Agora é só calcular o momento de inércia e partir pro abraço!

Passo 3

Pessoal, a flambagem sempre vai ocorrer no eixo de menor momento de inércia!! Se a gente for olhar na tabela para perfis de abas largas vamos ter, para o perfil W 250 × 67 :

I x = 104   m m 4

I y = 22,2   m m 4

obs: o eixo y sempre vai ter o momento de inércia menor para este ripo de perfil. Então vamos utilizar

I y = 22,2   m m 4

I y = 22,2 . 10 - 12   m 4

Passo 4

Agora é só substituir na equação da força crítica:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

P c r = π 2 ( 200.10 9 ) ( 22,2.10 - 12     ) ( 0,5 × 4 , 5 ) 2

P c r = 8656,00   k N

Passo 5

Agora vamos ver se a coluna não escoa. Como o aço A - 36 tem σ a d m = 250   M P a , então a gente vai fazer:

σ c r = P c r A

A área do perfil também é retirada da tabela:

A = 8560   m m 2

A = 8,560.10 - 3   m 2

Então vamos ter:

σ c r = 8656,00     . 10 3 8 , 560 . 10 - 3 = 1011,2   M P a