Enunciado

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100. O ventilador para uma aplicação especial é montado conforme mostrado. O rotor do motor, o eixo e as pás têm uma massa combinada de 2,2   k g com raio de giração de 60   m m . A posição axial b do bloco A de 0,8   k g pode ser ajustada. Com o ventilador desligado, a unidade é balanceada em relação ao eixo x , quando b = 180   m m . O motor e a hélice operam a 1725   r p m no sentido indicado. Determine o valor de b que produzirá uma precessão estacionária de 0,2   r a d / s em relação ao eixo y no sentido positivo.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o esquema do ventilador como um ponto material:

Já foi dado no enunciado que o sentido da precessão será o sentido positivo do eixo y . Como também sabemos que o eixo do giro p fica no eixo z , logo temos que o momento M vai ficar no eixo x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o valor de b . Para isso, precisaremos da formulinha abaixo:

M = I Ω ⋅ p

Onde M é o momento causado pelo peso do bloco A , I é o momento de inércia do conjunto, Ω é a precessão e p a velocidade de giro.

Para começar, vamos calcular o momento de inércia. Sabemos que o raio de giração k dado pela fórmula:

k = I m

Mas como já temos k e m que foram dados pelo enunciado:

0,06   m =   I 2,2   k g

( 0,06   m ) 2 = I 2,2   k g

I = ( 0,06 2   m 2 ) ⋅ 2,2   k g

I = 0,00792   k g ⋅ m 2

Agora, temos que achar a velocidade angular. Só que como ela foi dada em r p m , devemos transformá-la em r a d / s pela fórmula:

ω = 2 π f

Onde f é a frequência. Assim, devemos dividir o valor dado por 60 para mudar de minutos para segundo:

ω = 2 π ⋅ 1725   r p m 60

ω ≅ 180,64   r a d / s

E por fim, para achar o momento causado pelo peso do bloco A e distância b , temos:

M = m A g ⋅ d

Onde a distância d será b - 0,180   m , pois 0,180   m é a distância em que o ventilador fica balanceado com ele desligado.

M = 0,8   k g ⋅ 9,81 m / s 2 ⋅ ( b - 0,180   m )

M = 7,848   b - 1,41264   N ⋅ m

7,848   b - 1,41264   N ⋅ m = ( 0,00792   k g ⋅ m 2 ) ( 0,2 r a d / s ) ( 180,64   r a d / s )

7,848   b - 1,41264   m = 0,28613376   m

7,848   b = 0,28613376   m + 1,41264   m

b = 1,69877376 7,848   m

b = 0,216   m = 216   m m

Resposta

O valor de b para que haja uma precessão estacionária de 0,2   r a d / s é de:

b = 216   m m

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