Enunciado

A partícula 1 é submetida a uma aceleração a =   - k v , a partícula 2 é submetida a a = - k t , e a partícula 3 é submetida a a = - k s . Todas as três partículas partem da origem s = 0 com uma velocidade inicial v 0 = 10   m / s no instante t = 0 , e o módulo de k é 0,1 para todas as três partículas (note que as unidades de k variam de caso para caso). Represente graficamente a posição, a velocidade e a aceleração contra o tempo para cada partícula durante o intervalo 0 ≤ t ≤ 10   s .

Passo 1

Vamos lá, nosso objetivo é encontrar as expressões para posição, velocidade e aceleração em função do tempo para cada um dos casos.

Começamos com o caso em que a = - k v . Vamos usar a definição da aceleração:

a = d v d t

d v = a   d t

d v = - k v   d t

d t = - 1 k d v v

Vamos integrar dos dois lados:

∫ 0 t d t = - 1 k ∫ v 0 v d v v

t = - 1 k ln ⁡ v v 0

ln ⁡ v v 0 = - k t

v ( t ) = v 0 e - k t

Beleza, essa é a velocidade, agora é só integrar para achar a posição (sabendo que s 0 = 0 ).

s t = ∫ 0 t v t   d t

s = ∫ 0 t v 0 e - k t   d t

s = - v 0 k e - k t + v 0 k e 0 = v 0 k ( 1 - e - k t )

s t = v 0 k ( 1 - e - k t )

Essa é a posição, agora é só derivar a velocidade para achar a aceleração:

a t = d v d t = d d t ( v 0 e - k t )

a t = - v o k e - k t

Excelente, vamos para a próxima partícula.

Passo 2

Agora a expressão para aceleração é a = - k t . Esse caso vai ser bem mais fácil, porque já estamos trabalhando com funções do tempo.

a = d v d t

d v = a   d t

∫ v 0 v d v = ∫ 0 t - k t   d t

v - v 0 = - k t 2 2

v t = v 0 - k t 2 2

E agora é só integrar de novo para achar a posição! (Lembrando que s 0 = 0 )

s t = ∫ 0 t v t d t

s t = v 0 t - k t 3 6

Ótimo, vamos para a próxima.

Passo 3

Agora a expressão para aceleração é a = - k s . Dessa vez precisamos fazer algo um pouco mais complicado:

a = d v d t

a = d v d s d s d t = v d v d s

a   d s = v   d v

Substituindo a expressão:

- k s   d s = v   d v

E integrando:

∫ 0 s - k s   d s = ∫ v 0 v v   d v

- k s 2 2 = 1 2 ( v 2 - v 0 2 )

v 2 = v 0 2 - k s 2

v = ± v 0 2 - k s 2

Mas isso ainda está em função da posição, queremos alguma coisa em função do tempo!

v = d s d t

d s = v   d t

d s = ± v 0 2 - k s 2   d t

(Por simplicidade vamos ocultar esse ± agora, depois voltamos a ele):

d t = d s v 0 2 - k s 2

E integrando:

∫ 0 t d t = ∫ 0 s d s v 0 2 - k s 2

t = ∫ 0 s d s v 0 2 - k s 2

E agora o desafio é resolver essa integral.

Passo 4

Vamos começar reorganizando:

t = ∫ 0 s d s v 0 2 1 - k v 0 2 s 2

t = 1 v 0 ∫ 0 s d s 1 - k v 0 2 s 2

E essa é uma integral conhecida:

∫ 1 1 - A x 2 d x = 1 A arcsen ⁡ ( A x ) + C

Então:

t = 1 v 0 v 0 2 k   arcsen ⁡ k v 0 s - arcsen ⁡ 0  

Vamos usar arcsen ⁡ 0 = 0 , já que a constante deve estar associada à posição inicial, que é nula.

t = 1 k arcsen ⁡ k v 0 s

Agora vamos isolar a velocidade:

k t = arcsen ⁡ k v 0 s

s ( t ) = v 0 k sen ⁡ k t

Agora podemos derivar para achar a velocidade:

v t = v 0 cos ⁡ k t

E derivando mais uma vez chegamos na aceleração:

a t = - v 0 k sen ⁡ k t

OBS: Lembra daquele ± que deixamos lá em cima? Como a velocidade inicial é positiva, sabemos que a posição inicial deve crescer logo que o movimento se inicia, então as soluções obtidas estão corretas.

Passo 5

Então agora vamos rever os resultados e substituir os valores para fazer os gráficos.

v 0 = 10   m / s

k = 0,1

Em todos os gráficos a curva vermelha representa a = - k v , a curva a = - k t é azul e a curva a = - k s é verde.

Para as posições temos:

s 1 t = 100 ( 1 - e - 0,1 t )

s 2 t = 10 t - 0,1 t 3 6

s 3 ( t ) = 31,6 sen ⁡ 0,316 t

Para as velocidades temos:

v 1 t = - e - 0,1 t

v 2 t = 10 - 0,1 t 2 2

v 3 t = 10 cos ⁡ 0,316 t

E para as acelerações temos:

a 1 t = - e - k t

a 2 t = - 0,1 t

a 3 t = - 3,16 sen ⁡ 0,316 t

Resposta

As equações da posição são: s 1 t = 100 ( 1 - e - 0,1 t ) , s 2 t = 10 t - 0,1 t 3 6 , s 3 ( t ) = 31,6 sen ⁡ 0,316 t .

As equações da velocidade são: v 1 t = - e - 0,1 t , v 2 t = 10 - 0,1 t 2 2 , v 3 t = 10 cos ⁡ 0,316 t .

As equações da aceleração são: a 1 t = - e - k t , a 2 t = - 0,1 t , a 3 t = - 3,16 sen ⁡ 0,316 t .

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