Enunciado

113- Uma cobertura de 20   k g de uma abertura de um telhado é articulada nos cantos A e B . O telhado forma um ângulo de 30 com a horizontal e a cobertura é mantida em uma posição pelo apoio C E . Determine a ) a intensidade da força exercida pelo apoio e b ) as reações nas dobradiças. Suponha que a articulação em A não exerce qualquer esforço axial.

Passo 1

Nessa janela temos duas forças de reação em A e em B além da força na escora E C e que nós vamos chamar de F E C e a força peso da janela o que nos dá o seguinte diagrama de forças.

O peso W da janela é:

W = 20 × 9.81 = 196.2   N

Ou de forma vetorial:

W = - 196.2 j

E o vetor da força F E C será:

F C E = F × 0 k + 0.9 - 0.9 cos ⁡ 30 i + 0.9 sin ⁡ 30 j 0.9 - 0.9 cos ⁡ 30 2 + 0.9 sin ⁡ 30 2 = F × + 0.121 i + 0.45 j 0.46587

F C E = F × + 0.2588 i + 0.966 j

Passo 2

Letra a) A forma mais fácil de encontrar F E C é calculando a somatória dos momentos no eixo z ser zero ou seja:

∑ M z = 0

Cujo vetor de direção λ z = ( 0,0 , 1 ) e as direções nós conhecemos, fazendo com que tenhamos a seguinte somatória de matrizes:

0 0 1 0.45 0 0 0 - 196.2 0 + F 0 0 1 0.9 0 0 0.2588 0.966 0 = 0

Resolvendo os dois determinantes nós teremos:

- 88.29 + 0.8694 F = 0

F = 101.55   N

Passo 3

Para as reações A e B vamos supor que todas as reações em A e B são positivas e que em A A z = 0 pois A z representaria a força axial na dobradiça.

Agora fazendo a somatória dos momentos no eixo x nós teremos:

1 0 0 0 0 0.6 A x A y 0 + 1 0 0 0 0 0.3 0 - 196.2 0 + 101.55 1 0 0 0 0 0.6 0.2588 0.966 0 = 0

Essa somatória representa o momento causado pela força em A , o momento causado pelo peso da janela e depois o momento de F E C já conhecendo o valor de F .

Resolvendo a determinante temos:

- 0.6 A y + 58.86 - 58.86 = 0 → A y = 0

Agora vamos fazer a somatória dos momentos em relação a origem para encontrar A x .

i j k 0.45 0 0.3 0 - 196.2 0 + i j k 0 0 0.6 A x 0 0 + 101.55 i j k 0.9 0 0.6 0.2588 0.966 0 = 0

Onde a segunda linha da matriz é a posição da força em relação a origem (a primeira matriz é a força peso, a segunda a reação em A e a terceira a força na escora).

Fazendo as determinantes temos:

58.86 i - 88.29 k + 0.6 A x j + ( - 58.86 i + 15.77 j + 88.29 k )

Fazendo a somatória dos momentos em j temos:

0.6 A x + 15.77 = 0 → A x = - 26.28   N

Dessa forma a reação em A terá módulo igual a:

A = - 26.28   N   i

Passo 4

Agora só falta a reação em B e para isso basta fazermos a somatória de todas as forças, supondo que todas as forças em B (em x , y e z ) são positivas. O que nos dá:

∑ F = 0

B + A + W + F E C = 0

B x i + B y j + B z k + - 26.28 i + - 196.2 j + 101.55 0.2588 i + 0.966 j = 0

Fazendo a somatória das componentes que tem k encontramos:

B z = 0

Agora a somatória das forças que tem j :

B y - 196.2 + 101.55 × 0.966 = 0 → B y = 98.1   N

Agora a somatória das forças que tem i :

B x - 26.28 + 101.55 × 0.2588 = 0 → B x = 0   N

Logo a reação em B será:

B = 98.1   j   N

Resposta

a )   101.55   N

b )   A = - 26.28 i   N ;   B = 98.1   j   N

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