Enunciado

115. A nave espacial apresentada é simétrica em relação a seu eixo z e possui um raio de giração de 720   m m em relação a esse eixo. Os raios de giração em relação aos eixos x e y através do centro de massa são ambos iguais a 540   m m . Quando se desloca no espaço, observa-se que o eixo z gera um cone com um ângulo total do vértice de 4 ° , enquanto realiza precessão em torno do eixo da quantidade de movimento angular total. Se a nave espacial tem uma velocidade de giro Փ ˙ em torno de seu eixo z de 1,5   r a d / s , calcule o período τ de cada precessão completa. O vetor giro é no sentido positivo ou negativo da direção z ?

Passo 1

Primeiramente, vamos fazer o esboço da vista frontal da nossa nave espacial, considerando a formação do cone com ângulo total de vértice de 4 ° :

Passo 2

Bom! Isso que desenhamos acima não é um cone, mas o que importa é a intenção. Vamos agora lembrar do fato de que a precessão ψ ˙ está relacionada com a velocidade e o ângulo de giro, respectivamente p e θ , e ao momento de inércia pela seguinte fórmula:

ψ ˙ = I p I 0 - I cos ⁡ θ

Só que uma vez que o momento de inércia é dado pelo produto da massa pelo raio de giração ao quadrado, podemos reescrever a fórmula acima como:

ψ ˙ = m k 2 p m k 0 2 - m k 2 cos ⁡ θ

ψ ˙ = k 2 p k 0 2 - k 2 cos ⁡ θ ⋅ 1 k 2 1 k 2

ψ ˙ = p k 0 2 k 2 - 1 cos ⁡ θ

Uma vez que o eixo z é o responsável por gerar um cone com um ângulo total do vértice de 4 ° , o raio de giração k vai ser 720   m m . E consequentemente, k 0 só vai poder ser o outro, de 540   m m . O que isso quer dizer?

Bem! Se k 0 é maior do que k , a precessão só vai poder ser retrográda, uma vez que I o > I . Logo, o vetor giro vai estar na direção negativa do eixo z .

Passo 3

Não podemos nos esquecer também que apesar do enunciado fazer todo esforço do mundo pra confundir a cabeça, o giro   p é igual a 1,5   r a d / s . Sabendo que a velocidade é de precessão, o período τ vai ser dado pela seguinte fórmula:

τ = 2 π | ψ ˙ |

E substituindo a precessão ψ ˙ , obtemos que:

τ = 2 π k 0 2 k 2 - 1 cos ⁡ θ p

ψ ˙ = 2 π 0,540   m 2 0,720   m 2 - 1 cos ⁡ 2 ° 1,5   r a d / s

ψ ˙ ≅ 1,831   r a d / s

Resposta

ψ ˙ ≅ 1,831   r a d / s

o   v e t o r   g i r o   v a i   e s t a r   n a   d i r e ç ã o   n e g a t i v a   d o   e i x o   z

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