Enunciado

12. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão.

Passo 1

Olhando a figura do enunciado, tiramos no estado plano de tensão, que:

σ x = 90   M P a , tensão normal de tração

σ y = 50   M P a , tensão normal de tração

τ x y = - 35   M P a , com valor negativo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o primeiro e terceiro quadrantes

φ = 60 ° , é o ângulo do plano inclinado com a horizontal

θ = 30 ° , é o ângulo do plano inclinado com a vertical, considerando o sentido anti-horário como positivo. E é esse ângulo, que vamos utilizar em nossos cálculos.

Passo 2

Agora, o que temos que fazer é aplicar as equações de transformação de tensão para determinar o valor de σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' .

Sabemos que σ x ' é dado em função das tensões normais σ x e σ y e da tensão cisalhante τ x y , pela seguinte fórmula:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 c o s c o s   2 θ   + τ x y 2 θ  

Substituímos então, os valores numéricos pertinentes a cada variável:

σ x ' = 90   M P a + 50   M P a 2 + 90   M P a - 50   M P a 2 c o s c o s   ( 60 ° )   + ( - 35   M P a ) ( 60 ° )  

σ x ' = 49,7   M P a

E conhecemos também, a fórmula do nosso σ y ' , que tem o seguinte aspecto:

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 -   τ x y 2 θ    

σ y ' = 90   M P a + 50   M P a 2 - 90   M P a - 50   M P a 2 -   ( - 35   M P a ) ( 60 ° )    

σ y ' = 90,3   M P a

Por fim, falta apenas usar a fórmula para encontrar a tensão cisalhante τ x ' y ' , que tem a seguinte cara:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 +   τ x y c o s c o s   2 θ    

τ x ' y ' = - ( 90   M P a - 50   M P a ) 2 +   ( - 35   M P a ) c o s c o s   ( 60 ° )    

τ x ' y ' = - 34,8   M P a

Encontramos as nossas tensões no plano inclinado de 60 ° com a vertical

Passo 3

E as nossas novas tensões, vão estar dispostas de acordo com a seguinte imagem.

σ x ' = 49,7   M P a , tem valor positivo, de modo que é representado em nosso elemento orientado como uma tensão de tração

σ y ' = 90,3   M P a , tem valor positivo, de modo que é representado em nosso elemento orientado como uma tensão de tração

τ x ' y ' = - 34,8   M P a , tem valor negativo, por isso suas setas de tensão cisalhante convergem para o 2 ° e 4 ° quadrantes.

Resposta

σ x ' = 49,7   M P a

σ y ' = 90,3   M P a

τ x ' y ' = - 34,8   M P a

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