Enunciado

15. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

Da figura do enunciado, que mostra um estado plano de tensão, tiramos que:

σ x = - 30   M P a

σ y = 0

τ x y = - 12   M P a

Passo 2

(a) Agora, dado que temos os valores de σ x ,   σ y e τ x y , vamos encontrar as tensões principais como pede o enunciado:

Sabemos que a fórmula das tensões principais tem a seguinte cara:

σ p r i n c i p a i s = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Bora, então, substituir os valores numéricos de cada variável que a gente já sabe, como foi descrito no P a s s o   1 :

σ 1,2 = - 30   M P a 2 ± - 30   M P a 2 2 + ( - 12   M P a ) 2

σ 1,2 = - 15 ± 19,21   M P a

Vamos obter duas tensões, uma máxima   σ 1 e outra mínima σ 2 . Voltemos aos nossos cálculos, para obter o resultado.

σ 1 = - 15 + 19,21   M P a

σ 1 ≅ 4,21   M P a

σ 2 = - 15 - 19,21   M P a

σ 2 ≅ - 34,21   M P a

Agora, vamos tratar de encontrar o ângulo, em que nosso elemento vai estar orientado no plano. Sabe-se que a fórmula dele é dada por:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 τ x y σ x - σ y

Bem! Já conhecemos o valor de σ x ,   σ y e τ x y . Só falta substituí-los na fórmula do nosso ângulo:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 τ x y σ x - σ y

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 ( - 12   M P a ) ( - 30   M P a )

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 0,8

2 θ p , 1 = tan - 1 ⁡ 0,8

2 θ p , 1 ≅ 38,66 °

θ p , 1 ≅ 19,33 °

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal mínima σ 2 ≅ - 34,21   M P a , como pode-se ver na imagem abaixo:

Mas e o outro ângulo, responsável pela tensão principal máxima σ 2 ≅ 4,21   M P a ?

Aí é so lembrar que os dois ângulos estão relacionado por 90 ° . Basta então, subtrair θ p , 1 de 90 ° , para obter o valor de θ p , 2 :

θ p , 2 = θ p , 1 - 90 °

θ p , 2 ≅ 19,33 ° - 90 °

θ p , 2 = - 70,67 °

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal máxima σ 2 ≅ 4,21   M P a

Passo 3

(b) Esse letra é meio curiosa, porque já resolvemos ela praticamente inteira na letra (a). Quer ver só?

A fórmula da tensão de cisalhamento máximo no plano, é dada pela letra R e igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Viu só, fizemos esse cálculo na letra (a) e a resposta foi, trocando os valores numéricos adequados, igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = - 30   M P a 2 2 + ( - 12   M P a ) 2

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R ≅ 19,21   M P a

E a tensão normal média? Também já resolvemos ela na letra (a). Se não acredita, veja só!

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = - 30   M P a 2  

σ m é d = - 15   M P a

Agora só falta, encontrar o ângulo de cisalhamento θ s , 1 no plano. Sabemos que ele tem a seguinte cara:

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - σ x - σ y 2 τ x y

Vamos substituir os valores numéricos adequados e encontrar nosso ângulo:

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - - 30   M P a 2 - 12   M P a

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - 1,25

2 θ s , 1 = tan - 1 ⁡ ( - 1,25 )

θ s , 1 ≅ - 25,67 °

Se fossemos representar esse ângulo de cisalhamento em um plano, juntamente com a tensão cisalhante máxima e a tensão normal média iríamos obter a seguinte imagem:

Para encontrar o nosso outro ângulo de cisalhamento θ s , 2 , basta somar θ s , 1 , que é negativo, com 90 ° .

θ s , 2 = θ s , 1 + 90 °

θ s , 2 ≅ - 25,7 ° + 90 °

θ s , 2 ≅ 64,33 °

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 265   M P a

σ 2 ≅ - 34,21   M P a

θ p , 1 ≅ 19,33 °

θ p , 2 ≅ - 70,67 °

(b)

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R ≅ 19,21   M P a

σ m é d = - 15   M P a

θ s , 1 ≅ - 25,67 °

θ s , 2 ≅ 64,33 °

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