Enunciado

122- O conjunto mostrado na figura é soldado ao cursor A , que se encaixa no pino vertical mostrado. O pino pode exercer binários em torno dos eixos x e z , mas não impede movimento em torno ou ao longo do eixo y . Para o carregamento mostrado, determine a tração em cada cabo e a reação em A .

Passo 1

Em A teremos reações A x e A z e momentos de reação iguais a M A x e M A z . Para calcular o momento em A precisaremos vetorizar a força nos cabos e para isso vamos considerar um força indo de C até F e outra indo de D até E e então teremos:

F C F = T 1 × - 0.08 i + 0.06 j + 0 k 0.08 2 + 0.06 2 = T 1 ( - 0.8 i + 0.6 j )

F D E = T 2 × 0 i + 0.12 j - 0.09 k 0.12 2 + 0.09 2 = T 2 ( + 0.8 j - 0.6 k )

Considerando as forças saindo de C e de D então precisamos conhecer as distâncias relativas desses pontos em relação a A .

r A C = 0.08 i + 0.135 k

r A D = 0.08 i + 0.09 k

Em C temos também a força de 480   N .

Passo 2

Agora a somatória dos momentos em A será igual a:

i j k 0.08 0 0.1 3 5 0 - 480 0 + T 1 i j k 0.08 0 0.135 - 0.8 + 0.6 0 + T 2 i j k 0.08 0 0.09 0 0.8 - 0.6 + M A z k + M A x i

= 0

Fazendo esses determinantes nós temos:

64.8 i - 38.4 k - T 1 0.081 i + 0.108 j - 0.048 k - T 2 0.072 i - 0.048 j - 0.064 k = 0

Isso nos dará o seguinte sistema para resolver:

- 0.081 T 1 - 0.072 T 2 + M A x = - 64.8

- 0.108 T 1 + 0.048 T 2 = 0

0.048 T 1 + 0.064 T 2 + M A z = 38.4

Nós temos 3 equações para 4 incógnitas. Não conseguimos resolver! Porém vamos resolver a somatória das forças no sistema pois em y não teremos nenhuma influência de A nela:

∑ F y = 0

- 480 j + T 1 0.6 + T 2 0.8 = 0 → 0.6 T 1 + 0.8 T 2 = - 480

Essa equação com a segunda nos dá o seguinte sistema:

- 0.108 T 1 + 0.048 T 2 = 0

0.6 T 1 + 0.8 T 2 = 480

E que nos dará os seguintes valores:

T 1 = F C F = 200   N

T 2 = F D E = 450   N

O que responde a primeira pergunta.

Passo 3

Agora vamos substituir os valores de T 1 e T 2 para encontrar o vetor do momento em A :

M A x = - 64.8 + 0.081 × 200 + 0.072 × 450 = - 16.2   N m

M A z = 38.4 - 0.048 × 200 - 0.064 × 450 = 0

Logo o valor do momento em A   será:

M A = - 16.2   N m i

Passo 4

Agora vamos somar as forças em x e em z para encontrar as reações em A :

∑ F x = 0

A x - 0.8 T 1 = 0 → A x = 160   N

∑ F z = 0

A z - 0.6 T 2 = 0 → A z = 270   N

O que nos dá um vetor de reação em A igual a:

A = 160   N i + 270   N k

Resposta

T 1 = F C F = 200   N

T 2 = F D E = 450   N

M A = - 16.2   N m i

A = 160   N i + 270   N k

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