Enunciado

122. Um projétil que se desloca através da atmosfera com uma velocidade v - que faz um pequeno ângulo θ com seu eixo geométrico é submetido a uma força aerodinâmica resultante R essencialmente no sentido oposto a v - conforme indicado. Se R passa através de um ponto C   ligeiramente a frente do centro de massa G , determine a expressão para a velocidade de giro mínima p para a qual o projétil sera estabilizado pelo giro com θ ˙ = 0 . O momento de inércia em relação ao eixo de giro é I e em relação a um eixo transversal através de G é I 0 . Expresse o resultado como uma equação quadrática em ψ ˙ e determine o valor mínimo de p para o qual a expressão sob o radical é positivo.

Passo 1

Primeiramente, vamos fazer o esboço do nosso sistema posicionando-o em um sistema de eixos coordenados:

Passo 2

Agora, vamos fazer o somatório das forças no eixo x . Você deve estar se perguntando que eixo x é esse que eu não estou vendo? Bem! O eixo x está saindo para fora desse plano, de modo que ele vai ser dado por:

M x = R r - sen ⁡ θ

Só que como trata-se de uma precessão em regime estacionário, onde temos um ângulo θ constante e uma velocidade de giro p constante, temos que M x pode ser escrito como:

M x = ψ ˙ sen ⁡ θ I ψ ˙ cos ⁡ θ + p - I 0 ψ ˙ cos ⁡ θ = R r - sen ⁡ θ

ψ ˙ I ψ ˙ cos ⁡ θ + p - I 0 ψ ˙ cos ⁡ θ = R r -

ψ ˙ 2 I cos ⁡ θ + I p ψ ˙ - I 0 cos ⁡ θ = R r -

E dado o fato de que a precessão ψ ˙ está relacionada com a velocidade e o ângulo de giro, respectivamente p e θ , e ao momento de inércia pela seguinte fórmula:

ψ ˙ = I p I 0 - I cos ⁡ θ

Existem alguma relações que podemos usar na fórmula anterior. São elas:

I p = ψ ˙ I 0 - I cos ⁡ θ I cos ⁡ θ = - I p - ψ ˙ I 0 cos ⁡ θ ψ ˙ I 0 cos ⁡ θ = I p + ψ ˙ I cos ⁡ θ ψ ˙

E substituindo essas relações, ficamos com:

ψ ˙ 2 - I p - ψ ˙ I 0 cos ⁡ θ ψ ˙ + ψ ˙ I 0 - I cos ⁡ θ ψ ˙ - I p + ψ ˙ I cos ⁡ θ ψ ˙ = R r -

ψ ˙ 2 + I p ( I - I 0 ) cos ⁡ θ ψ ˙ - R r - I - I 0 cos ⁡ θ = 0

Passo 3

Olha só que beleza! Obtemos no final do P a s s o   2 uma equação do segundo grau da forma a x 2 + b x + c = 0 , cujas raízes são dadas por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindos nessas conta os valores da equação que queremos, onde:

a = 1 b = I p ( I - I 0 ) cos ⁡ θ c = - R r - I - I 0 cos ⁡ θ

Obtemos nossas raízes iguais a:

ψ ˙ 1,2 = - I p 2 I - I 0 cos ⁡ θ ± I p I - I 0 cos ⁡ θ 2 - 4 - R r - I - I 0 cos ⁡ θ 2

ψ ˙ 1,2 = I p 2 I 0 - I cos ⁡ θ 1 ± 1 - 4 R r - I 0 - I cos ⁡ θ I 2 p 2

ψ ˙ 1,2 = I p 2 I 0 - I cos ⁡ θ 1 ± I 2 p 2 - 4 R r - I 0 - I cos ⁡ θ I 2 p 2

Pronto! Chegamos na relação que queríamos, pois esse radical presente na última expressão que obtivemos precisa obrigatoriamente ser mais ou igual a zero:

I 2 p 2 - 4 R r - I 0 - I cos ⁡ θ I 2 p 2 ≥ 0

I 2 p 2 - 4 R r - I 0 - I cos ⁡ θ ≥ 0

I 2 p 2 ≥ 4 R r - I 0 - I cos ⁡ θ

p 2 ≥ 4 R r - I 0 - I cos ⁡ θ I 2

p ≥ 2 I R r - I 0 - I cos ⁡ θ

E como a questão pede o valor mínimo de p para o qual a expressão sob o radical é positivo, logo p   mínimo é dado por:

p = 2 I R r - I 0 - I cos ⁡ θ

Resposta

p = 2 I R r - I 0 - I cos ⁡ θ

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