Enunciado

Repita o problema 6/88, exceto por T = 50   N e θ = 30 ° .

Imagem do problema 6/88:

Passo 1

Vamos começar desenhando um diagrama da situação no caso em que θ = 30 ° :

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton nas direções horizontal e vertical:

∑ F y = 0

∑ F x = m a x

E então:

N + T sen ⁡ 30 ° - P = 0

T cos ⁡ 30 ° - F = m a

E agora vamos analisar o momento resultante em relação ao centro de massa:

∑ M c m = I α

T cos ⁡ 30 ° 0,075 - F 0,200 = m k 2 α

Onde k é o raio de giração.

Passo 2

E então ficamos com um sistema de três equações:

N + T sen ⁡ 30 ° - P = 0 T cos ⁡ 30 ° - F = m a T cos ⁡ 30 ° 0,075 - F 0,200 = m k 2 α

E podemos escrever uma equação extra se considerarmos que o disco rola sem deslizar:

a = - r α

E nosso objetivo é encontrar α , a e F , de forma que não precisamos da primeira equação, então:

T cos ⁡ 30 ° - F = m a T   0,075 - F 0,200 = m k 2 α a = r α

Vamos substituir os valores numéricos:

50 cos ⁡ 30 ° - F = 25 a 50 0,075 - F 0,200 = 25 0,175 2 α a = - 0,200 α

F = 43,3 - 25 a 3,75 - 0,2   F = 0,766 α a = - 0,2 α

Vamos multiplicar a primeira equação por 0,2 e somar com a segunda:

3,75 = 8,66 - 5 a + 0,766 α

5 a = 0,766 α + 4,91

E agora substituindo com a terceira equação:

5 - 0,2 α = 0,766 α + 4,91

α = - 2 , 78   r a d / s 2

E podemos substituir isso na terceira equação para calcular a :

a = - 0,2 2 , 78 = 0 , 556   m / s 2

E podemos substituir isso na primeira equação para calcular:

F = 43,3 - 25 0 , 556

F = 29,4   N

Passo 3

Agora só precisamos verificar se a nossa condição de rolamento sem deslizamento era razoável.

Já que o coeficiente de atrito estático é 0,1 , então a força de atrito máxima que pode existir entre o disco e o plano é:

F m á x = μ s N

E agora podemos aproveitar a primeira equação do nosso sistema do passo anterior:

F m á x = 0,1 m g - 50 sen ⁡ 30 ° = 0.1 ( 220 ) = 22,025   N

E essa força é inferior a F = 29,4   N , então a nossa suposição não é razoável: a força de atrito não chega ao nível que atribuímos a ela.

Passo 4

Isso quer dizer que o sistema entra no regime de atrito cinética, e portanto a força F é:

F = μ k N = 0,08 m g - 50 sen ⁡ 30 °

F = 0,08 220,25 = 17,62   N

E agora podemos substituir nas equações do nosso sistema para calcular α e a :

F = 43,3 - 25 a

a = 17,62 - 43,3 - 25 = 1,027   m / s 2

E por último:

3,75 - 0,2   F = 0,766 α

α = 3,75 - 0,2 17,62 0,766 = 0,295   r a d / s 2

Resposta

F = 17,62   N , α = 0,295   r a d / s 2 e a = 1,027   m / s 2 .

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