Enunciado

O trem de pouso de uma aeronave, visto de frente, está sendo recolhido imediatamente após a decolagem, e a roda está girando na taxa correspondente à velocidade de decolagem de 200 k m h . A roda de 45   k g tem um raio de giração em relação a seu eixo z de 370 mm. Despreze a espessura da roda e calcule a quantidade de movimento angular da roda em relação a G e em relação a A para a posição em que θ está aumentando na taxa de 30º por segundo.

Passo 1

Primeiramente temos que separar o trem de pouso em duas partes, a primeira parte e a haste que segura as rodas que podemos aproximar para uma um cano fino, e a segunda parte são as rodas que tem formato circular.

Para essa configuração x-y-z são os eixos de inercia principais, pois está centrado no centro do círculo, logo para esse sistema de coordenadas nós podemos abusar da simetria circular que implica em:

I x x = I y y e teremos também devido a essa simetria I z z = I x x + I y y = 2 I x x = 2 I y y

Passo 2

O momento de inercia de um círculo no seu eixo principal é tabelado onde sua coordenada I z z = m * r A 2 para provar isso podemos utilizar 7/10 onde I z z = ∫ x 2 + y 2 d m   onde o n d e   d m = λ * d l onde λ   e a densidade linear de massa e dl um elemento de largura.

Assim:

I z z = 45 * 0.370 2 = 6.16   k g * m 2

Temos também I z z = 2 I x x  

I x x = I z z 2 = 3.08   k g * m 2 = I y y

Entretanto podemos seguir o caminho braçal utilizando a equação 7/10, mas é notória que a simetria do problema facilita sua resolução.

Por fim devemos calcular as componentes da velocidade angular ( ω )

Do enunciado nós temos que θ varia a uma taxa constante de 30º por segundo que em radianos fica 30   º / s = 30 * π 180 = 0.524 r a d s se utilizarmos a regra da mão direita veremos que sua direção é j.

Não temos rotação em x logo ω x = 0

Por fim em z nós teremos o giro devido a velocidade(v) do avião ω z = - v r

ω z = - 200 * 10 3 3600 0.46 ( converta a velocidade para metros/s )

ω z = - 120.8 r a d s

Portanto:

H G = 0 i + 3.08 * - 0.524 j + 6.16 * - 120.8 k

H G = - 1.613 j - 744 k     k g * m 2 s

Passo 3

Para o eixo A nós usaremos o teorema dos eixos paralelos para calcular as componentes do tensor de inercia:

Note que a única coisa que muda de um referencial para o outro é a coordenada y logo a única mudança ser em I y y .

I y y A = I y y + m * d 2 = 3.08 + 45 * 0.215 2 = 5.16   k g * m 2

H A = 0 i + 5.16 * - 0.524 j + 6.16 * - 120.8 k = - 2.70 j - 744 k     k g * m 2 s

Resposta

H G = - 1.613 j - 744 k     k g * m 2 s

H A = - 2.70 j - 744 k     k g * m 2 s

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