Enunciado

13. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

Da figura do enunciado, que mostra um estado plano de tensão, tiramos que:

σ x = 45   M P a , com valor positivo, por ser uma tensão normal de tração na horizontal.

σ y = - 60   M P a , com valor negativo, por ser uma tensão normal de compressão na vertical.

τ x y = 30   M P a , com valor positivo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o primeiro e terceiro quadrantes.

Passo 2

(a) Agora, dado que temos os valores de σ x ,   σ y e τ x y , vamos encontrar as tensões principais como pede o enunciado:

Sabemos que a fórmula das tensões principais tem a seguinte cara:

σ p r i n c i p a i s = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Bora, então, substituir os valores numéricos de cada variável, como já foi descrito no P a s s o   1 :

σ p r i n c i p a i s = 45   M P a - 60   M P a 2 ± 45   M P a + 60   M P a 2 2 + ( 30   M P a ) 2

σ p r i n c i p a i s = - 7,5 ± 60,467   M P a

Calma que ainda não terminou! Se repararmos bem tem um ( ± ) ali, no nosso último cálculo . Isso significa que um resultado vai ter valor máximo e outro vai ter valor mínimo. Concluímos então, que vamos obter duas tensões, uma máxima   σ 1 e outra mínima σ 2 .

σ 1 = - 7,5 + 60,467   M P a

σ 1 ≅ 53   M P a

σ 2 = - 7,5 - 60,467   M P a

σ 2 ≅ - 68   M P a

Agora, vamos tratar de encontrar o ângulo θ p , 1 , em que nosso elemento vai estar orientado no plano. Sabe-se que a fórmula dele, é dada por:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 τ x y σ x - σ y

Bem! Já conhecemos o valor de σ x ,   σ y e τ x y . Só falta substituí-los na fórmula do nosso ângulo:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 ( 30   M P a ) 45 - - 60   M P a

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 0,57143

2 θ p , 1 = tan - 1 ⁡ 0,57143

θ p , 1 ≅ 14,87 °

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal máxima σ 1 ≅ 53   M P a , como pode-se ver na imagem abaixo:

Mas e o outro ângulo, responsável pela tensão principal mínima σ 2 ≅ - 68   M P a ?

Aí, é so lembrar que os dois ângulos estão relacionado por 90 ° . Basta então, subtrair θ p , 1 , que é positivo, de 90 ° , para obter o valor de θ p , 2 :

θ p , 2 = θ p , 1 - 90 °

θ p , 2 ≅ 14,87 ° - 90 °

θ p , 2 ≅ - 75,13 °

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal mínima σ 2 ≅ - 68   M P a .

Passo 3

(b) Esse letra é meio curiosa, porque meio sem querer, já resolvemos ela praticamente inteira na letra (a). Quer ver só?

A fórmula da tensão de cisalhamento máximo no plano, é dada pela letra R e igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Viu só, fizemos esse cálculo na letra (a) e a resposta foi, trocando os valores numéricos adequados, igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = 45   M P a + 60   M P a 2 2 + ( 30   M P a ) 2

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = 60,467   M P a

E a tensão normal média? Também já resolvemos ela na letra (a). Se não acredita, veja só!

A fórmula da tensão normal média σ m é d ,é igual a:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = 45   M P a - 60   M P a 2  

σ m é d = - 7,5   M P a

Agora só falta, encontrar o ângulo de cisalhamento θ s , 1 no plano. Sabemos que ele tem a seguinte cara:

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - σ x - σ y 2 τ x y

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - 45   M P a - - 60   M P a 2 30   M P a

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - 1,75

2 θ s , 1 = tan - 1 ⁡ 1,75

2 θ s , 1 ≅ - 60,2 °

θ s , 1 ≅ - 30,1 °

Se fossemos representar esse ângulo de cisalhamento em um plano, juntamente com a tensão cisalhante máxima e a tensão normal média iríamos obter a seguinte imagem:

Para encontrar o nosso outro ângulo de cisalhamento θ s , 2 , basta somar θ s , 1 , que é negativo, com 90 ° .

θ s , 2 = θ s , 1 + 90 °

θ s , 2 ≅ - 30,1 ° + 90 °

θ s , 2 ≅ 59,9 °

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 53   M P a

σ 2 ≅ - 68   M P a

θ p , 1 ≅ 14,87 °

θ p , 2 ≅ - 75,13 °

(b)

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = 60,467   M P a

σ m é d = - 7,5   M P a

θ s , 1 ≅ - 30,1 °

θ s , 2 ≅ 59,9 °

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