Enunciado

14. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine:

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

Da figura do enunciado, que mostra um estado plano de tensão, tiramos que:

σ x = 180   M P a , com valor positivo, por ser uma tensão normal de tração na horizontal

σ y = 0   M P a , já que não há nenhuma tensão normal de compressão na vertical

τ x y = - 150   M P a , com valor negativo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o segundo e quarto quadrantes

Passo 2

(a) Agora, dado que temos os valores de σ x ,   σ y e τ x y , vamos encontrar as tensões principais como pede o enunciado:

Sabemos que a fórmula das tensões principais tem a seguinte cara:

σ p r i n c i p a i s = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Bora, então, substituir os valores numéricos de cada variável, como já foi descrito no P a s s o   1 :

σ p r i n c i p a i s = 180   M P a 2 ± 180   M P a 2 2 + ( - 150   M P a ) 2

σ p r i n c i p a i s = 90 ± 174,928   M P a

Calma que ainda não terminou! O enunciado pede as “tensões principais”, no plural. Se repararmos bem tem um ( ± ) ali, no nosso último cálculo . Isso significa que um resultado vai ter valor máximo e outro vai ter valor mínimo. Concluímos então, que vamos obter duas tensões, uma máxima   σ 1 e outra mínima σ 2 . Voltemos aos nossos cálculos, para obter o resultado.

σ 1 = 90 + 174,928   M P a

σ 1 ≅ 265   M P a

σ 2 = 90 - 174,928   M P a

σ 2 ≅ - 84,9   M P a

Agora, vamos tratar de encontrar o ângulo θ p , 1 , em que nosso elemento vai estar orientado no plano. Sabe-se que a fórmula dele é dada por:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 τ x y σ x - σ y

Bem! Já conhecemos o valor de σ x ,   σ y e τ x y . Só falta substituí-los na fórmula do nosso ângulo:

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 τ x y σ x - σ y

tan ⁡ 2 θ p , 1 = 2 ( - 150   M P a ) 180   M P a

tan ⁡ 2 θ p , 1 = - 1,66667

2 θ p , 1 = tan - 1 ⁡ - 1,66667

2 θ p , 1 ≅ - 59,03 °

θ p , 1 ≅ - 29,5 °

Mas e o outro ângulo, responsável pela tensão principal mínima σ 2 ≅ - 84,9   M P a ?

Aí é so lembrar que os dois ângulos estão relacionado por 90 ° . Basta então, somar θ p , 1 , que é negativo, com 90 ° , para obter o valor de θ p , 2 :

θ p , 2 = θ p , 1 + 90 °

θ p , 2 ≅ - 29,5 ° + 90 °

θ p , 2 ≅ 60,5 °

Esse é o ângulo responsável pela tensão principal mínima σ 2 ≅ - 84,9   M P a , como podemos ver na seguinte imagem:

Passo 3

(b) Esse letra é meio curiosa, porque meio sem querer, já resolvemos ela praticamente inteira na letra (a). Quer ver só?

A fórmula da tensão de cisalhamento máximo no plano, é dada pela letra R e igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Viu só, fizemos esse cálculo na letra (a) e a resposta foi, trocando os valores numéricos adequados, igual a:

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = 180   M P a 2 2 + ( - 150   M P a ) 2

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R = 174,928   M P a

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R ≅ 175   M P a

E a tensão normal média? Também já resolvemos ela na letra (a). Se não acredita, veja só!

A fórmula da tensão normal média σ m é d ,é igual a:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = 180   M P a 2  

σ m é d = 90   M P a

Agora só falta, encontrar o ângulo de cisalhamento θ s , 1 no plano. Sabemos que ele tem a seguinte cara:

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - σ x - σ y 2 τ x y

Vamos substituir os valores numéricos adequados e encontrar nosso ângulo:

tan ⁡ 2 θ s , 1 = - 180   M P a 2 - 150   M P a

tan ⁡ 2 θ s , 1 = 0,6

2 θ s , 1 = tan - 1 ⁡ 0,6

2 θ s , 1 ≅ 30,964 °

θ s , 1 ≅ 15,5 °

Se fossemos representar esse ângulo de cisalhamento em um plano, juntamente com a tensão cisalhante máxima e a tensão normal média iríamos obter a seguinte imagem:

Para encontrar o nosso outro ângulo de cisalhamento θ s , 2 , basta subtrair θ s , 1 , que é positivo, de 90 ° .

θ s , 2 = θ s , 1 - 90 °

θ s , 2 ≅ 15,5 ° - 90 °

θ s , 2 ≅ - 74,5 °

Resposta

(a)

σ 1 ≅ 4,21   M P a

σ 2 ≅ - 84,9   M P a

θ p , 1 ≅ - 29,5 °

θ p , 2 ≅ 60,5 °

(b)

τ m á x i m a   n o   p l a n o = R ≅ 175   M P a

σ m é d = 90   M P a

θ s , 1 ≅ 15,5 °

θ s , 2 ≅ - 74,5 °

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