Enunciado

130- Determine as forças nos elementos C H , A H e C D da treliça carregada.

Passo 1

Pela simetria das forças já podemos considerar que as reações verticais em A e G são iguais a 1.5 + 3 + 3 + 3 + 1.5 2 = 6   k N .

E por não existir nenhuma força horizontal externa, podemos dizer que que a reação horizontal em A é 0   N .

Pode ser feito os momentos em um dos apoios sem problemas. Isso nos dá a seguinte figura.

Passo 2

Para encontrar os valores pedidos vamos fazer um corte nas barras A H ,   C H e C D . Tal como na figura abaixo.

Onde precisamos encontrar os valores de α e β .

O valor de α pode ser encontrado pois em x o ponto C encontra-se no meio do triângulo A C H e em y é a sua altura que é 1.5. Logo:

α = t g - 1 1.5 - 1 1.5 = 18.43 °

Pode se dizer que a reta verde cresce um metro em y a cada 3   m .

Agora o valor de β valerá:

β = t g - 1 2 - 0.5 1.5 = 45

Passo 3

Fazendo a somatória das forças verticais no sistema nós teremos:

- F C H sin ⁡ β + F C D sin ⁡ α - 3 - 1.5 + 6 = 0

0.316 F C D - 0.707 F C H = - 1.5

E a somatória das forças horizontais:

F A H + F C H cos ⁡ β + F C D cos ⁡ α = 0

Agora fazendo a somatória dos momentos em A nós teremos (sentido horário positivo):

3 × 1.5 - F C D sin ⁡ α × 1.5 + F C D cos ⁡ α × 1.5 + F C H sin ⁡ β × 1.5 + F C H cos ⁡ β × 1.5 = 0

3 + F C D ( cos  18.43 - sin ⁡ 18.43 ) + F C H ( sin ⁡ 45 + cos ⁡ 45 ) = 0

0.633 F C D + 1.414 F C H = - 3

Comparando com a primeira equação temos o sistema:

0.316 F C D - 0.707 F C H = - 1.5 0.633 F C D + 1.414 F C H = - 3

Se multiplicarmos por 2 a primeira equação temos:

0.316 F C D - 1.414 F C H = - 3

Pela mudança de sinal de F C H nas duas equações podemos dizer que :

F C H = 0

Logo:

0.316 F C D = - 1.5 → F C D = - 4.75   k N

Como colocamos as forças nas treliças saindo dos nós, nós podemos dizer que essa força é uma força de compressão.

Passo 4

Substituindo esses valores na equação da somatória das forças horizontais nós acharemos a força F A H . Logo:

F A H + F C H cos ⁡ β + F C D cos ⁡ α = 0

F A H + 0 - 4.75 × cos ⁡ 18.43 → F A H = 4.51   k N   T

Resposta

F C H = 0   k N

F C D = 4.75   k N   C

F A H = 4.51   k N   T

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