Enunciado

Um modelo de projeto para uma torre de linha de trans,issão está mostrado na figura. Os elementos G H , F G , O P e N O são cabos isolados; todos os outros elementos são barras de aço. Para o carregamento mostrado, calcule as forças nos elementos F I , F J , E J , E K e E R . Use uma combinação de métodos se desejado.

Passo 1

Vamos calcular as forças para cada elemento primeiro usando uma combinação do método dos nós com o método das seções. Para cada incógnita, analisaremos qual é o melhor método a ser utilizado. A letra T indica que a força está tracionando a barra, e a letra C que está comprimindo.

Passo 2

Primeiro queremos achar a força F I . Ela é a mais fácil de ser encontrada, porque se olharmos para o nó I vemos que F I = 0 já que não há nenhuma outra barra que possa equilibrar uma força feita por esse elemento na direção perpendicular a H I e I J .

F I = 0

Passo 3

A segunda força que queremos achar é F J . Vamos tentar calcular a partir do nó F . Não escrevemos a força F I pois já sabemos que ela é nula:

Na direção y temos apenas duas forças, então se acharmos F G podemos encontrar F J com uma equação. Também precisamos encontrar o ângulo θ . Vamos então por partes, primeiro calculando a força F G , depois o ângulo, e depois aplicando a equação. Através do nó G :

Pelo equilíbrio na direção x achamos uma relação entre G H e F G :

∑ F x = 0 ⇒ - G H cos ⁡ 60 ° + F G cos ⁡ 30 ° = 0

⇒ - 1 2 G H + 3 2 F G = 0 ⇒ 3 2 F G = 1 2 G H

⇒ G H = 3 F G

Agora achamos F G pelo equilíbrio na direção y , substituindo G H por 3 F G :

∑ F y = 0 ⇒ G H sen ⁡ 60 ° + F G sen ⁡ 30 ° - 25 = 0

⇒ 3 2 G H + 1 2 F G = 20 ⇒ 3 2 3 F G + 1 2 F G = 25

⇒ 3 2 F G + 1 2 F G = 2 F G = 25

⇒ F G = 12,5   k N   ( T )

Também achamos a força G H :

G H = 3 F G = 3 × 12,5

⇒ G H = 21,7   k N   ( T )

Falta achar o ângulo θ . Vamos analisar melhor o desenho da treliça nessa parte. O Ângulo de inclinação das barras de H I , I J e J K e, relação à horizontal é:

arctan ⁡ 6 12 = arctan ⁡ 0,5 = 26,6 °

Então, se F I é perpendicular a H I e I J , o ângulo entre F I e a horizontal é 90 ° - 26,6 ° = 63,4 ° .

Acharemos o ângulo θ através de sua tangente, dada por

tan ⁡ θ = H 4 - a

Primeiro achamos as alturas h e H pela semelhança de triângulos:

6 12 = h 4 = H 8

⇒ h = 2   m ,     H = 4   m

Então encontramos o valor de a :

h a = tan ⁡ 63,4 ° = 2 ⇒ a = h 2 = 2 2 = 1   m

Calculamos a tangente de θ :

tan ⁡ θ = H 4 - a = 4 3

E então o ângulo θ :

θ = arctan ⁡ 4 3 = 53,1 °

Passo 4

Tendo o valor de F G e do ângulo θ , agora podemos voltar a olhar para o nó F , e calcular F J :

Pelo equilíbrio em y :

∑ F y = 0 ⇒ - 12,5 sen ⁡ 30 ° + F J sen ⁡ 53,1 ° = 0

⇒ - 6,25 + 0,8   F J = 0

⇒ F J = 6,25 0,8

⇒ F J = 7,813   k N   ( T )

Passo 5

Vamos agora tentar calcular E J . Vamos calcular essa pelo método das seções. Queremos fazer um corte na treliça que passe por E J . Vamos cortar então J K , E J e E F . Nosso pedaço da treliça é então esse aqui:

Se calcularmos o momento em torno de H , J K e E F não aparecem, então é isso que vamos fazer. Precisamos antes do ângulo α que E J faz com a horizontal. O calculamos através de sua tangente. A distância b é calculada por semelhança de triângulos, para o grande triângulo A U K no meio da treliça. Temos:

2 b 6 = 5,4 30 ⇒ b = 5,4 30 × 3 = 0,54   m

Então calculamos a tangente de α e logo em seguida o próprio ângulo:

tan ⁡ α = 4 4 - b = 4 4 - 0,54 = 1,156

α = arctan ⁡ 1,156 = 49,1 °

Podemos então fazer ser zero o momento em torno de H :

∑ M H = 0 ⇒ - 12,5 sen ⁡ 30 ° 5 - E J sen ⁡ 49,1 ° 8 - E J cos ⁡ 49,1 ° 4 = 0

Calculando os valores do seno e do cosseno e multiplicando:

- 31,25 - 6,05   E J - 2,62   E J = 0

⇒ 8,67   E J = - 31,25

⇒ E J = - 3,61   k N   ( C )

O sinal negativo indica que a força é de compressão, e não de tração como desenhamos.

Passo 6

Vamos então partir para o cálculo de E K . Podemos fazer isso pelo método dos nós em K . Esse ponto é mais fácil por conta da simetria, que faz termos as seguintes igualdades:

J K = K L

E K = K Q

Precisamos do valor de J K e do ângulo β para calcular E K . Vamos voltar para o corte que fizemos anteriormente, pois lá também tínhamos a força J K :

Agora com o valor E J = 3,61   k N já representado no sentido correto, fazemos a soma das forças em y para obter J K :

∑ F y = 0 ⇒ - 21,7 sen ⁡ 60 ° - 12,5 sen ⁡ 30 ° + 3,61 sen ⁡ 49,1 ° + J K sen ⁡ 26,6 ° = 0

Calculando os senos e multiplicando:

- 18,8 - 6,25 + 2,73 + 0,448   J K = 0

⇒ 0,448   J K = 22,32

⇒ J K = 49,8   k N   ( T )

O ângulo β é calculado através de sua tangente:

tan ⁡ β = b 6 = 0,54 6 = 0,09

β = arctan ⁡ 0,09 = 5,14 °

Passo 7

Tendo em mãos os valores de J K e β , agora podemos calcular E K no nó K :

Pelo equilíbrio na direção y :

∑ F y = 0 ⇒ - 2 × 49,8 sen ⁡ 26,6 ° + 2   E K cos ⁡ 5,14 ° = 0

⇒ 2   E K cos ⁡ 5,14 ° = 2 × 49,8 sen ⁡ 26,6 °

⇒ E K = 49,8 sen ⁡ 26,6 ° cos ⁡ 5,14 °

⇒ E K = 22,4   k N   ( C )

Passo 8

Só falta calcular E R . Pelo método das seções, podemos isolar o triângulo grande superior da treliça H K N . Vamos considerar que as cargas de 25 kN são aplicadas em um ponto entre H e F na esquerda e P e N na direita. As forças que atuam nesse triângulo são as cargas de 25 kN, e as forças dos elementos D E , Q R e E R :

Agora devemos perceber que o momento em relação a K feito pelas duas forças de 25 kN se anulam, e as forças B E e Q R não aplicam momento por terem linha de ação passando pelo ponto. Logo, para o momento total ser zero a força E R deve ser zero:

E R = 0

Resposta

F I = 0

F J = 7,81   k N   ( T )

E J = 3,61   k N   ( T )

E K = 22,4   k N   ( C )

E R = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a força no elemento G K da treliça simétrica carregada.
Determine a força no elemento D G da treliça para placas de sinalização carregada.
127- Calcule a força no elemento B G usando um diagrama de corpo livre do elemento rígido A B C .
126- Determine as forças nos elementos C H e C F .
128- Mostre que a força no elemento horizontal B D é independente de sua posição x dentro da treliça triangular. Cada lado da treliça completa suporta uma carga vertical centrada L domo mostrado pelos