Enunciado

132. Um oscilador linear com massa m , constante de mola k , e coeficiente de amortecimento viscoso c é colocado em movimento após ser solto de uma posição deslocada. Desenvolva uma expressão para a perda de energia Q durante um ciclo completo em termos da amplitude x 1 no início do ciclo.

Passo 1

Bom, primeiro vamos definir a perda de energia Q como sendo:

Q = ( T + V ) 1 - ( T + V ) 2

Onde T é a energia cinética do oscilador e V a energia potencial e os coeficientes 1 e 2 as energias antes e após um ciclo completo, respectivamente.

Passo 2

Nós sabemos que na amplitude máxima de cada ciclo, a velocidade angular ω será 0 , então:

T 1 = T 2 = 0

Mas a amplitude em cada ciclo será diferente, pois o oscilador perderá energia, o que resultará em uma energia potencial diferente:

x 1 ≠ x 2

Assim, a perda de energia Q será:

Q = V 1 - V 2

Q = 1 2 k ( x 1 2 - x 2 2 )

Passo 3

Lembrando que a para um oscilador amortecido a razão x 1 / x 2 será:

x 1 x 2 = e δ

Então:

Q = 1 2 k x 1 2 1 - x 2 x 1 2

Q = 1 2 k x 1 2 ( 1 - e 2 δ )

Passo 4

Mas é importante lembrarmos que:

δ = c 2 m τ

δ = π k m c 2 - 1 4

Resposta

A expressão para a perda de energia será:

Q = 1 2 k x 1 2 ( 1 - e 2 δ )

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