Enunciado

137. Duas placas retangulares são soldadas juntas para formar o conjunto mostrado na figura. O conjunto é sustentado por rótulas em B e D e por uma esfera sobre uma superfície horizontal em C . Para o carregamento mostrado na figura, determine a reação em C .

Passo 1

Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Vamos escolher o eixo de rotação para o cálculo do momento o eixo B D , pois as forças de reação das rótulas não irão contribuir para o cálculo do momento.

O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação B D , então:

u B D → = r B D → r B D →

Onde r B D → é o vetor que sai do ponto B até o ponto D . Assim:

r B D → = { - 0 , 2 i - 0 , 225 j + 0 , 3 k }

r B D → = - 0 , 2 2 + - 0,2 25 2 + 0 , 3 2

= 0 , 180625

= 0 , 42 5

Logo:

u B D → = { - 0,2 i - 0,225 j + 0,3 k } 0 , 42 5

= { - 0 , 470 i - 0 , 529 j + 0 , 705 k }

A força de reação em C que é a que queremos saber como ela só tem um ponto de apoio que é uma esfera, então essa força de reação só terá componente na direção y , então:

C → = ( 0 i + C j + 0 k )

E só por uma questão de as coisas ficarem claras, vamos chamar a força aplicada em A de A , olha que criatividade, e como pode ser visto na figura, ela só tem componente na direção z .

Passo 2

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente ao momento:

∑ M B D → = 0

u B D → ⋅ ( r B A → × P → ) + u B D → ⋅ ( r D C → × ( 0 i + C j + 0 k ) ) = 0

⇒ - 0,470 - 0,529 0,705 - 0,15 0 0 0 0 320 + - 0,470 - 0,529 0,705 0 , 2 0 0 0 C 0 = 0

Abrindo essa conta, temos:

⇒ - 0,470 0 + 0,529 - 48 + 0,705 0 +

+ - 0,470 0 + 0,529 0 + 0,705 0 , 2 C = 0

⇒ - 25,392 + 0,141 C = 0

⇒ C = 180,08   N

Resposta

C = 180,08   N

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