Enunciado

140- Desenvolva expressões para o cortante V e o momento fletor M em função de x para a viga em balanço carregada como mostrado.

Passo 1

A equação da carga parabólica passa pelos pontos ( 0,1000 ) e ( 3,4000 ) isso se continuarmos adotando N e m como medidas para a nossa equação.

Logo para x = 0 temos:

1000 = w 0 + k × 0 2 → w 0 = 1000

E para x = 3 :

4000 = 1000 + k × 3 2 → k = 1000 3

Logo a equação da carga seria:

w = 1000 + 1000 x 2 3

Passo 2

Agora temos que calcular a força resultante causada por essa carga e sua posição na viga.

Para isso basta fazer a integral dessa expressão no intervalo total da viga para encontrarmos sua área:

F r = ∫ 0 3 1000 + 1000 3 x 2 d x = 1000 x + 1000 9 x 3 0 3 = 3000 + 1000 3 2 × 3 3 = 6000   N

E sua posição na viga se daria em:

x - = ∫ x   d x F r

Onde ∫ x   d x será:

∫ x d x = ∫ 0 3 1000 x + 1000 3 x 3 = 1000 x 2 2 + 1000 x 4 12 0 3 = 11250

Logo essa força está na posição de:

x - = 11250 6000 = 1.875   m

Passo 3

O que nos dá uma viga equivalente a:

Com isso conseguimos encontrar que a reação vertical em A será:

R a = 6000   N

E o momento igual a:

M = - 6000 × 1.875 = - 11250   N m

Passo 4

Logo a equação da cortante e do momento fletor valerão:

A nossa equação de cortante será igual a:

6000 - ∫ 0 x ( 1000 + 1000 x 2 3 )   d x = V

6000 - 1000 x - 1000 x 3 9 = V

E a equação do momento fletor:

- 11250 + ∫ 0 x 6000 - 1000 x - 1000 x 3 9 d x = M

M = - 1000 x 4 36 - 500 x 2 + 6000 x - 11250

Podemos atestar as equações ao calcular o valor da cortante e da montante em x = 3 , em uma viga engastada obrigatoriamente elas valerão zero.

Resposta

V = - 1000 x 3 9 - 1000 x + 6000   [ N ]

M = - 1000 x 4 36 - 500 x 2 + 6000 x - 11250   [ N m ]

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