Enunciado

14.41. Dois hemisférios são mantidos unidos por uma corda que mantém uma mola comprimida (a mola não está presa aos hemisférios). A energia potencial da mola comprimida é de 120 J e a montagem tem uma velocidade inicial v0 de intensidade v0 8 m/s. Sabendo que a corda se parte quando 30°, causando a separação dos hemisférios, determine a velocidade resultante de cada hemisfério.

Passo 1

Vamos para mais uma questão?

Para essa questão fica mais simples se resolvermos usando um referencial O ' que se mexe junto com a mola com velocidade v 0 . E aí, depois que calcularmos as velocidades nesse referencial, basta uma transformação de Galileu para determinar a velocidade no referencial inercial.

A gente pode começar o problema usando conservação de momento.

L i = L f

Como no primeiro instante não tem velocidade, o momento inicial é nulo, logo

0 = m A v ' A + m B v ' B

Podemos isolar v ' A

v ' A = m B m A v ' B

Passo 2

Agora usamos conservação de energia

T i = T f

O enunciado nos diz que a energia inicial é de 120   J .

120 = 1 2 m A v ' A 2 + m B v ' B 2

Mas a gente já calculou v A , então vamos substituir nessa equação

120 = 1 2 m A m B m A v ' B 2 + m B v ' B 2

Agora podemos finalmente achar uma expressão para v B

v ' B = 120 ⋅ 2 m A m B m A + m B

Vamos substituir o valor das massas

v ' B = 120 ⋅ 2 2,5 1,5 2,5 + 1,5 = 10 m s

Agora podemos calcular v A

v ' A = m B m A v ' B

Só precisamos substituir os valores

v ' A = 1,5 2,5 ⋅ 10 = 6 m s

Passo 3

Agora que temos a velocidade em O ' podemos calcular a velocidade no referencial inercial. Para isso repare que a velocidade v A faz um ângulo de 30   ° com o eixo x negativo, então podemos calcular o vetor v A ' assim:

v A ' → = v A ' - cos ⁡ 30 °   i ^ + sin ⁡ 30 °   j ^

Analogamente podemos fazer

v B ' → = v B ' cos ⁡ 30 °   i ^ - sin ⁡ 30 °   j ^

Então os vetores são

v A ' → = 6 - cos ⁡ 30 °   i ^ + sin ⁡ 30 °   j ^ = - 5,2   i ^ + 3   j ^ m s

v B ' → = 10 cos ⁡ 30 °   i ^ - sin ⁡ 30 °   j ^ = 8,66   i ^ - 5 j ^ m s  

Passo 4

Agora basta fazer a transformação de Galileu.

v A = v A ' + v 0

v A = - 5,2   i ^ + 3   j ^ + 8   i ^ = 2,8   i ^ + 3 j ^   m s  

E seu módulo fica

v A = 2,8 2 + 3 2 = 4,11 m s

E para calcular seu ângulo basta fazer

t g   θ = 2,8 3

θ = a r c t g 2,8 3 = 46 , 9 °

E

v B = v B ' + v 0 = 8,66   i ^ - 5 j ^ + 8 i ^ = 16,66   i ^ - 5 j ^ m s

Agora vamos calcular o módulo

v B = 16,66 2 + ( - 5 ) 2 = 17,39 m s

E seu ângulo

θ = a r c t g - 5 16,66   = - 16,7 °

Resposta

a : v A = 4,11 m s   ; θ = 46,9   ° b : v B = 17,39 m s ; θ = - 16,7   °

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