Enunciado

16. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a aba do pino são ϵ x = ( 200 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 180 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 300 × 10 - 6 ) . Use as equações de transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo θ   =   30 ° em sentido anti-horário em relação à posição original. Trace um esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano x - y . Utilize o círculo de Mohr.

Passo 1

O primeiro passo é calcular a deformação normal média, que será o centro do nosso círculo:

ϵ m é d i a =   ϵ x + ϵ y 2

ϵ m é d i a =   ( 200 × 10 - 6 ) + ( 180 × 10 - 6 ) 2

ϵ m é d i a = 190 × 10 - 6

Passo 2

Agora devemos achar o raio R do círculo, pela fórmula abaixo:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2

R = ( 200 × 10 - 6 ) - ( 180 × 10 - 6 ) 2 2 + ( - 300 × 10 - 6 ) . 2 2

R = 150,33 × 10 - 6

Passo 3

Com os dados que já obtivemos vamos montar o círculo de Mohr:

Passo 4

No círculo, podemos observar a presemça de dois ângulos de destaque, φ e α . Vamos encontrar φ da seguinte maneira:

φ = tan - 1 ⁡ 150 10

φ = 86,186 °

Passo 5

Agora, se você reparar bem a questão nos fornece que o elemento está orientado a um ângulo θ   =   30 ° em sentido anti-horário em relação à posição original. E qual o complemento desse ângulo no sentido horário, o que queremos. Ora bolas! É 90 ° - 30 ° = 60 ° . Como no círculo de Mohr, trabalhamos com o dobro do ângulo em que o elemento está orientado, no caso   120 ° , podemos achar o ângulo α , de acordo com o círculo, como:

α = φ + 120 ° - 180 °

α = 86,186 ° + 120 ° - 180 °

α = 26,19 °

Passo 6

(a) Por meio do círculo, podemos calcular a deformação normal equivalente ϵ x ' no eixo x ' :

ϵ x ' = ϵ m é d i a + R cos ⁡ α

ϵ x ' = [ 190 × 10 - 6 + 150,33 × 10 - 6 cos ⁡ 26,19 ° )

ϵ x ' = ( 325 × 10 - 6 )

Passo 7

(b) De modo semelhante ao passo anterior, vamos calcular a deformação normal equivalente ϵ y ' no eixo y ' :

ϵ y ' = ϵ m é d i a - R cos ⁡ α

ϵ y ' = [ 190 × 10 - 6 - 150,33 × 10 - 6 cos ⁡ 26,19 ° )

ϵ y ' = ( 55,1 × 10 - 6 )

Passo 8

(c) Finalmente, calcularemos a deformação por cisalhamento do nosso elemento por:

γ x ' y ' 2 = 150,33 × 10 - 6 sen ⁡ 26,19 °

γ x ' y ' = 133 × 10 - 6   r a d

Resposta

ϵ x ' = 325 × 10 - 6

ϵ y ' = 55,1 × 10 - 6

γ x ' y ' = 133 × 10 - 3   r a d

E o nosso elemento distorcido, que estava orientado a um ângulo de 30 ° anti-horário, a seguir:

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As componentes da deformação no ponto A sobre o suporte são ε x = 300 ( 10 - 6 ) , ε y = 550 ( 10 - 6 ) , γ x y = - 650 ( 10 - 6 ) , ε z = 0 . Determine (a) as deformações principais em A, (b) a defor